Sulle osservabili compatibili.... Due operatori hermitiani  e Ĉ commutano ([Â,Ĉ]=0) sse possiedono un sonc di autovettori comuni: Âφ rs (x)=a r φ rs (x); Ĉφ rs (x)=c s φ rs (x); dove r ed s sono indici interi. Vediamo perchè è importante con un esempio significativo...

L’operatore momento angolare in 3D L= r x p L x =yp z -zp y L y =zp x -xp z L z =xp y -yp x Meccanica classica

L’operatore momento angolare in 3D L= r x p L x =yp z -zp y L y =zp x -xp z L z =xp y -yp x Meccanica quantistica p xi =-i ℏ x i i=1,2,3; x 1 =x, x 2 =y, x 3 =z

Ovviamente [x i,p xj ]=i ℏ δ ij Se f=f(x,y,z), [x,p z ]f(x,y,z)=xp z f(x,y,z)-p z xf(x,y,z) =xp z f(x,y,z)-xp z f(x,y,z)=0 [Lx,Ly]=[(yp z -zp y ),(zp x -xp z )] Oss: [A-B,C-D]= [A-B,C]-[A-B,D] =(A-B)C-C(A-B)-(A-B)D+D(A-B) =[A,C]-[B,C]-[A,D]+[B,D]

[Lx,Ly]=[(yp z -zp y ),(zp x -xp z )] [A-B,C-D]=[A,C]-[B,C]-[A,D]+[B,D] [Lx,Ly]=[yp z, zp x ]+[zp y, xp z ]

[Lx,Ly]=[(yp z -zp y ),(zp x -xp z )] [A-B,C-D]=[A,C]-[B,C]-[A,D]+[B,D] [Lx,Ly]=[yp z, zp x ]-[zp y,zp x ]-[yp z, xp z ]+ [zp y, xp z ] Evito un po’ i =0 [Lx,Ly]=[yp z, zp x ]+[zp y, xp z ]

[Lx,Ly]=[yp z, zp x ]+[zp y, xp z ]= yp z zp x -zp x yp z +zp y xp z -xp z zp y = yp x p z z-yp x zp z +p y xzp z -xp y p z z =yp x [p z,z]+xp y [z,p z ] [x i,p xj ]=i ℏ δ ij [Lx,Ly]=i ℏ [-yp x +xp y ] Ripetendo per le altre combinazioni...

[L x,L y ]=i ℏ L z [L z,L x ]=i ℏ L y [L y,L z ]=i ℏ L x Regole di commutazione per l’operatore momento angolare Le componenti del momento angolare sono osservabili incompatibili tra di loro. Però....

[L,L x ]=[L x, L x ]+[L y, Lx]+[Lz,Lx] L 2 = L x +L y +L z 222 Operatore modulo quadro del momento angolare [L y L y, L x ]= L y L y L x -L x L y L y =L y L y L x -i ℏ L z L y -L y L x L y [L x,L y ]=i ℏ L z = L x L y -L y L x [L y L y, L x ]= L y [L y,L x ] -i ℏ L z L y =-i ℏ (L y L z +L z L y ) Sfrutto

[L,L x ]=[L x, L x ]+[L y, Lx]+[Lz,Lx] L 2 = L x +L y +L z 222 Operatore modulo quadro del momento angolare. 2222

[L z,L x ]=i ℏ L y = L z L x -L x L z [L z L z, L x ]= L z L z L x -L x L z L z = [L z L z, L x ]= L z L z L x -L x L z L z = L z L z L x -L z L x L z +i ℏ L y L z =Lz[Lz,Lx]+i ℏ L y L z =+i ℏ ( L y L z +L z L y ) ➞ [L y L y, L x ]= -i ℏ (L y L z +L z L y ) [L,L x ]=0 parimenti si dimostra [L,L y ]=0 [L,L z ]=0 [L,L]=0 (sarebbe meglio [L,L]= ➞➞ 2 Sfrutto

Meccanica classica: Problemi a simmetria sferica: si conserva il momento angolare Problemi a simmetria cilindrica: si conserva il momento lungo l’asse del cilindro (z) Meccanica quantistica, simmetria sferica: L 2 e L z (per esempio) sono costanti del moto compatibili (commutano con Ĥ, come vedremo, e tra di loro, come abbiamo vist). Avranno pertanto autofunzioni comuni, che sfrutteremo regolarmente per studiare sistemi con questa simmetria. Meccanica quantistica, simmetria cilindrica: L z è una costante del moto. Sfrutteremo le sue autofunzioni per studiare sistemi con questa simmetria.

