Spettroscopia Mesonica Prima parte: i mesoni A. Celentano, dottorando Ciclo XXVI

I mesoni: introduzione Stato dell'arte circa la struttura dei mesoni (ed in generale degli adroni): Particelle non elementari, stato legato di quark e gluoni. Quark e gluoni: costituenti fondamentali della materia adronica, sono oggetti elementari privi di struttura interna. Risentono della interazione forte, meccanismo dinamico che governa l'evoluzione e le interazioni degli adroni. Quark: esistono in 6 “tipi” (sapori) diversi. “Colore”: carica dell'interazione forte (come la carica elettrica per l'interazione elettromagnetica). A differenza della carica elettrica, esistono 3 stati di colore: “red”, “green”, “blu” (e 3 stati di anti-colore). Quark: posseggono 1 carica di colore Anti-quark: posseggono 1 carica di anti-colore Gluoni: posseggono 1 carica di colore ed una di anti-colore (le combinazioni ammissibili sono pero' 8) Descrizione dell'interazione forte: attraverso una teoria di campo. QCD: “QuantoCromoDinamica”.

Perché i quark? (breve intermezzo storico) Anni 60: un grande numero di particelle scoperte (p,r,K,w,h,p,n,D,S,X) con diverse masse, cariche elettriche, vite medie, spin. Si cerca (attraverso considerazioni di simmetria) un modello che possa descriverle e fare predizioni. 1964: Gell-Mann e Zweig (indipendentemente) propongono il modello a “quark-costituenti”, basato su simmetria SU(3), con 3 sapori di quark “leggeri” (up, down, strange). Barioni: costituiti da 3 quark Mesoni: costituiti da 1 quark ed 1 anti-quark. La loro “massa” non e' quella che compare nelle equazioni della QCD, bensi' una massa “efficacie”. Colore: “conseguenza” del modello Particella D ++ (3/2 + ): barione formato da 3 quark up. Parte spaziale f.o. simmetrica (quark in onda s, stato fondamentale) Parte di spin simmetrica (S=3/2) Parte di sapore simmetrica (3 quark up ) La f.o. deve essere antisimmetrica (3 fermioni): e' necessario introdurre un ulteriore grado di liberta' per i quark, rispetto al quale la f.o. e' completamente antisimmetrica. COLORE Anticipazione:

Le teorie di campo Teoria di campo: si descrive un sistema usando, al posto di variabili dinamiche discrete variabili dinamiche continue, dette “campi”, distribuite nello spazio-tempo e funzione delle quadri-coordinate. Densita' di lagrangiana L: funzione dei campi (e delle loro derivate) che descrive completamente il sistema. Da essa si ricavano le equazioni del moto (equazioni di Eulero-Lagrange) attraverso il principio di minima azione. Esempi: ● Meccanica classica: e' una teoria discreta. Descriviamo i sistemi attraverso un insieme finito di variabili (tipicamente coordinate o angoli). ● Elettromagnetismo Classico: e' una teoria di campo. Non descriviamo le interazioni elettromagnetiche descrivendo i singoli fotoni, ma introducendo i campi elettrici e magnetici. S = ∫ Ldxdt Proprietà di Simmetria della Lagrangiana: Ad ogni simmetria rispetto a cui si ha invarianza corrisponde una carica conservata dal sistema (Noether). Caso EM-> Simmetria U(1) -> Carica elettrica

Teorie di campo: la QED La QED (QuantoElettroDinamica) e' la teoria di campo che descrive l'interazione di particelle cariche con il campo elettromagnetico. Nel caso di interazione con particelle a spin ½ (es: elettroni e positroni) di massa m: L QED = i ∂− m − eA − 1 4 FF : campo che descrive i fermioni (spinore di Dirac a 4 componenti) : suo coniugato di Dirac A : campo per i fotoni (quadripotenziale del campo elettromagnetico) Evoluzione libera dei fermioni (eq. di Dirac) Interazione fermioni-fotoni Evoluzione libera del campo elettromagnetico (eq. di Maxwell) La teoria presenta un solo vertice di interazione, del tipo “elettrone-positrone-fotone” (accoppiamento tra la corrente dei quark ed il campo EM). La costante di accoppiamento per tale vertice (nel calcolo delle probabilita' di interazione) e' a: a << 1, e' ammissibile uno sviluppo perturbativo della teoria. I calcoli di sezioni d'urto e ampiezze di decadimento si possono eseguire con la tecnica perturbativa dei diagrammi di Feynmann (eventualmente al primo ordine). e-e- e+e+ g Vertice d'interazione. LagrangianaRegole di Feynmann Calcolo dell'ampiezza del processo studiato

