prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 CIRCONFERENZA La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro Essa è individuata quando si conoscono le coordinate del centro e il raggio La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

Conoscendo centro e raggio determinare l`equazione della circonferenza Problema diretto Conoscendo centro e raggio determinare l`equazione della circonferenza La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

Equazione circonferenza conoscendo centro e raggio P(x;y) r C(;) Equazione circonferenza conoscendo centro e raggio La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Osservazione I coefficienti di x2 e y2 sono uguali a 1 manca il termine rettangolare xy La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Esempio Determinare l’equazione della circonferenza di centro C(-2;1) e raggio 5 La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Problema inverso Conoscendo l’equazione della circonferenza determinare le coordinate del centro e il raggio La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Osservazione L’equazione x2+y2+ax+by+c=0 rappresenta una circonferenza reale e non degenere solo se: La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Casi particolari La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 1° caso: c = 0 L’equazione x2+y2+ax+by=0 rappresenta una circonferenza passante per l’origine La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 2° caso: a = 0 L’equazione x2+y2+by+c=0 rappresenta una circonferenza con centro sull’asse delle y C(0;-b/2) La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 3° caso: b = 0 L’equazione x2+y2+ax+c=0 rappresenta una circonferenza con centro sull’asse delle x C(-a/2;0) La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 4° caso: a = 0 e c=0 L’equazione x2+y2+by=0 rappresenta una circonferenza con centro sull’asse delle y e passante per l’origine C(0;-b/2) La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 5° caso: b = 0 e c=0 L’equazione x2+y2+ax=0 rappresenta una circonferenza con centro sull’asse delle x e passante per l’origine C(-a/2;0) La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 6° caso: a = 0 e b = 0 L’equazione x2+y2+c=0 rappresenta una circonferenza con centro nell’origine La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

Posizione reciproca tra retta e circonferenza Un importante problema è quello relativo alla ricerca delle eventuali intersezioni tra una retta ed una circonferenza. La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Per determinare le intersezioni tra una cinconferenza ed una retta è sufficiente risolvere il sistema di secondo grado formato dalle loro equazioni La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Se la retta è secante le due soluzioni sono reali e distinte e la distanza del centro della circonferenza è minore della lunghezza del raggio (x1;y1) (x2;y2) La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Se la retta è tangente le due soluzioni sono reali e coincidenti e la distanza del centro della circonferenza è uguale alla lunghezza del raggio (x1;y1) =(x2;y2) La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Se la retta è esterna le due soluzioni non sono reali e la distanza del centro della circonferenza è maggiore alla lunghezza del raggio La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 esempio Determinare le intersezioni tra la circonferenza x2+y2-4x=0 ela retta y=(-1/2)x+2 La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

Circonferenza per tre punti Scrivere l’equazione della circonferenza passante per i seguenti tre punti non allineati A(2;3), B(4;1), C(2;-1) La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Le coordinate dei tre punti, poichè appartengono alla circonferenza, devono soddisfare la sua equazione: x2+y2+ax+by+c=0 A(2;3) B(4;1) C(2;-1) La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 osservazione Lo studente risolva il precedente problema anche nel seguente modo: 1) determinando le coordinate del circocentro come punto d’incontro di due assi 2)determinando il raggio facendo la distanza tra il circocentro e un vertice 3) scrivendo l’equazione della circonferenza conoscendo centro e raggio La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

Punti di intersezione tra due circonferenze Basta risolvere il sistema costituito dalle loro equazioni. Se le circonferenze non sono concentriche, sottraendo membro a membro le due equazioni, si ottiene un sistema tra una circonferenza ed una retta chiamata asse radicale. La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Asse radicale C1 C2 L’asse radicale è perpendicolare alla retta passante per i due centri La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Asse radicale C1 C2 La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Costruzione dell’asse radicale di due circonferenze che non si intersecano C1 C2 La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 L’asse radicale è la perpendicolare alla retta dei due centri e passante per il punto di intersezione dei due assi radicali ottenuti con una terza circonferenza che interseca le prime due C1 C2 La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 esempio Determinare i punti di intersezione delle due circonferenze di equazioni: La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

Tangenti ad una circonferenza da un punto esterno La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 y-y0=m(x-x0) r P(x0; y0) C Per determinare le equazioni delle rette tangenti basta imporre che la generica retta passante per P abbia distanza dal centro pari al raggio La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 esempio Determinare le equazioni delle tangenti condotte dal punto P(6;4) alla circonferenza di equazione x2+y2 -6x=0 La circonferenza ha centro C(3;0) e raggio r = 3 La generica retta per P ha equazione: y – 4 = m(x - 6) cioè, in forma implicita mx-y+4-6m=0 La distanza di questa retta dal centro c(3;0) deve essere uguale al raggio che misura 3. La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Avendo trovato un solo valore di m si può affermare che una delle due tangenti ha coefficiente angolare 7/24 e l’altra è parallela all’asse y. Pertanto una tangente ha equazione 7x-24y+54=0 e l’altra x=6 La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

Tangente a una circonferenza in un suo punto P(x0; y0) y-y0=m(x-x0) C(xc;yc) La retta tangente è una sola passa per P ed ha coefficiente angolare l’antireciproco del coefficiente angolare della retta PC La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