Meccanica quantistica, simmetria sferica: L 2 e L z (per esempio) sono costanti del moto compatibili (commutano con Ĥ, come vedremo, e tra di loro, come abbiamo vist). Avranno pertanto autofunzioni comuni, che sfrutteremo regolarmente per studiare sistemi con questa simmetria. Meccanica quantistica, simmetria cilindrica: L z è una costante del moto. Sfrutteremo le sue autofunzioni per studiare sistemi con questa simmetria. Ovviamente, in simmetria sferica avrà senso utilizzare coordinate sferiche. Purtroppo le espressioni del momento angolare in sferica non sono semplicissime. In simmetria cilindrica le cose vanno meglio.

L x =yp z -zp y L y =zp x -xp z L z =xp y -yp x in coordinate cartesiane P O y x z θ φ x=rsin(θ)cos(φ) y=rsin(θ)sin(φ) z=rcos(θ) r= x 2 +y 2 +z 2 φ=atan(y/x) θ=acos(z/r)

P O y x θ φ z LzLz =-i ℏ φ sinθ =- ℏ θ 1 sin θ θ ( ) [ L 1 φ + ] Dimostrazione NON richiesta per l’esame. Epressione richiesta. Ma se sapete risolvere l’eq. di Schrödinger per l’atomo di idrogeno è facile (lo vedremo).

O y x θ φ z LzLz =-i ℏ φ 0≤φ≤2π Cerchiamo le autofunzioni di LzLz f(φ)=λf(φ); f(0)=f(2π) φ f(φ)=iλf(φ)/ ℏ f(φ)=Ae iλφ/ ℏ f(φ)=e iλφ/ ℏ Aiλ/ ℏ φ

f(φ)=Ae iλφ/ ℏ ; f(0)=f(2π) f(0)=A f(2π)=Ae iλ2π/ ℏ =A ➞ e iλ2π/ ℏ =cos(λ2π/ ℏ )+isin(λ2π/ ℏ )=1 ➞ λ/ ℏ =m; m=0,±1,±2,....; |A| 2 dφ=1 ➞ f m (φ)= e imφ 0 2π 1 LzLz f m (φ)= ℏ mf m (φ)

sinθ =- ℏ θ 1 sin θ θ ( ) [ L 1 φ + ] L Y(θ,φ) =λ Y(θ,φ) 2 sinθ - ℏ θ 1 sin θ θ ()[ 1 φ + ] Y(θ,φ)=λY(θ,φ) Ricorda qualcosa?

Equazione agli autovalori per l’hamiltoniano di un elettrone soggetto a un potenziale a simmetria sferica (x es: atomo di idrogeno): Ψ(x,y,z) +V(r) Ψ(x,y,z) =E Ψ(x,y,z) r 2 =x 2 +y 2 +z 2 Per sfruttare la simmetria sferica del potenziale conviene passare a coordinate sferiche

Laplaciano in sferiche (da sapere) ∇2=∇2= r2r2 ∂r ( ) r 2 sinθ ∂θ () 1∂r2r2 ∂ + 1∂ sinθ ∂ r 2 sin 2 θ + 1 ∂φ ∂ 2 2 Equazione di Schrödinger in sferiche: r2r2 ∂r ( ) r 2 sinθ∂θ () 1∂r2r2 ∂ + 1∂ sinθ ∂ r 2 sin 2 θ + 1 ∂φ ∂ 2 2 -ℏ -ℏ [ 2 2m ] Ψ(r,θ,φ)+ +V(r)Ψ(r,θ,φ)=EΨ(r,θ,φ) Cerco di separare le variabili: Ψ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)≡RY

