Attività con le Macchine Matematiche 1 Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche III incontro Provincia di Ravenna 14 Gennaio 2010

Pantografi per le trasformazioni geometriche del piano 2

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Simmetria centrale Equazioni: x'=-x y'=-y 4

zone di piano messe in corrispondenza: punti interni alla corona circolare individuata dalle circonferenze c e c1

Osservazioni su come variano le zone corrispondenti modificando le lunghezze delle aste. a=b b = lunghezza dell’altra coppia di aste (CB, PA, BQ) b=a/2a>b a = lunghezza di una coppia di aste (AB, CP) a<b

Costruiamo la macchina con la carta Un possibile modo semplice per esplorare il primo criterio di congruenza nei triangoli arancioni. Motivare agli studenti la strutture della macchina: già A e B sono simmetrici rispetto ad O, ma P e Q…

Costruiamo la macchina con Cabrì - Maggiore Flessibilità nel variare i parametri della macchina - Minore concretezza e “ancoraggio” nell’esplorazione Attenzione ai punti di partenza Applicazione delle costruzioni con riga e compasso

Altre osservazioni con la macchina con Cabrì Visualizzo raggio max e min in maniera dinamica, evidenzio le zone in corrispondenza Raggio max e min mi danno un applicazione concrete della disuguaglianza triangolare nel triangolo PAO e OBC

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Stiramento 11

Stiramento I triangoli FQG e MPN sono simili: QH:PH=QF:PM QH:PH=(QB+BM):PM QB=l PM=d QH:PH=(2l-d):d K=(2l-d)/d Equazioni: x'=-kx y'=y 12

13 Costruiamo la macchina con Cabrì

Stiramento con deltoide 14

15 Macchine modificate che non realizzano stiramenti ! Queste macchine non realizzano stiramenti perchè non si mantiene la similitudine tra i triangoli isosceli considerati per la macchina precedente.

zone di piano messe in corrispondenza 16

Ellisse come circonferenza stirata.. 17 Ellissografo del Delaunay

18 Uno sguardo alla storia.. Quadrilatero del Delaunay o “proiettore”

Genesi spaziale Nel modello fisico, le lastre rettangolari π (trasparente) e π’ rappresentano due piani incidenti lungo la retta u. Le figure tracciate su π’ si possono considerare come ombre solari di quelle giacenti su π. 19

Genesi spaziale I raggi del sole (materializzati nel modello con fili tesi e supposti paralleli) determinano, in generale, una corrispondenza biunivoca (prospettività con centro improprio) tra π e π’: ad ogni punto P di π corrisponde in π’ la sua ombra P’. 20

Il modello permette di ruotare π attorno alla retta u. Si può osservare che:  durante la rotazione i raggi (i fili tesi) rimangono paralleli;  quando π è sovrapposto a π ’, i raggi (i fili) che congiungono due punti corrispondenti qualsiasi sono perpendicolari ad u. 21

Nel piano… Se π e π’ sono sovrapposti, la corrispondenza esistente fra i loro punti P e P’ diventa una trasformazione geometrica nota come stiramento (particolare omologia affine). 22

La ricostruzione 3D, passo-passo, è molto semplice e permette di riflettere ulteriormente sulle proprietà specifiche dello stiramento e sulla sua genesi spaziale; questa analisi non vuole in nessun modo sostituirsi all’esplorazione manuale della macchina reale ma solo affiancarla per “smontare il prodotto finito”. 23

Alcune riflessioni.. 24 Raggi paralleli presi in posizione generica non danno origine ad uno stiramento. Raggi paralleli scelti con direzione perpendicolare al piano bisettore del diedro πuπ’, portano ad un caso particolare dello stiramento: la simmetria assiale

Unità didattiche “progetto SeT” su pantografi e curvigrafi /O/modOmat/pres.htm /N/modNmat/pres.html 2 giugno

Grazie! 26