Programmazione Bilivello Lezione 1

Indice definizione del problema applicazioni classi di problemi definizioni, teoremi e proprietà metodi risolutivi BLP discreti metodi risolutivi

Riferimenti bibliografici Bard, J.F. (1998). Practical Bilevel Optimization: Algorithms and Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands. Colson, B., Marcotte, P., Savard, G. (2007). An overview of bilevel optimization. Annals of Operations Research, 153(1), 235–256. Dempe, S. (Eds.) (2002). Foundation of bilevel Programming. Kluwer Academic Publication

Definizione del Problema

Bilevel Programming Problem (BLP) ”mathematical program that contains an optimization problem in the constraints” Bracken, McGill (1973) problemi correlati: – static Stackelberg problem – Mathematical programming with equilibrium constraints (MPEC)

Formulazione Generale

f.o. leader/ upper level

Formulazione Generale f.o. follower/ lower level

Formulazione Generale vincoli upper level

Formulazione Generale vincoli lower level

Applicazioni

Da Colson et al. (2007) problemi di management – facility location, regolamentazione ambientale, politica energetica, hazmat transportation resource allocation and economic plannig – politiche sociali ed agricole, tariffazione dell’energia elettrica, toll setting

Applicazioni transportation and network design revenue management (pricing&seat allocation in airline indutry) problemi di clustering worst-case analysis problemi multi-agente

Classi di Problemi

f.o. e vincoli lineari + variabili continue: BLP lineare (il più studiato) – autori di riferimento: Bialas, Karwan, Bard, Candler, Townsley, Ben-Ayed, Fortuny-Amat, McCarl f.o. e vincoli non lineari + variabili continue: BLP non lineare – autori di riferimento: Dempe, Bard, Falk, Colson, Marcotte, Savard, Vicente, Calai, Aiyoshi, Shimizu

Classi di Problemi BLP non lineare maggiormente studiati: – lineare-quadratico: f.o. follower quadratica + f.o. leader e vincoli lineari – quadratico-quadratico: f.o. entrambe quadratiche + vincoli lineari – lineare-bilineare: f.o. leader e vincoli lineari + f.o. follower bilineare variabili discrete: BLP discreti – autori di riferimento: Bard, Moore, Edmunds, Audet, Jaumard, Savard, Wen, Dempe, Vicente

Classi di Problemi BLP discreti maggiormente studiati: – BLP lineari con variabili upper level binarie e lower lever continue – BLP lineari con variabili upper level e lower level mixed- integer – BLP lineari con variabili upper level e lower level binarie

Definizioni e Proprietà: Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region

Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region Data la formulazione generale

constrained set (chiamato anche semi-feasible set): regione ammissibile del follower per ogni valore reaction set per ogni valore inducible region: Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region

a causa della presenza di vincoli di upper level in generale R(x) ≠ IR Teoremi di Bard per il caso lineare e suoi limiti (ipotesi S limitata): – teorema 1: IR è continua, lineare a tratti e costituta dagli iperpiani di supporto di S – teorema 2: se una soluzione è combinazione convessa di r soluzioni, allora anche le r soluzioni (dimostrazione) – teorema 3: la soluzione ottima si trova in un vertice di S (dimostrazione) Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region

La formulazione generale nel caso lineare è la seguente

Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region La formulazione generale nel caso lineare è la seguente può essere riscritta come

Dimostrazione teorema 2: Sia e sia con e : Assumiamo, per assurdo, che tra le r soluzioni, esista una : Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region

Dimostrazione teorema 2: (continua) Deve esistere una soluzione che a parità di variabili leader, è migliore per il follower. Quindi E’ possibile definire una soluzione t.c. Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region

Dimostrazione teorema 2: (continua) Le soluzioni e hanno lo stesso valore delle variabili leader, ma diverso valore delle variabili follower. Segue che a parità di variabili leader, non è la reazione ottima del follower che contraddice l’ipotesi. Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region

Dimostrazione teorema 3: La soluzione ottima si trova in un vertice di S. Assumiamo, per assurdo, che la soluzione ottima z* sia un vertice di IR, ma non di S. z* può essere scritta come combinazione convessa di r soluzioni in S. Per il teorema 2, anche queste r soluzioni stanno in IR. Segue che z* è un vertice di IR e può essere espresso come combinazione convessa di soluzioni in IR, che è un assurdo, quindi z* è anche vertice di S. Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region

il teorema è verificato solo in assenza di vincoli di upper level o per vincoli del tipo G(x) ≤ 0 (che dipendono solo da x). In questo caso ogni soluzione (x,y) ϵ R(x) appartiene anche a IR. In caso contrario IR può essere discontinua o vuota la soluzione può essere cercata tra i vertici di S Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region

Esempio 1 (Bard):

Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region A B C D

A B C D

A B C D soluzione ottima

Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region Nel caso singolo obiettivo

A B C D Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region soluzione ottima

Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region Esempio 2 (Bard):

Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region A BC

A BC

IR insieme vuoto

Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region Esempio 3:

Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region A B I D H

A B I D H

Esempio 4:

Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region A B C D

IR disconnessa A B C D

Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region Il ruolo degli upper level consraints è cruciale Se il numero di upper level constraints è diverso d zero, spostando almeno un vincolo nell’inner problem si ottiene un rilassamento Esempio sull’hazmat transportation

Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region Si consideri il seguente modello bilivello per un problema di network design nell’ambito del trasporto di hazmat :rischio dell’arco (i,j) :costo del trasporto sull’arco (i,j)

Si consideri la seguente rete con s=1 e t=4 Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region soluzione ottima rischio = 3 costo = 23

Spostando il vincolo nel problema leader, il follower sceglierà sempre l’arco (1,4). Con non ci sarebbero soluzioni ammissibili. Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region soluzione ottima rischio = 100 costo = 1