r2r2 ∂r ( ) r 2 sinθ∂θ () Y∂r2r2 ∂R + R∂ sinθ ∂Y r 2 sin 2 θ + R ∂φ ∂ Y 2 2 -ℏ -ℏ [ 2 2m ] +V(r)RY=ERY; Ψ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)≡RY -2m ℏ YR Moltiplico ambo i membri per Rr 2 ∂r ( ) sinθ ∂θ () 1∂r2r2 ∂R 1 ∂ sinθ ∂Y sin 2 θ + 1 ∂φ ∂ Y m ℏ { [V(r)-E] } Y 1 { } =0 f(r)+g(θ,φ)=0 ➞ f(r)=cost=-g(θ,φ)

Rr 2 ∂r ( ) sinθ ∂θ () 1∂r2r2 ∂R 1 ∂ sinθ ∂Y sin 2 θ + 1 ∂φ ∂ Y 2 2 2m ℏ { [V(r)-E] } Y 1 { } =0 f(r)+g(θ,φ)=0 ➞ f(r)=cost=-g(θ,φ) Rr 2 ∂r ( ) 1∂r2r2 ∂R 2m ℏ 2 - { [V(r)-E] } =C; poi viene fuori C=l(l+1)... sinθ ∂θ () 1 ∂ sinθ ∂Y sin 2 θ + 1 ∂φ ∂ Y 2 2 Y 1 { } =-C

sinθ ∂θ () 1 ∂ sinθ ∂ sin 2 θ + 1 ∂φ ∂ 2 2 { } =-l(l+1) Y(θ,φ); l=0,1,2... Ehy, ma l’equazione agli autovalori per L 2 era... Y(θ,φ) e avete visto che questa ha come soluzioni le armoniche sferiche Y l m (θ,φ) sinθ ∂θ () 1 ∂ sinθ ∂ sin 2 θ + 1 ∂φ ∂ 2 2 { } =λY(θ,φ) Y(θ,φ) - ℏ 2 Le autofunzioni di L 2 sono proprio le armoniche sferiche: L2L2 (θ,φ) YlmYlm = ℏ 2 l(l+1) (θ,φ) YlmYlm

YlmYlm =(cost) l,m e imφ P l m (cosθ) P l m (cosθ)=”funzioni associate di Legendre” Oss: Lz (cost) l,m e imφ P l m (cosθ) = (cost) l,m P l m (cosθ)Lze imφ Lz (θ,φ)= YlmYlm ℏmℏm YlmYlm (θ,φ) Giusto! Lz e L 2 sono osservabili che commutano, dovevano avere autofunzioni comuni. Ortonormalità: da cui Y l m (θ,φ) Y l’ m’ (θ,φ) 0 2π 0 π sinθdθdφ=δ m,m’ δ l,l’ *

∂r ( ) sinθ∂θ () -ℏ2-ℏ2 ∂r2r2 ∂ + ∂ sinθ ∂ sin 2 θ + ∂φ ∂ 2 2 [ 2mr 2 ] Ψ(r,θ,φ)+ +V(r)Ψ(r,θ,φ)=EΨ(r,θ,φ) 1 -ℏ2-ℏ2 -ℏ2-ℏ2 Equazione di Schrödinger in sferiche: r2r2 ∂r ( ) r 2 sinθ∂θ () 1∂r2r2 ∂ + 1∂ sinθ ∂ r 2 sin 2 θ + 1 ∂φ ∂ 2 2 -ℏ -ℏ [ 2 2m ] Ψ(r,θ,φ)+ +V(r)Ψ(r,θ,φ)=EΨ(r,θ,φ)

