Matematica e realtà: un inseguimento continuo ● MATEMATICA (definizioni, regole, teoremi) ● REALTA' (arte, natura, giochi, tecnologia) APPLICAZIONI DELLA MATEMATICA ALLA REALTA' ● Comprensione matematica di fenomeni noti ● Applicazione immediata di idee matematiche ● Utilizzo pratico di scoperte matematiche (anche vecchie di secoli)

Numeri di Fibonacci e sezione aurea (matematica all'inseguimento)

Un modello biologico di accrescimento Un fiore si espande in corone circolari successive di semi Da ogni seme della corona più esterna nasce un nuovo seme, e anche dalla corona subito meno esterna, non dalle precedenti

Un modello biologico di accrescimento

Quanti semi nelle successive corone? Numeri di Fibonacci

Il numero di semi nelle corone successive vale 5, 8, 13, 21, 34, … Notiamo: ognuno è la somma dei due precedenti Successione di Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Versione da matematici: una sequenza infinita di numeri ( F 0, F 1, F 2, F 3, F 4, F 5, … ) definita per ricorrenza da F 0 = 0, F 1 = 0, F n + 2 = F n + F n + 1 per ogni n

Sezione aurea La facciata del Partenone: Il rettangolo dalle proporzioni più “armoniche” possibili

Sezione aurea Una prima definizione matematica  : 1 = 1 :  – 1   –  – 1 = 0  altra soluzione: –  –  

Sezione aurea Una seconda definizione matematica: triangolo rettangolo con lati in progressione geometrica: =    + 1 =   

Numeri di Fibonacci e sezione aurea: una formula miracolosa Successione di Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … ( F 0, F 1, F 2, F 3, F 4, … ) con F 0 = 0, F 1 = 0, F n + 2 = F n + F n + 1 Sezione aurea:    + 1  –  –  

Una formula miracolosa Conseguenze: ●  si approssima molto bene con ha 4 cifre decimali corrette ● F n si approssima molto bene con  n ● per n = 8, 9, 10, 11 si trova ● 21,009533,994155,003688,9978

“Perché” la formula miracolosa? E' possibile “dimostrarla”, ma è più istruttivo “spiegarla” in un contesto molto più generale. Piano cartesiano Oxy: un posto in cui per conoscere un oggetto (un punto) ci vogliono due numeri (le coordinate cartesiane).

Vettori nel piano A un punto del piano corrisponde un vettore applicato nell'origine, e viceversa

Multiplo numerico di un vettore k volte v : stessa direzione, intensità |k| volte quella di v, verso capovolto se k<0

Risultante (somma) tra due vettori Risultante tra v e w: regola del parallelogrammo

Rappresentazione di un vettore Teorema: dati nel piano due vettori v e w non nulli e non proporzionali tra loro, ogni altro vettore u del piano è il risultante di un multiplo di v e di un multiplo di w, cioè esistono numeri a e b tali che u = a ∙ v + b  ∙ w.

Rappresentazione di un vettore

Riassunto e generalizzazione Il piano cartesiano è un posto in cui: ● Per conoscere un oggetto servono due numeri ● Avendo due oggetti v e w non nulli e non multipli tra loro, ogni altro oggetto u si scrive come la somma di un multiplo di v e un multiplo di w. Conclusione da matematici: in qualsiasi posto in cui un punto è determinato da due numeri, avendo due oggetti v e w non nulli e non multipli tra loro, ogni altro oggetto u si scrive come la somma di un multiplo di v e un multiplo di w.

Spiegazione della formula magica Consideriamo questo posto: X = l'insieme di tutte le successioni ( a 0, a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, … ) “alla Fibonacci”, cioè tali che a n + 2 = a n + a n + 1 per ogni n ● Per conoscere un elemento di X ci vogliono due numeri: se a 0 =2, a 1 =  3 allora a 2 =  1, a 3 =  4, a 4 =  5, a 5 =  9 … ● Dunque se trovo v e w in X non nulli e non multipli tra loro, la successione di Fibonacci ( F 0, F 1, F 2, F 3, F 4, … ) si scrive come a ∙ v + b ∙ w per opportuni numeri a, b

Spiegazione della formula magica Cerco elementi di X che siano progressioni geometriche: (1, t, t 2, t 3, t 4, …) Sta in X set 2 = t + 1,t 3 = t 2 + t,t 4 = t 3 + t 2...cioè se t 2 = t + 1 Soluzioni: t =  e t = –  – . Dunque esistono a e b con (0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...) = = a (1,          b (1, –  – , ( –  –  ) 2, ( –  –  ) 3, … ) Ora a – b = 0, a  – b  –   da cui e infine

