Teorema di Ramsey Introduzione Teorema di Schur Upper bound, Lower bound facile Lezione 5 dal libro di Babai & Frankl: Linear Algebra Methods in Combinatorics with applications to Geometry and Computer Science

Riscaldamento Colora gli archi del grafo completo usando due colori in modo da evitare triangoli monocromatici. si nono impossibile Dimostrazione: non puoi colorare così

Teorema di Ramsey Comunque fissiamo un numero di colori c ed un intero t, se il grafo è sufficientemente grande è impossibile evitare “t-sottografi monocromatici”. Teorema: Per ogni c e t, esiste R c (t) tale che, per n ≥ R c (t), se coloriamo gli archi di K n con al più c colori, allora deve esistere una clique K t monocromatica ossia tutti i suoi archi sono colorati con lo stesso colore.

Teorema di Ramsey Per ogni c e t, esiste R c (t) tale che, per n ≥ R c (t), se coloriamo gli archi di K n con al più c colori, allora deve esistere una clique K t monocromatica ossia tutti i suoi archi sono colorati con lo stesso colore. Due colori: O c'è una cricca o c'è un insieme indipendente di t nodi si impossibile R 2 (3) = 6:

Comunque fissiamo un numero di colori c, se coloriamo gli interi {1,2,...,n} con c colori, ed n è abbastanza grande, allora esistono a, b, e a + b colorati con lo stesso colore. Teorema di Schur Nota: per a = b significa a e 2a hanno lo stesso colore

Comunque fissiamo un numero di colori c, se coloriamo gli interi {1,2,...,n} con c colori, ed n è abbastanza grande, allora esistono a, b, e a + b colorati con lo stesso colore. Teorema di Schur Dim: Ramsey Schur KnKn k-j colore(5-2)

Comunque fissiamo un numero di colori c, se coloriamo gli interi {1,2,...,n} con c colori, ed n è abbastanza grande, allora esistono a, b, e a + b colorati con lo stesso colore. Teorema di Schur Dim: Ramsey Schur KnKn ij k k-i = (j-i) + (k-j) j - i k - j k - i a a+b b colore(j-i) ij

Teorema di Ramsey Per ogni c e t, esiste R c (t) tale che, per n ≥ R c (t), se coloriamo gli archi di K n con al più c colori, allora deve esistere una clique K t monocromatica ossia tutti i suoi archi sono colorati con lo stesso colore. Due colori: O c'è una cricca o c'è un insieme indipendente di t nodi R 2 (t) = ? LB(t) ≤ R 2 (t) ≤ UB(t) Trova una colorazioneDimostra il teorema si impossibile R 2 (3) = 6 :

Teorema di Ramsey Per ogni t, esiste R 2 (t) tale che, per n ≥ R 2 (t), se coloriamo gli archi di K n con 2 colori, allora deve esistere una clique K t monocromatica ossia tutti i suoi archi sono colorati con lo stesso colore. LB(t) ≤ R 2 (t) ≤ UB(t) Trova una colorazioneDimostra il teorema 4t4t

Teorema di Ramsey R(s,t) ≤ R(s-1,t) + R(s,t-1) Al massimo n = 1 + R(s-1,t) – 1 + R(s,t-1) – 1 n 1 ≥ R(s-1,t) R(s,t) ≝ “non posso evitare K s blu oppure K t rossa” n1n1 n2n2 1 s-1s-1 n 2 ≥ R(s,t-1) t-1t-1

Teorema di Ramsey R(s,t) ≤ R(s-1,t) + R(s,t-1) R(s,t) ≝ “non posso evitare K s blu oppure K t rossa” sottoinsiemi di ksottoinsiemi di k senza “1”sottoinsiemi di k con “1” tende a 4 t R2(t) ≤ 4tR2(t) ≤ 4t R 2 (t) = R(t,t)

Teorema di Ramsey Per ogni t, esiste R 2 (t) tale che, per n ≥ R 2 (t), se coloriamo gli archi di K n con 2 colori, allora deve esistere una clique K t monocromatica ossia tutti i suoi archi sono colorati con lo stesso colore. LB(t) ≤ R 2 (t) ≤ 4 t Trova una colorazione (t-1) 2... t-1

Cosa ricordare Due teoremi “simili”: Ramsey e Schur Per ora abbiamo visto solo (t-1) 2 ≤ R 2 (t) ≤ 4 t Prossima puntata: ≤ R 2 (t) t 3 ≤ R 2 (t) probabilistico deterministico