∂r ( ) -ℏ2-ℏ2 ∂r2r2 ∂ + [ 2mr 2 ] Ψ(r,θ,φ)+ V(r)Ψ(r,θ,φ)=EΨ(r,θ,φ) 1 Equazione di Schrödinger in sferiche: r2r2 ∂r ( ) r 2 sinθ∂θ () 1∂r2r2 ∂ + 1∂ sinθ ∂ r 2 sin 2 θ + 1 ∂φ ∂ 2 2 -ℏ -ℏ [ 2 2m ] Ψ(r,θ,φ)+ +V(r)Ψ(r,θ,φ)=EΨ(r,θ,φ) L2L2

∂r ( ) -ℏ2-ℏ2 ∂r2r2 ∂ + [ 2mr 2 ] Ψ(r,θ,φ)+ V(r)Ψ(r,θ,φ)=EΨ(r,θ,φ) 1 L2L2 Scrivere Ĥ= ∂r ( ) -ℏ2-ℏ2 ∂r2r2 ∂ + [ 2mr 2 ] 1 L2L2 +V(r) è comodissimo. Vedo subito che [Ĥ, L 2 ]=0=[Ĥ,L z ] Vedo subito che la soluzione è del tipo: Ψ(r,θ,φ)=R(r)Y l m (θ,φ); con R(r) determinata da:

∂r ( ) -ℏ2-ℏ2 ∂r2r2 ∂R + [ 2mr 2 ] + V(r)R(r)=ER(r) 1 ℏ 2 l(l+1)R(r) ∂r ( ) ∂r2r2 ∂R - V(r)-E R(r)=l(l+1)R(r) ℏ2ℏ2 2mr 2 [] Equazione radiale. Qui finisce la pacchia: anche se risolvo al volo il problema angolare, l’equazione radiale devo risolverla.

m=m e ; V(r)=- Sappiamo che, se sto studiando l’elettrone dell’atomo di idrogeno, ∂r ( ) ∂r2r2 ∂R - V(r)-E R(r)=l(l+1)R(r) ℏ2ℏ2 2mr 2 [] La procedura adottata equivale ad individuare 3 costanti del moto. Momento al quadrato, Momento lungo l’asse z (determinano la parte angolare delle autofunzioni e sono descritte dai numeri quantici l,m), ed energia. Ovviamente, mentre le autofunzioni del momento sono calcolate una volta per tutte, quelle dell’energia dipendono da V(r). Esse introducono il numero quantico n. e2e2 4πεr 0 E=E n =-13.6/n 2 (eV) l e m sono indici di degenerazione, ma solo per l’idrogeno. Ad esempio per un metallo alcalino solo m è indice di degenerazione. Come posso romperla? Con B!

|μ|=IS (S=area superficie) In presenza di B E=-μ ・ B Conviene orientare l’asse z lungo il campo E=-μ z ・ B

Visione “semi-classica”: elettrone in un’orbita= spira percorsa da corrente. Se r=raggio (medio) dell’orbita, e T = periodo |μ|=IS=(-e/T)πr 2 L=IW=(mr 2 )2π/T ➞ T= (mr 2 )2π/L ➞ |μ L |=-eL/2m; μ L =-eL/2m ➞➞➞ quantistica μ L =-eL/2m

In presenza di B E=-μ ・ B Conviene orientare l’asse z lungo il campo ΔH=(e/2m)L z B ➞ (vedremo meglio) ➞ (e/2m e ) m Idrogeno nello stato fondamentale: l=0, m=0; se l≠0, il campo “splitta” il livello l in 2l+1 livelli, corrispondenti a -l,..0,..,l ℏ

μ L =-eL/2m Come discuteremo a breve, l’elettrone (ma anche i protoni, anzi, tutte le particelle) non possiede solo un momento angolare orbitale (=dovuto all’orbita), ma anche uno “intrinseco”, detto di spin. Questo produce un ulteriore accoppiamento con un campo magnetico, per l’elettrone è: μ S =-g s eS/m (g s =2) Se il numero quantico angolare l=0,1,2,3... (per cui m=-l,..,0,..l è un intero), quello di spin può assumere valori semiinteri. Per un elettrone s=1/2, e m=- 1/2,1/2

NMR: con un campo magnetico (forte) si vanno a studiare i NUCLEI atomici. Essi sono caratterizzati da spin interi o semi-interi.