Sezione aurea e spirali: il Nautilus

Sezione aurea e spirali

● Si può continuare all'infinito solo se il rapporto iniziale tra le dimensioni vale  e i successivi quadrati hanno lati ● 1 ●  – 1 ● 2 –  ● 2  – 3 ● 5 – 3  ● 5  – 8 ● 13 – 8  ● 13  – 21

Sezione aurea e spirali

Girasoli, ananas e spirali

Spirali e frattali

Aritmetica, probabilità e giochi (applicazioni immediate)

Un velocissimo cercatore di divisori

Il gioco con 21 carte

● Indico con X = {0, 1, 2, …, 19, 20} le posizioni delle carte nel mazzo (non {1, 2, 3, …, 20, 21}...) ● Chiamo f(x) la nuova posizione della carta x dopo una ripetizione della procedura; ho una funzione f da X a X ● Dire “dopo tre ripetizioni la carta scelta si trova sempre nella posizione 11” equivale a dire “f(f(f(x)))=10 per ogni x” Come si calcola f(x)? ● Divisione tra numeri interi (con quoziente e resto): ● 17:5 ha quoziente … e resto … ● 18:7 ha quoziente … e resto...

Il gioco con 21 carte Cosa succede quando distribuisco le carte 0, 1, 2, …, 19, 20 nei tre mazzetti? Dunque: posizione nel mazzetto = quoziente di x:3 E allora: f(x) = 7 + q con q il quoziente di x:3

Il gioco con 21 carte

Scommettiamo? ● Se prendo due cifre tra 0 e 9 a caso, è molto difficile che formino una coppia di cifre uguali ● Se prendo dieci cifre tra 0 e 9 a caso, è abbastanza facile che ci sia una coppia di cifre uguali tra loro ● E se ne prendo sette? Sembra abbastanza facile che ci sia una coppia di cifre uguali tra loro, ma quanto? Accettereste la mia scommessa 10 Euro contro 1 che sette numeri a caso contengono almeno una coppia? (Se la contengono vinco io 1 Euro, se non la contengono vincete voi 10 Euro.)

Scommettiamo? ● Se prendo due persone a caso, è molto difficile che compiano gli anni lo stesso giorno ● Se prendo 365 persone a caso, è molto facile che ce ne siano due che compiono gli anni lo stesso giorno ● E se prendo 50 persone? Accettereste la mia scommessa 10 contro 1 che in un gruppo di 50 persone almeno due compiono gli anni lo stesso giorno?

Probabilità Probabilità di un evento: numero di casi favorevoli diviso numero di casi possibili. ● Uscita del “6” tirando un dado: 1/6 ● Uscita di un multiplo di 7 come primo estratto di una tombola: 12/90 = 2/15 ● Uscita di una coppia con somma 5 tirando due dadi: 4/36 = 1/9

Scommessa equa ● Scommetto su un evento con probabilità p (alta) ● Se l'evento accade vinco 1 Euro, se non accade ne perdo k ● In media mi aspetto di vincere +1 ∙ p + (-k) ∙ (1-p) Euro ● La scommessa è equa se la media di vincita è nulla, dunque se k = p / (1-p) ● Esempio: moneta (scommetto testa); p=1/2, k=1 ● Esempio: dado (scommetto diverso da 6): p=5/6, k=5 ● Mi conviene se k < p / (1-p) ● Non mi conviene se k > p / (1-p)

Eventi indipendenti e numeri di telefonino La probabilità che due eventi tra loro indipendenti si realizzino entrambi è il prodotto delle probabilità singole. ● Probabilità che su 7 cifre ce ne siano almeno due uguali tra loro: 1 meno probabilità che siano tutte diverse: ● Scommessa equa se perdendo pagassi ● k = p / (1-p) = Euro Quindi pagando solo 10 Euro guadagno io!

Eventi indipendenti e compleanni Probabilità che in un gruppo di 50 persone almeno due compiano gli anni lo stesso giorno: 1 meno probabilità che tutti li compiano in giorni diversi: Scommessa equa se perdendo pagassi k = p / (1-p) = Euro Quindi pagando solo 10 Euro guadagno (molto) io!

Lettere e buste Se scrivo 10 lettere (ognuna con il nome del destinatario), intesto le 10 buste, e poi infilo le lettere a caso nelle buste, che probabilità ho che almeno una lettera finisca nella busta giusta?

Lettere e buste Almeno una lettera giusta nella busta giusta:

Paradossi Un'altra scommessa. Nel paesino di S. Ilario c'è un solo barbiere, Fabrizio. Tra un attimo: ● Vi dico precisamente a chi taglia la barba Fabrizio ● Vi faccio una domanda sulle persone a cui Fabrizio taglia la barba Se rispondete vi pago 10 Euro, se non siete capaci pagate 1 Euro a me. Accettate?