La QCD (in una slide!) La lagrangiana (uguale per i 6 sapori) e' formalmente identica a quella della QED: ● Evoluzione libera dei quark ● Evoluzione libera dei gluoni ● Interazione quark-gluoni (accoppiamento: g) i,j: indice di “colore” per i quark (i,j:1..3) a: indice di “colore” per i gluoni (a:1..8) Ma: “Nascosto” in L si ha un termine di interazione tra i gluoni, con costante di accoppiamento g: la QCD prevede vertici di interazione a 3 e 4 gluoni (assenti in QED). I gluoni portano carica di colore! Simmetria in QCD: L e' invariante per trasformazioni di tipo SU(3) (simmetria di colore). Costante di accoppiamento: Dipende dalla scala d'energia del processo d'interazione, e decresce con essa (“liberta' asintottica”). Solo ad alta energia lo sviluppo perturbativo e' ammissibile! Che fare? Approccio numerico (LQDC) Approccio attraverso modelli predittivi, dedotti da considerazioni “teoriche” (simmetria) e sperimentali Vertice d'interazione : qiqi qjqj AaAa Accoppiamento: g l a ij

Mesoni nel settore dei quark pesanti (c,b,t) (1/2) 3 sapori non previsti da Gell-Mann e Zweig, introdotti successivamente per descrivere nuove particelle scoperte. Quark “pesanti”: c ~ 1.6 GeV, b ~ 4.2 GeV, t ~ 170 GeV. Per i mesoni costituiti da una coppia di questi quark (cc e bb) e' ammissibile una trattazione non relativistica (eq. di Schrodinger) senza usare la QFT (M ~ 2 m q ) Che potenziale q-q usare? Storicamente, diversi tentativi fintanto che si e' ottenuto l'accordo coi dati sperimentali. Il risultato e' consistente con calcoli LQCD! se r>>l se r<<l A corta distanza prevale un andamento di tipo Coulombiano. A grande distanza si ha un andamento lineare di tipo potenziale armonico. Il caso dei mesoni si riconduce ad un problema centrale a due corpi in MQ non relativistica! Separando le variabili in coordinate sferiche: Oscillatore armonico: l:n,n-2, n-4,..., 1 o 0 Potenziale coulombiano: l: 0, 1,..., n-1 J/y, h c c c, h c y'y' y'' Si puo' andare oltre... ESEMPIO: cc

Mesoni nel settore dei quark pesanti (c,b,t) (2/2) Spettro del charmonio non mediato sullo spin: Il termine radiale non e' l'unico nel potenziale q-q, si possono scrivere termini che contengono il momento angolare orbitale L e lo spin S 1/2 Scritte le combinazioni scalari di S e L, richiedendo proprieta' di invarianza per simmetria P,T sopravvivono le combinazioni: Ad esempio: Si puo' impostare il calcolo “quenched” in LQCD nell'approssimazione di 1-gluon exchange e ottenere la forma del potenziale. non e' invariante per P e va scartato. Il potenziale cosi' ricavato si puo' utilizzare per ricavare lo splitting dei livelli, al primo ordine perturbativo. Correzioni di O(1/m 2 ) Per stati in onda s il termine iperfine si riduce a Impostando il calcolo con le auto-funzioni dell'oscillatore armonico si ottiene lo splitting di massa dei due stati: Esempio: splitting J/Y (S=1) / h c (S=0) Sperimentalmente: D=116 MeV

