Studio di Funzioni Esempio funzione razionale fratta Giora Giulia Classe 5^b tur

Indice Esempio di funzione razionale fratta Calcolo del campo di esistenza Calcolo degli intervalli di positività Prima selezione nel grafico Calcolo degli asintoti Grafico finale Bibliografia

Le Funzioni razionali fratte hanno come insieme di esistenza l’intero campo dei numeri reali fatta eccezione per quei valori che annullano i denominatori Esempi di Funzioni razionali fratte: Y= X²+x-2 X²-10x+21 X²-7x-5 Y= X²-6x-12 Y= X-2 X²-6x+3

Calcolo del campo di esistenza Data la seguente funzione: Y= X²+x-2 X²-10x+21 D≠0 Serve a determinare i valori che non appartengono al campo di esistenza di questa funzione perché annullano il denominatore della frazione. I calcoli relativi al campo di esistenza saranno i seguenti: X 1,2 = 10± 100-84 2 10±4 7 3 C.E. = R ma x ≠ 7 e x ≠ 3

Calcolo intervalli di positività Y= X²+x-2 X²-10x+21 N > 0 -2 1 ----- + +++++ - 1,2 X = -1± 1+8 2 1 -2 Schema relativo al numeratore Schema relativo al denominatore D > 0 3 7 ----- + +++++ -

Definizione e schema finale intervalli di positività Y= N/D > 0 Il calcolo degli intervalli di positività serve ad individuare gli intervalli in cui una funzione è positiva e in quali è negativa a seconda della funzione e dei punti di intersezione. N +++++ ----- +++++ +++++ +++++ D +++++ +++++ +++++ ----- +++++ -2 1 3 7 N/D + - + - +

Considerazione per la prima parte del grafico La funzione sarà > 0 nei punti dove la x sarà minore di –2 compresa tra 1 e 3 e maggiore di 7 si scriverà questo: x < -2, 1 < x < 3 e x > 7. Il diagramma della funzione giacerà nelle parti bianche del piano, il quale è stato ricavato dallo schema finale degli intervalli di positività.

Grafico ottenuto dopo aver studiato il segno della funzione razionale fratta Y -2 1 3 7 x

Calcolo dei limiti della funzione Per limite di una funzione si intende il valore che la funzione tende a raggiungere quando alla variabile x si attribuiscono valori che si avvicinano sempre più a x. x0 è l’indicazione che diamo ad un certo valore al quale tende la x.

La formula che dovrò usare per trovare gli altri limiti sarà: X +∞ X2 (1 + 10/x – 20/x2 ) X2 (1 + 100/x – 210/x2 ) = 1 LIM. X -∞ X2 (1 + 10/x – 20/x2 ) X2 (1 + 100/x – 210/x2 ) = 1 La formula che dovrò usare per trovare gli altri limiti sarà: a ( x – x 1)(x – x 2 ) 1 ( x - 1)( x + 2) LIM. X -2ˉ 1 ( x - 7)( x - 3) E quindi otterrò: LIM. X -2- ( -2- - 1)( -2- + 2) ( -2- - 7)( -2--3) = ( -3) ( 0ˉ) ( -9)( -5) 0+ 45 = 0+ A questo punto diventerà:

LIM. X -2+ 1 ( x – 1)( x + 2) 1 ( x - 7 )( x – 3) = ( -2+ - 1 )(-2+ + 2) ( -2+ - 7)( -2+ - 3) ( -3 )( 0 ˉ) ( -9)( -5) 0- 45 LIM. X 1- 1 ( x - 1)( x + 2) 1 ( x - 7)( x - 3) = ( 1- -1)( 1- + 2) ( 1- - 7)( 1- - 3) ( 0ˉ)( 3) ( -6)( -2) 0- 12 LIM. X 1+ 1 ( x - 1)( x + 2) 1 ( x - 7)( x - 3) = ( 1+ - 1)( 1+ + 2) ( 1+- 7)(1+ - 3) (0+)( 3) ( -6)( -2) 0+ 12 LIM. X 7- 1 ( x - 1)( x + 2) 1 ( x - 7)( x - 3) = ( 7- - 1)( 7- + 2) ( 7- - 7)( 7- - 3) ( 6)( 9) ( 0-)( -4) 54 0- - ∞ LIM. X 7+ 1 ( x – 1)( x + 2 1 ( x - 7)( x - 3) = ( 7+ - 1)( 7+ + 2) ( 7+ - 7)( 7+ - 3) ( 6)( 9) ( 0+)( 4) 54 0+ + ∞

Grafico finale Il grafico finale è dato dalle soluzioni degli intervalli di positività e dai calcoli dei limiti effettuati nelle pagine precedenti, la curva non potrà mai coincidere con i punti 3 e 7 in quanto essi non appartengono al campo d’esistenza della funzione considerata.

Grafico ottenuto dopo aver studiato il segno della funzione razionale fratta Y 1 x -2 1 3 7 ≠ ≠

Ricerca su internet: siti www.matematica.it Bibliografia I dati numerici delle funzioni sono stati ricavati dagli esercizi svolti durante l’anno scolastico, e le definizioni dei vari argomenti sugli appunti dati dal prof. Roberto Orsaria. Ricerca su internet: siti www.matematica.it www.atuttascuola.it