Paradossi ● Vi dico: Fabrizio taglia la barba precisamente a quelli che non si tagliano la barba da soli ● Vi chiedo: Fabrizio si taglia la barba da solo? ● Se rispondete “No”, Fabrizio rientra nel gruppo di quelli a cui lui taglia la barba, quindi la risposta è “Sì” ● Se rispondete “Sì”, Fabrizio non rientra nel gruppo di quelli a cui lui taglia la barba, quindi la risposta è “No” ● Rispondere è impossibile!

Crittografia a chiave pubblica (Realtà all'inseguimento della matematica)

Acquisto via Internet ● Sul sito di un negozio N un cliente C vuole fare un acquisto ● Finché sceglie cosa comprare, non è grave se c'è una spia ● Ma quando deve spedire le 16 cifre della sua VISA...

Acquisto sicuro via Internet A chi vi affidereste? A lui...

Acquisto sicuro via Internet O a lui? Pierre de Fermat,

Aritmetica modulare ● Fissiamo un numero naturale k (ad esempio, k = 7) ● Decidiamo che i numeri legali da ora in poi sono soltanto 0, 1, 2, …, k – 1 (per k = 7, sono solo 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) ● Decidiamo che con i numeri legali possiamo fare le operazioni, ma se il risultato viene illegale lo facciamo tornare legale aggiungendo multipli di k (cioè: sostituendolo con il resto della sua divisione per k) ● Esempi per k = 7: = …4 + 3 = …5 + 4 = …6 – 1 = …2 – 5 = … 2 ∙ 3 = …4 ∙ 3 = …5 ∙ 5 = …2 4 = …6 5 = …

Versione alternativa: congruenze Definizione: due interi n e m sono congruenti modulo k e scrivo n ≡ m (mod k) se ● m  n è multiplo di k, ovvero ● le divisioni m : k e n : k hanno lo stesso resto Esempi: ● 9 ≡ 1 (mod 4),5 ≡  (mod 6),  ≡ 7 (mod 9) ● ≡ 0 (mod 7),3  8  ≡ 2 (mod 7), 4 ∙ 7 ≡ 1 (mod 5)

Congruenze Fatto: eseguendo le operazioni modulo k, in qualsiasi momento posso sostituire un intero n con un intero congruo a n modulo k. ● Esempio: 17 ∙ 13 ≡ 6 ∙ 2 ≡ 1 (mod 11) Applicazione. Criterio di divisibilità per 9: Un intero n è divisibile per 9 se e solo se lo è la somma delle sue cifre. Proviamo che n è congruo modulo 9 alla somma delle sue cifre. Se da destra a sinistra le cifre sono a 0, a 1, a 2, a 3, … allora n = a 0 + a 1 ∙ 10 + a 2 ∙ a 3 ∙ … ma 10 ≡ 9+1 ≡ 1 (mod 9),100 ≡ 99+1 ≡ 1 (mod 9), 1000 ≡ ≡ 1 (mod 9), dunque n ≡ a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + … (mod 9)

Crittografia a chiave pubblica Situazione: lungo un canale che può essere spiato, il cliente C vuole mandare al negozio N le 16 cifre m della sua VISA. Passi: ● N sceglie due numeri primi p e q molto grandi e pone n = p ∙ q (questo n deve avere almeno 16 cifre) ● N sceglie numeri k e h tali che k ∙ h ≡ 1 (mod (p  1) ∙ (q  1)) ● N spedisce a C i numeri n e k ● C calcola r = m k (mod n) ● C spedisce a N il numero r ● N calcola r h (mod n): il risultato è m

Crittografia a chiave pubblica ● Tutti i messaggi possono essere inviati in chiaro ● Non c'è bisogno di alcun accordo segreto preliminare ● Le regole del gioco sono perfettamente note alla spia ● Perché funziona? ● Perché è sicuro?

Crittografia a chiave pubblica: perché è sicura? ● N sceglie n = p ∙ q con p e q primi, poi k e h tali che k ∙ h ≡ 1 (mod (p  1) ∙ (q  1)), e spedisce n e k a C ● C spedisce a N il numero r = m k (mod n) ● N calcola r h (mod n): il risultato è m. La spia intercetta n, k e r, e conosce le regole. Se riesce a trovare p e q, cioè a fattorizzare n, trova facilmente h tale che k ∙ h ≡ 1 (mod (p  1) ∙ (q  1)), quindi decifra m = r h (mod n)

Crittografia a chiave pubblica: perché è sicura? ● Le operazioni aritmetiche (somme, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni) sono velocissime ● La fattorizzazione di un numero che è prodotto di due primi molto grandi è lentissima Esempi: ● Calcolare 947 ∙ 874 ● Fattorizzare