Mesoni nel settore dei quark leggeri (u,d,s) Nel caso dei mesoni nel settore dei quark leggeri, la trattazione non-relativistica non e' valida (M >> 2m q ). E' necessario cambiare la trattazione! Si sfruttano modelli che si rifanno a proprieta' generali di invarianza e di simmetria per fare delle predizioni (eventualmente richiamando alcuni aspetti della QCD). Tra questi: Costituent Quark Model (Gell-Mann e Zweig, 1964) Flux Tube Model (Isgur, 1984)

Sistema fisico con una simmetria legata ad un gruppo SU(N) 1) Ogni stato fisico e' descritto da un vettore in uno spazio vettoriale V: spazio degli stati. Base b dello spazio V: autostati di una osservabile massima. 2) Rappresentazione del gruppo: una “regola” che associa ad ogni membro del gruppo un operatore unitario U che agisce nello spazio V (dunque una matrice M associata alla base b). (b e' detta “base per la rappresentazione”, o per semplicita' “rappresentazione”). 3) La rappresentazione e' detta “riducibile” se la generica matrice M e' simile ad una matrice diagonale a blocchi, ovvero se gli stati in b formano sottoinsiemi “chiusi” per le trasformazioni indotte dal gruppo (anche attraverso loro combinazioni lineari). Qualora cio' non accada, la rappresentazione e' detta “irriducibile”. Rappresentazioni riducibili si possono spezzare in somma diretta di rappresentazioni irriducibili 4) “Etichette” per gli stati di una rappresentazione irriducibile: numeri quantici costanti nella rappresentazione (m) e numeri quantici che variano su di essa (n). 5) Per gli operatori su V si generalizza quanto sopra, definendo gli “operatori tensori irriducibili” tramite le loro regole di trasformazione. Brevissimo richiamo di teoria dei gruppi, rappresentazioni e operatori Esempio: ● Un elettrone, con i soli gradi di liberta' di spin. Simmetria SU(2). Base per una rappresentazione (irriducibile): ● Due elettroni, con i soli gradi di liberta' di spin. Base per una rappresentazione Non e' irriducibile! Si spezza in due rappresentazioni irriducibili:

Il modello a quark costituenti: introduzione Modello basato su una simmetria di tipo SU(3) che caratterizza l'interazione forte. Gli stati osservabili (mesoni e barioni) sono stati legati di particelle fondamentali, quark”, e delle loro anti-particelle, “anti-quark”. Esistono 3 tipi di quark: “up”, “down”, “strange” I mesoni sono formati da un quark e da un anti-quark (struttura qq) I barioni sono formati da 3 quark (struttura qqq) Protone (uud) p + (ud) I quark hanno s= 1/2. Sfruttando anche P q =-P q e indicato con L il momento angolare relativo di quark e antiquark e con S lo spin totale (0 o 1) si ottengono i seguenti numeri quantici per i mesoni: Parita' spaziale: parita' intrinseche e moto orbitale C-parita': scambio delle coordinate spaziali e di spin (definita solo per mesoni neutri). Come conseguenza immediata del modello: alcune combinazioni di numeri quantici sono “vietate”: 0 -+, 1 -+, 2 +-, 3 -+ NUMERI QUANTICI ESOTICI Nomenclatura dei mesoni nel modello a quark costituenti

Il modello a quark costituenti: teoria dei gruppi I quark (antiquark) costituiscono la rappresentazione fondamentale di SU(3): un tripletto (ed il suo coniugato). 33 Gli adroni sono “costruiti” attraverso il prodotto tensore delle due rappresentazioni. MESONI: qq, BARIONI: qqq, Il prodotto delle rappresentazioni si scrive come somma diretta di rappresentazioni irriducibili di SU(3). Gli stati fisici sono organizzati in multipletti di SU(3): particelle che appartengono allo stesso multipletto hanno per simmetria stessi numeri quantici J P e stessa massa (nel limite di simmetria SU(3) esatta). Quali multipletti? Dalla serie di Clebsh-Gordon per SU(3): MESONI: BARIONI: Rappresentazione “grafica” dei multipletti : ogni stato e' un punto nel piano “I 3 -Y”. Per i mesoni: un singoletto ed un ottetto I3I3 Y us ds ud du sd su K+K+ K0K0 K0K0 K-K- p+p+ p-p- p0p0 h Iso-vettore Iso-scalare Iso-scalare per il singoletto. Stati di piu' mesoni si scrivono come prodotto tensore delle 2 rappresentazioni: il risultato e' una rappresentazione riducibile, che si spezza in somma diretta di rappresentazioni irriducibili (tramite i coefficienti di C.G. per SU(3)). Per 2 mesoni: Numeri quantici che etichettano i multipletti:

Il modello a quark costituenti: dati sperimentali attuali Nero: assegnazioni delle particelle ai multipletti di SU(3) ben note e stabilite. Verde: assegnazioni ancora dibattute.

Il modello a quark costituenti: formula di massa (1/2) Attraverso il modello a quark costituenti si puo' scrivere una relazione tra le masse delle particelle in un ottetto: a causa della violazione della simmetria SU(3) esse non sono uguali. 1) Una prima “macro-violazione” separa le masse degli stessi SU(3)-multipletti, ma mantiene la simmetria entro gli SU(2) multipletti. 2) La interazione EM separa le masse dei multipletti SU(2). Limitandosi alla prima violazione: l'operatore di massa M deve conservare Y, I, I 3 Attraverso gli operatori tensori Somma estesa alle rappresentazioni con uno stato Y=I=I 3 =0 Per calcolare la massa di uno stato: Serve il teorema di Wigner-Eckart: ● Le uniche IR che contribuiscono al calcolo di m 2 sono 1, 8, 10, 10 e 27. ● Tra queste, quelle che posseggono uno stato con Y=I=I 3 =0 sono solo 1, 8, 27. Espressione dell'operatore di massa, nel caso in cui si trascuri la violazione di simmetria EM g “conta” le volte in cui nel prodotto tensore m 1 -m 2 compare la rappresentazione m 3 Si possono svolgere ora i calcoli: Qui si applica WE. I coefficienti CG SU(3) sono tabulati, e sono gli elementi di matrice ridotti.

Il modello a quark costituenti: formula di massa (2/2) Ripetendo il calcolo anche per gli altri iso-multipletti si ottiene: 3 equazioni, 3 incognite. Gell-Mann propose di prendere solo i contributi dagli op. tensori fino a m=8 (rappr. fisiche dei mesoni), ovvero a 27 =0 Sperimentalmente: ● Mesoni pseudo-scalari: p(140), K(494), h(548) ● Mesoni vettori: r(770), w(782), K 1 (891) GeV 2 = GeV GeV 2 = 3.17 GeV 2

Il modello a quark costituenti: mixing (1/2) A causa del fatto che la simmetria SU(3) di sapore non e' esatta per i mesoni, puo' avvenire “mixing” degli stati isoscalari (I=I 3 =Y=0). Gli stati fisici non necessariamente corrispondono a quelli che compaiono nei due multipletti (|8> e |1>), ma possono essere una loro combinazione lineare. q: angolo di mixing (parametrizzazione PDG) Il mixing avviene solo fra questi due stati, gli altri hanno numeri quantici diversi fra loro! “Mixing ideale”: il contributo ss e' solo in f'. Si ottiene per Come misurare q per un dato “nonetto”? ● Dai rapporti di decadimento ● Dalle masse delle particelle: ● M e' diagonale rispetto a f e f', non |1> e |8>! Dopo molti passaggi algebrici si ottiene:

Il modello a quark costituenti: mixing (2/2) Ma non e' una massa “fisica” (e' un elemento di matrice), formula poco maneggievole. Formula di massa di GellMann-Okubo: Per come e' stata ricavata, quella che qui compare e' in realta' m 8 2 ! Formula che permette di calcolare l'angolo di mixing tra gli stati isoscalari, note le masse delle particelle del “nonetto” Angoli di mixing per alcuni nonetti noti, usando la formula sopra: Mixing quasi “ideale” Nel caso del nonetto pseudo-scalare: Si e' vicini alla configurazione di mixing assente, per cui h e h' sono stati di puro ottetto/singoletto. h' ~ 90% SU(3) – singoletto h ~ 90% SU(3) - ottetto

