Le relazioni tra due insiemi DEFINIZIONE. Quando tra due insiemi A e B si individua una proprietà che associa agli elementi di A gli elementi di B, tra i due insiemi si stabilisce una corrispondenza; la proprietà che associa gli elementi appartenenti all’insieme A con gli elementi appartenenti all’insieme B si chiama relazione R. Mettiamo in corrispondenza gli elementi dell’insieme A = {BG, MI, TO, Roma} con gli elementi dell’insieme B = {Lombardia, Piemonte, Lazio} considerando la caratteristica : <<… appartiene alla regione …>> e rappresentiamo tale corrispondenza in forma sagittale con il diagramma di Eulero-Venn. Gli elementi di B in cui arriva una freccia si dicono immagini: gli elementi di A da cui parte una freccia si dicono controimmagini. Le relazioni

Le relazioni tra due insiemi È possibile rappresentare la relazione precedente anche mediante: L’elenco delle coppie che si formano: Un diagramma cartesiano Lombardia Piemonte Lazio x R BG MI TO Roma Una tabella a doppia entrata Le relazioni

Le relazioni tra due insiemi Consideriamo ora gli insiemi A = {Roma; Londra; Atene; Oslo; Vienna; Varsavia} e B = {Italia; Francia; Gran Bretagna; Grecia; Austria; Portogallo} e la relazione R da A verso B individuata dalla frase <<… è capitale di …>>. Rappresentiamo la relazione in forma sagittale. Il sottoinsieme di A raggruppa gli elementi da cui parte almeno una freccia. Il sottoinsieme di B raggruppa gli elementi sui quali arriva almeno una freccia. DEFINIZIONE. Il dominio di una relazione è l’insieme degli elementi che hanno almeno una immagine in B. Il codominio di una relazione è l’insieme degli elementi che hanno almeno una contro- immagine in A. Le relazioni

Relazioni particolari DEFINIZIONE. Una corrispondenza tra due insiemi A e B si dice biunivoca se associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B e viceversa. DEFINIZIONE. Due insiemi in corrispondenza biunivoca si dicono anche equipotenti. Le relazioni

Relazioni particolari DEFINIZIONE. Una corrispondenza tra due insiemi A e B si dice univoca se associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B ma non viceversa. Le relazioni

Le relazioni in un insieme una rappresentazione sagittale DEFINIZIONE. Si chiama relazione R in un insieme A la proprietà che associa gli elementi di A con gli elementi di A stesso. Anche in questo caso è possibile rappresentare la relazione attraverso: una tabella a doppia entrata una rappresentazione cartesiana Le relazioni

Le proprietà di una relazione in un insieme La proprietà riflessiva PROPRIETÀ. Una relazione R in un insieme A si dice riflessiva quando ogni elemento x appartenente ad A è in relazione con se stesso. In simboli si scrive: x R x La proprietà antiriflessiva PROPRIETÀ. Una relazione R in un insieme A si dice antiriflessiva se nessun elemento x appartenente ad A è in relazione con se stesso. In simboli si scrive: x R x Le relazioni

Le proprietà di una relazione in un insieme La proprietà simmetrica PROPRIETÀ. Una relazione R in un insieme A si dice simmetrica quando considerati due qualsiasi elementi x e y appartenenti ad A ogni volta che x è in relazione con y, allora anche y è in relazione con x. In simboli si scrive: se x R y y R x La proprietà transitiva PROPRIETÀ. Una relazione R in un insieme A si dice transitiva quando considerati tre qualsiasi elementi x, y e z appartenenti ad A, ogni volta che x è in relazione con y e y è in relazione con z, anche x è in relazione con z. In simboli si scrive: se x R y e y R z x R z Le relazioni

Le proprietà di una relazione in un insieme La proprietà antisimmetrica PROPRIETÀ. Una relazione R in un insieme A si dice antisimmetrica quando, considerati due qualsiasi elementi x e y appartenenti ad A, possono sussistere contemporaneamente x R y e y R x solo se x = y. In simboli si scrive: se x R y e y R x x = y Le relazioni

Le relazioni di equivalenza e di ordine La relazione di equivalenza DEFINIZIONE. Una relazione R definita in un insieme A si dice di equivalenza quando gode contemporaneamente delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. La relazione di ordine DEFINIZIONE. Una relazione R definita in un insieme A si dice di ordine quando gode contemporaneamente delle proprietà transitiva e antisimmetrica. Inoltre si dice: di ordine largo se R gode anche della proprietà riflessiva; di ordine stretto se R gode anche della proprietà antiriflessiva. Le relazioni