Crittografia a chiave pubblica: perché funziona? ● N sceglie n = p ∙ q con p e q primi, poi k e h tali che k ∙ h ≡ 1 (mod (p  1) ∙ (q  1)), e spedisce n e k a C ● C spedisce a N il numero r = m k (mod n) ● N calcola r h (mod n): il risultato è m. Poiché r h ≡ (m k ) h ≡ m k ∙ h (mod n) posto t = k ∙ h basta vedere il: Teorema. Se p e q sono primi e t ≡ 1 (mod (p  1) ∙ (q  1)) allora m t ≡ m (mod p  ∙ q)

Crittografia a chiave pubblica: perché funziona? Piccolo Teorema di Fermat: Se p è primo, per ogni intero m vale m p ≡ m (mod p) Esempi (i casi m = 0, m = 1 e m = p -1 sono sempre facili): p = 5; 2 5 = 32 = 6 ∙ ≡ 2 (mod 5) 3 5 = 243 = 48 ∙ ≡ 3 (mod 5) P = 7;2 7 = 128 = 18 ∙ ≡ 2 (mod 7) 3 7 = 2187 = 312 ∙ ≡ 3 (mod 7)

Crittografia a chiave pubblica: perché funziona? Teorema. Se p e q sono primi e t ≡ 1 (mod (p  1) ∙ (q  1)) allora m t ≡ m (mod p  ∙ q) Piccolo Teorema di Fermat: Se p è primo allora m p ≡ m (mod p) Definizione: se x > 1 è un intero, chiamo  (x) il numero di interi tra 1 e x coprimi con x ● Se p è primo allora  (x) = p –  1 ● Se p e q sono primi allora  (p ∙ q) = p ∙ q –  p  q+1=(p  1) ∙ (q  1) Teorema di Eulero: m  (x) + 1 ≡ m (mod x)

Altri tre inseguimenti 1 – La matematica insegue ● I mosaici dell'arte neolitica, dell'architettura moresca in Spagna e dei templi maya, e i gruppi cristallografici

Altri tre inseguimenti 2 – La matematica precede ● La tomografia assiale computerizzata (TAC) e la antitrasformazione di Radon ( )

Altri tre inseguimenti 3 – La matematica precede ● Dimensione frattale della rete capillare in un tessuto

Pavimentazioni del piano ● In quanti e quali modi diversi è possibile pavimentare il piano con piastrelle tutte uguali tra loro?

Pavimentazioni del piano (Colombia e Perù)

Pavimentazioni del piano (Egitto e Colombia)

Pavimentazioni del piano (Egitto)

Pavimentazioni del piano (Egitto e Creta)

Pavimentazioni del piano (India e Africa)

Pavimentazioni del piano ● Piastrelle uguali tra loro: ottenute l'una dall'altra con un movimento rigido (congruenza)

Pavimentazioni del piano ● Pavimentazione: il piano deve essere ricoperto, senza sovrapposizioni e senza lasciare spazi, e in modo “regolare” (da una porzione finita, abbastanza grande, si deve capire come si estende all'infinito)

Pavimentazioni del piano Pavimentazioni regolari

Pavimentazioni del piano Una pavimentazione irregolare

Pavimentazioni del piano ● Pavimentazioni “uguali” tra loro: movimenti rigidi, omotetie...

Pavimentazioni del piano ● Pavimentazioni uguali se seguono “la stessa regola di posatura” anche se le piastrelle sono diverse

Tassellazioni del piano Ce ne sono 17 tipi

La trasformata di Radon – versione discreta

Antitrasformata di Radon – versione discreta

La trasformata di Radon – versione continua Altitudine h(x,y) nel punto di coordinate (x,y)

La trasformata di Radon – versione continua H(t,  ) = altitudine media lungo la retta tratteggiata

Antitrasformata di Radon – versione continua Conoscendo H(t,  ) per ogni t e per ogni , è possibile ricostruire h(x,y) per ogni x e per ogni y?

Diagnostica tramite Tomografia Assiale Computerizzata e antitrasformata di Radon

Dimensione ● Una retta ha dimensione 1 ● Un piano ha dimensione 2 ● Anche un segmento ha dimensione 1 ● Anche un pezzo di piano (un cerchio ha dimensione 2) ● Anche ad oggetti “storti” nel piano o nello spazio possiamo attribuire una dimensione: ● curve (dimensione 1), superfici (dimensione 2)

Curve (dimensione 1)

Superfici (dimensione 2)

Il fiocco di neve di Koch

Dimensione frattale ● Il fiocco di neve di Koch è più di una curva, ma è meno una superficie... ha dimensione frattale ● La pelle del cavolo romano è più di una superficie ma meno di un solido... ha dimensione frattale compresa tra 2 e 3

Capillari sanguigni

Capillari e dimensione frattale Ricerche sperimentali di medicina attribuiscono una dimensione frattale alla rete dei capillari di alcuni tessuti e interpretano la variazione di questa dimensione come sintomo di una condizione patologica.

Arrivederci Grazie a tutti per l'attenzione!