Il modello a quark costituenti: decadimenti Attraverso il modello a quark costituenti e' possibile fare previsioni sui rapporti di decadimento dei mesoni, semplicemente attraverso la loro “composizione” in termini di quark. Esempio: decadimento dei mesoni vettori neutri in coppia e + / e - Vertice g e + e - : costante di accoppiamento q e Vertice g q q: costante di accoppiamento q q r(770) w(782) F(1020): masse circa uguali, si possono assumere uguali i 3 spazi delle fasi. q : angolo di mixing per il nonetto dei mesoni vettori neutri Per i rapporti di decadimento: Sperimentalmente: Compatibile con il mixing ideale (q ~ 35.2 deg)

Il modello a quark costituenti: conclusioni Attraverso il modello a quark costituenti per i mesoni e' possibile fare molte previsioni, dettate da principi “generali” di simmetria e derivate con le tecniche della teoria dei gruppi. ● Numeri quantici J PC ● Relazioni fra le masse delle particelle nello stesso SU(3)-multipletto ● Previsioni dei rapporti di decadimento relativi Nel modello il ruolo dei gluoni e' completamente “trascurato”: la massa “efficacie” dei quark nasconde tutta la dinamica interna dei mesoni (anche il confinamento di colore non viene completamente spiegato). Inoltre: per i mesoni la QCD non vieta, oltre alla configurazione qq, altre strutture piu' complesse: Flux Tube Model (Isgur, 1984) “Evoluzione” dei modelli: il ruolo dei gluoni e' esplicitamente tenuto in considerazione. Per descrivere gli ibridi: Per i valori assoluti, servono i dati sperimentali.

Flux Tube Model: introduzione Modello nel quale il ruolo dei gluoni all'interno di un mesone e' “manifesto” (ovvero: i gluoni partecipano dei gradi di liberta' “efficaci” del mesone). Da calcoli LQCD: i gluoni possono essere introdotti tramite i gradi di liberta' di una stringa “meccanica” oscillante che lega la coppia qq. Tali gradi di liberta' sono quantizzati attraverso fononi. Ultra-semplificando: Quando la stringa e' nello stato fondamentale, non porta alcun grado di liberta' aggiuntivo. Si ritrovano i mesoni “convenzionali” con struttura qq Quando la stringa e' eccitata, contribuisce ai numeri quantici del mesone (struttura qqg) Per il primo stato eccitato (1 solo “fonone”) si hanno i due contributi: J PC : 1 +- e 1 -+ clockwise anti-clockwise Per mesoni con L=0 e S=1, si ottengono (anche) le combinazioni quantiche “esotiche”

Flux Tube Model: origini Osservazione sperimentale: per i mesoni si ha Linear Regge Trajectories Modello: campo gluonico schematizzato come una “stringa” rotante che lega q e q, con densita' di massa (energia) s(r) Con trattazione relativistica: Se s(r)=costante Densita' di energia costante: le linee del campo gluonico sono equispaziate. Confinamento spaziale delle linee di campo: corrisponde al confinamento di colore.

Flux Tube Model: gli stati ibridi La “stringa” quantistica vibrante che lega q e q e' quantizzata introducendo i modi normali “clockwise” e “anti-clockwise”, ed i relativi fononi. QUARK GLUONI (in termini di onde piane) Introdotti i numeri quantici: Energia del tubo Elicita' del tubo Si costruiscono gli stati a momento angolare totale definito attraverso (complicate) combinazioni lineari: + 1, compare nella combinazione lineare. Esempio: i mesoni ibridi nel caso della stringa nel suo primo stato eccitato.