Equazione della tangente P(x0; y0) y-y0=m(x-x0) C(xc;yc) La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 esempio Scrivere l’equazione della retta tangente alla circonferenza x2+y2+2x-2y-6=0 nel suo punto di P(1;3) La circonferenza ha centro C(-1;1) La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

Fascio di circonferenze Consideriamo due circonferenze non concentriche di equazioni: e scriviamo una loro combinazione lineare con k parametro reale La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Moltiplicando e mettendo in evidenza l’equazione precedente può essere scritta nel modo seguente: e se k≠-1 può a sua volta essere scritta: cioè nella forma canonica dell’equazione di una circonferenza. Al variare di k tale combinazione rappresenta l’equazione di infinite circonferenze generate dalle due circonferenze generatrici La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Per k = 0 si ottiene la prima generatrice La seconda generatrice non può essere ottenuta per nessun valore di k ma si conviene dire che si ottiene per k = ∞ Per k = -1 si ottiene l’asse radicale che si conviene considerare come quella circonferenza del fascio che è degenere ed ha raggio infinito di equazione Tale retta è perpendicolare alla retta contenente tutti i centri delle circonferenze del fascio La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Se le generatrici si intersecano tutte le circonferenze passano per questi due punti che sono detti punti base del fascio asse radicale A Retta centri B Punti base La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Se le generatrici sono tangenti il fascio ha un solo punto base e tutte le circonferenze passano per questo punto che l’unico punto base del fascio. A tale fascio appartiene anche la circonferenza degenere con centro in T e raggio nullo. asse radicale T Retta centri La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone Punto base prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Esempio 1 Determinare, nel fascio di circonferenze passanti per A(-1;2) e B(2;0), quella che passa per il punto C(3;1) Scriveremo il fascio considerando come generatrici la circonferenza di diametro AB e l’asse radicale. Successivamente imporremo il passaggio per il punto C La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 La circonferenza di diametro AB con A(-1;2) e B(2;0), ha centro nel punto medio M(1/2;1) e ha quindi equazione: L’asse radicale è la retta passante per A e B di equazione L’equazione del fascio è: Sostituiamo le coordinate di C nel fascio e troveremo k=-3/5. sostituendo nel fascio -3/5 a k si trova l’equazione della circonferenza: La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Esempio 2 Scrivere l’equazione della circonferenza passante per il punto (0;2) e tangente nell’origine alla retta y+2x = 0 La circonferenza appartiene al fascio di circonferenze avente come generatrici la circonferenza con centro nell’origine e raggio zero e l’asse radicale rappresentato dalla retta y+2x=0 Sostituendo le coordinate (0;2) nel fascio troviamo il valore di k=-2 che sostituito ci dà l’equazione della circonferenza cercata: La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Esempio 3 Scrivere l’equazione della circonferenza passante per l’origine, ivi tangente alla retta 2x+3y = 0 e avente il centro sulla retta x+2y-2=0 La circonferenza appartiene al fascio di circonferenze avente come generatrici la circonferenza con centro nell’origine e raggio zero e l’asse radicale rappresentato dalla retta 2x+3y=0 Sostituendo le coordinate del centro (-k;-3k/2) nel fascio troviamo il valore di k=-1/2 che sostituito ci dà l’equazione della circonferenza cercata: La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Curve deducibili dalla circonferenza di centro C(α;β) e raggio r La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Curve deducibili dalla circonferenza di centro C(α;β) e raggio r La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

approfondimenti Potenza di un punto rispetto ad una circonferenza Consideriamo una circonferenza di centro C(α;β) e raggio r L’equazione di tale circonferenza è: C(α;β) r La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Consideriamo un punto P(xp;yp) esterno alla circonferenza e tracciamo da questo punto una tangente PT e una secante PB T r C(α;β) B P(xp;yp) A Per il teorema della secante e della tangente abbiamo: Il prodotto PB·PA si chiama potenza del punto P rispetto alla circonferenza ed è indipendente rispetto alla secante considerata La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PTC T r C(α;β) B P(xp;yp) A La potenza del punto P alla si ottiene semplicemente sostituendo le coordinate del punto nell’equazione della circonferenza La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Consideriamo il punto P(xp;yp) interno alla circonferenza e tracciamo da questo punto due corde C r C(α;β) P Per il teorema delle due corde abbiamo: A B D Se il punto è interno la potenza, negativa, si ottiene sempre sostituendo le coordinate del punto nell’equazione della circonferenza La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 osservazione La potenza di un punto rispetto ad una circonferenza non è altro che la differenza tra la distanza del punto dal centro della circonferenza e il raggio. Tale differenza è positiva se il punto è esterno alla circonferenza, negativa se il punto è interno e zero se il punto è sulla circonferenza La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Consideriamo ora due circonferenze non concentriche. L’asse radicale è il luogo dei punti che hanno la stessa potenza rispetto alle due circonferenze. Infatti PA·PB è la potenza di tutte e due le circonferenze P asse radicale A Retta centri B La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012 Fine presentazione La circonferenza – IISS «E.Medi» Galatone – prof. Giuseppe Frassanito – a.s.2011 La circonferenza - IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012