I Polinomi Prof.ssa A.Comis

Sommario Introduzione Monomi Proprietà dei monomi Operazioni con i monomi Polinomi Operazioni con i polinomi Prodotti notevoli

Nello studio delle operazioni sui numeri è risultato pratico enunciare le varie proprietà utilizzando delle lettere al posto dei numeri. In geometria le formule per il calcolo delle aree dei poligoni o del volume dei solidi sono espresse mediante lettere. Possiamo in generale affermare che l’uso delle lettere è indispensabile quando si vuole esprimere con rapidità, precisione e nel modo più generale possibile, una proprietà matematica oppure si vuole descrivere un fenomeno (di fisica, economia, biologia,….) con il linguaggio ed i metodi della matematica.

I Monomi Dicesi monomio la più semplice espressione algebrica formata dal prodotto tra una parte numerica detta coefficiente ed una parte letterale. Il termine monomio deriva dal greco monos (uno solo) e nomos (termine).

Osservazioni Un monomio si dice ridotto in forma normale quando contiene un solo fattore numerico e una parte letterale con tutte lettere diverse.

Proprietà Due monomi non nulli e ridotti in forma normale si dicono: Simili se hanno la stessa parte letterale (cioè le stesse lettere con gli stessi esponenti); Uguali se sono simili ed hanno anche lo stesso coefficiente; Opposti se sono simili ma hanno coefficienti opposti.

Esempi

Grado di un monomio Dicesi grado di un monomio non nullo rispetto ad una lettera, l’esponente con cui essa appare nel monomio scritto in forma normale. Dicesi grado (complessivo) di un monomio la somma degli esponenti della sua parte letterale. Un monomio è di grado 0 se NON ha parte letterale.

Osservazione È importante ricordare che in algebra una lettera rappresenta un numero relativo nel suo complesso, cioè con il suo segno e il suo valore aritmetico. Ciò significa che: Se a > 0 allora -a è negativo Se a < 0 allora -a è positivo Se a = 0 allora -a è 0 In generale, quindi +a è positivo SOLO se a è positivo. E’ consuetudine omettere il segno “+” mentre, ovviamente, è necessario scrivere il segno “-” prima di ogni monomio.

Le Operazioni La somma algebrica è possibile SOLO fra monomi simili. Le altre operazioni si possono effettuare sempre.

Somma Algebrica La somma algebrica di due o più monomi SIMILI è un monomio simile a quelli dati, che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

Moltiplicazione Il prodotto di due monomi QUALUNQUE è un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte letterale quella formata da tutte le lettere dei monomi dati con l’applicazione delle proprietà delle potenze.

Divisione Il rapporto di due monomi, di cui il primo è divisibile per il secondo(cioè nel primo compaiono TUTTE le lettere del secondo con esponente maggiore o uguale), è un monomio che ha per coefficiente il rapporto dei coefficienti e per parte letterale quella ottenuta dalle lettere dei monomi dati con l’applicazione delle proprietà delle potenze.

Potenza La potenza ennesima di un monomio, con n numero naturale, è un monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale quella ottenuta dalla potenza delle sue lettere.

Esempi

I Polinomi Dicesi polinomio la somma algebrica di due o più monomi. Un polinomio si dice ridotto in forma normale se non contiene termini simili

Osservazioni Un polinomio ridotto in forma normale si dice : Nullo, quando tutti i suoi termini sono monomi nulli. Monomio, se contiene un solo termine. Binomio, se contiene due termini. Trinomio, se contiene tre termini. Quadrinomio, se contiene quattro termini. Non viene assegnato un nome particolare ai polinomi con più di quattro termini.

Grado di un polinomio Dato un polinomio non nullo ridotto in forma normale, si chiama: Grado del polinomio rispetto ad una lettera, il massimo grado con cui quella lettera compare. Grado (complessivo) del polinomio il massimo dei gradi dei suoi termini. Termine noto del polinomio il termine, se esiste, di grado zero, cioè quello senza parte letterale.

Polinomi omogenei e completi Un polinomio ridotto in forma normale si dice: Omogeneo quando tutti i suoi termini hanno lo stesso grado. Completo rispetto ad una lettera quando essa compare con tutte le potenze, da quella maggiore a quella di grado zero.

Polinomi ordinati Un polinomio ridotto in forma normale si dice ordinato rispetto ad una lettera, se i suoi termini si succedono in modo che le potenze di quella lettera compaiano in modo crescente o decrescente.

Principio di identità Se due polinomi non nulli contenenti le stesse lettere assumono lo stesso valore per tutti i valori attribuiti alle lettere, allora i due polinomi sono uguali, cioè sono dello stesso grado e, a meno dell’ordine, sono formati dagli stessi termini.

Le operazioni La somma di due o più polinomi è il polinomio formato da tutti i termini dei polinomi addendi. La differenza di due polinomi è un polinomio che si ottiene sommando al primo l’opposto del secondo. Il prodotto di due polinomi è un polinomio che si ottiene moltiplicando TUTTI i termini del primo per TUTTI quelli del secondo. (Quindi il grado del polinomio prodotto è la somma dei gradi dei due polinomi dati.)

Osservazioni Per effettuare la somma algebrica di due o più polinomi basta togliere le parentesi e sommare algebricamente i termini simili. Per togliere le parentesi è importante ricordare che: Se la parentesi è preceduta dal segno “+” allora TUTTI i suoi termini restano invariati. Se la parentesi è preceduta dal segno “-” allora TUTTI i suoi termini diventano opposti.

Esempi

I Prodotti Notevoli

Differenza di quadrati Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo.

Quadrato di binomio Il quadrato di un binomio è il trinomio formato dalla somma del quadrato del primo termine, del doppio prodotto del primo per il secondo e del quadrato del secondo termine.

Quadrato di polinomio Generalizzando la precedente proprietà possiamo dire che: Il quadrato di un polinomio è formato dalla somma dei quadrati di TUTTI i termini e di TUTTI i possibili doppi prodotti.

Esempi

Cubo di binomio Il cubo di un binomio è la somma tra il cubo del primo termine, il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo, il triplo prodotto del quadrato del secondo per il primo ed il cubo del secondo.

Somma e differenza di cubi Il prodotto tra un binomio ed il trinomio formato dal quadrato del primo termine, il prodotto cambiato di segno ed il quadrato del secondo, determina altri due prodotti notevoli:la somma e la differenza di cubi.

Esempi