Teorema di Napoleone e Geogebra Sara Leal Venegas

● Avviso ai lati del triangolo IHG. Che tipo di triangolo è? ● Spostare i punti A, B, C e guardare i lati del triangolo IHG. È ancora lo stesso tipo di triangolo? ● Il risultato che hai trovato è noto come Teorema di Napoleone, come si fa a enunciare? ● Avremmo lo stesso risultato se abbiamo costruito tre triangoli equilateri verso l'interno dil triangolo anziché verso l'esterno?Controla il resultato.

GeoGebra Fondamentalmente è un "processore geometrico" e un "processore algebrico", ossia una raccolta di software matematico che porta interattiva geometria, algebra e calcolo, e quindi può essere utilizzato anche in fisica, proiezioni di business, di stime e di decisione strategica e altre discipline. Con GeoGebra può essere fatto da punti, linee, segmenti, vettori, coniche... ecc, con l'utilizzo diretto di utensili operanti con il mouse o l'ingresso di comandi nella barra di input con la tastiera o selezionando dalla lista di quelli disponibili. Tutto il risultato è modificabile in modo dinamico: cioè se un oggetto B dipende da un altro A, di modificare A, B accade di essere adeguati e aggiornati per mantenere rapporti adeguati con A. GeoGebra consente di tracciamento dinamico costruzioni geometriche di ogni genere, nonché grafiche, il trattamento algebrico e di calcolo delle funzioni reali di variabile reale, le loro derivate, integrali, ecc.

Teorema di Napoleone Se sui lati di un triangolo qualunque si costruiscono tre triangoli equilateri esterni a quello dato e si congiungono i loro centri, si ottiene un triangolo equilatero.

Dimostrazione Con riferimento allora alla costruzione in figura si traccino le circonferenze circoscritte ai tre triangoli equilateri e se prendano in considerazione due, ad es. quella circoscritta al triangolo ABK e quella al triangolo BCJ; queste si incontreranno, oltre che nel punto B, anche in un punto M (se no, A, B e C sono alineati). Si può dimostrare che per questo punto passa anche la terza circonferenza, quella circoscritta al triangolo ACL.

ABMK è un quadrilatero inscritto in un cerchio, allora AMB=180º – K. E per l'stesso BMC= 180º – J. Allora, AMC = 360º - (AMB +BMC) = 360º – (180º – K + 180º - J ) = K + J= L. Per quale A, M, C y L sono sulla stessa circonferenza e risulta che M è il punto di intersezione di tre cerchi circoscritti.

Ora possiamo dimostrare il teorema: GI e IH sono perpendicule a BM y CM (Per la propietà di prima). Allora il quadrilatero M''MM'I può essere inscritto in un cerchio (gli angoli in I e J sommano 180°) e si dedurre che I= 180° - M''MM'. Come JBMC è inscritto in una circonferenza, abbiamo che J = 180° - BMC. Con queste due igualta abbiamo che I=J. De l'stessa forma, H=K e G=L, e allora, HIG è equilatero.

Analisi Il teorema può essere generalizzato e si può controlare mediante GeoGebra. Anzitutto è sufficiente che i tre triangoli costruiti sui lati siano simili tra loro; i loro circocentri saranno vertici di un triangolo simile ai tre. Inoltre il teorema continua a valere anche se i tre triangoli vengono costruiti internamente e si può anche dimostrare che l’area del triangolo “esterno” differisce dall’area del triangolo originario dell’area del triangolo “interno”.