Flux Tube Model: decadimento di stati ibridi Decadimento di un ibrido: nel modello descritto tramite la “rottura” della stringa e la conseguente creazione di una coppia qq in configurazione 0 ++ (numeri quantici del vuoto) Simile al modello 3 P 0 per il decadimento di mesoni, ma: non e' uniforme per un ibrido Regola di selezione: il momento angolare portato dalla stringa si trasferisce in momento angolare orbitale interno ad uno dei prodotti di decadimento. Decadimento di un ibrido in 2 mesoni scalari altamente soppresso. Ad esempio, all'interno del modello Close e Page hanno calcolato, per uno stato 1 -+, le seguenti larghezze di decadimento (da normalizzare ancora allo spazio delle fasi): 0 se 1 -+ e' membro di un SU(3) - ottetto! Dati usati per il calcolo: larghezze calcolate per i mesoni convenzionali, confrontate coi dati sperimentali.

Ricerca di mesoni ibridi: situazione sperimentale attuale 3 candidati per stato esotico 1 -+ ● p 1 (1400): osservato (da piu' esperimenti) solo nel canale hp. ● p 1 ( 1600 ): candidato con piu' evidenze sperimentali. Osservato in 4 canali di decadimento, da diversi esperimenti ● p 1 ( 2015 ): stato la cui verifica sperimentale e' molto incerta. Osservato da un solo esperimento in 2 canali diversi, con statistica molto limitata. Non confermato da un secondo esperimento

Ricerca di mesoni ibridi: p 1 (1400) Risultati sperimentali attuali: Il segnale e' osservato solo nel canale di decadimento hp. Per conservazione del momento angolare, L=1 (onda p). anti-simm. simm. anti-simm. La richiesta di anti-simmetria nella parte di sapore fa si che, se p 1 fosse membro di un SU(3)-ottetto, il decadimento sarebbe vietato. E' invece ammissibile una configurazione qqqq.

E852: Esperimento al Cern, fascio di p - (18 GeV) su bersaglio di idrogeno fisso Ricerca di mesoni ibridi: p 1 (1400) a 2 (1320) Risultato pubblicato:

Ricerca di mesoni ibridi: p 1 (1600) Decadimento in hp non osservato. Risultati sperimentali attuali:

Ricerca di mesoni ibridi: p 1 (1600) Compass : Esperimento al Cern, fascio di p - (190 GeV) su bersaglio di Piombo Risultato pubblicato: 1 ++ a 1 (1270) 2 -+ p 2 (1670) 2 ++ a 2 (1320) 1 -+ p 1 (1600)

Ricerca di mesoni ibridi: p 1 (2015) Risultati sperimentali attuali: Massa invariante per lo stato finale b 1 p: L'esperimento VES ha ripetuto lo studio degli stessi stati finali, senza riportare alcun commento circa questo stato.

Conclusioni: ● La teoria che descrive la dinamica delle interazioni forti e' la QCD, nelle cui equazioni compaiono i campi di quark e gluoni. A causa del fatto che la costante di accoppiamento della teoria vale ~ 1, non e' ammissibile uno sviluppo perturbativo delle soluzioni. ● Nel caso dei mesoni nel settore dei quark leggeri e' possibile introdurre dei modelli che descrivano le particelle e che facciano predizioni verificabili sperimentalmente. ● Il Constituent Quark Model e' stato il primo modello usato per descrivere i mesoni. In esso un mesone e' uno stato legato quark-antiquark, i gluoni non sono presenti nel modello. ● Attraverso regole generali di simmetria (gruppo SU(3)) si possono ricavare relazioni relative tra le masse degli stati ed i rapporti di decadimento. ● Il Flux Tube Model considera esplicitamente il ruolo dei gluoni, i cui gradi di liberta' sono introdotti attraverso una stringa meccanica vibrante che lega quark ed antiquark. I mesoni “ordinari” corrispondono allo stato fondamentale della stringa. ● L'esistenza o meno di mesoni ibridi e' un argomento dibattuto: si hanno 3 candidati p per uno stato esotico 1 -+, la cui verifica sperimentale ha portato a risultati non sempre compatibili da parte di diversi esperimenti.