A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni EOMETRIA I punti non si riescono a dividere, ma quando decidono di unirsi possono creare di tutto (segmenti, rette, curve e superfici; ma anche immagini sullo schermo della televisione, quadri, e perfino molte espressioni della lingua italiana) “I primi elementi” IPSSAR - Soverato

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Osserva le seguenti immagini Gli oggetti in esse raffigurati sono molto diversi fra loro, ma ci sono degli elementi comuni  tutti occupano un certo spazio  ognuno di essi ha una forma precisa  ci sono delle forme che sono comuni ad alcuni oggetti Chiesa di S.Miniato a Firenze

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Osservando le figure possiamo dire che il quaderno ad anelli ha le pagine rettangolari con i fori circolari, la squadretta ha la forma triangolare, la palla è sferica e presenta disegni a forma di pentagono, nella facciata della chiesa, oltre alle porte di forma rettangolare, spiccano elementi decorativi a forma di rettangolo, cerchio, semicerchio e strutture triangolari Il triangolo, il rettangolo, il pentagono o più in generale un poligono sono modelli ideali che servono per descrivere la realtà che ci circonda ed individuare le proprietà comuni ad alcuni oggetti. La scienza che si occupa di studiare le proprietà di questi oggetti si chiama geometria.

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni La sua origine è antichissima se si pensa che già gli antichi egizi si servivano di forme ideali come i triangoli per costruire le piramidi e che sapevano come effettuare le misurazioni dei terreni, i cui confini venivano periodicamente cancellati dalle inondazioni del Nilo La parola geometria deriva dalla fusione dei due vocaboli della lingua greca “geo”(terra) e “metrein” (misurare). A quell’epoca la geometria non poteva ancora dirsi una scienza, perché fu solo parecchi secoli dopo che cominciò a svincolarsi dai problemi pratici e a svilupparsi come scienza razionale. Questo passaggio si realizzò gradualmente dal VI al III sec. a.C., per opera di grandi matematici: Talete (ca a.C.)Pitagora (ca a.C.) Archimede (ca a.C.) e soprattutto Euclide (ca a.C.)

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Euclide nacque ad Alessandria intorno al 300 a.C. ed è considerato il più famoso matematico di tutti i tempi. La sua popolarità è dovuta alla sua maggiore opera: gli Elementi, un trattato dove Euclide raccolse tutte le nozioni di geometria note a quell’epoca. Come in ogni disciplina, anche in geometria vi è la necessità di dare definizioni che servano ad individuare senza equivoci un oggetto geometrico. A proposito delle definizioni, nasce una difficoltà. Per definire un concetto bisogna utilizzare vocaboli che fanno riferimento ad altri concetti, che a loro volta vanno definiti, utilizzando altri vocaboli … e così via, con il rischio che vi siano concetti che rimandano l’uno all’altro. Per scongiurare questo rischio, si prese atto che bisogna rinunciare a definire alcune nozioni dette per questo primitive. In geometria, dunque, è necessario introdurre alcuni enti ideali primitivi, dei quali non viene data alcuna definizione. Gli enti primitivi della geometria sono: punto, retta, piano. La geometria di Euclide è sostanzialmente quella che ancora oggi si studia in tutte le scuole e che si dice appunto geometria euclidea.

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Non è possibile dare una definizione di questi oggetti; tuttavia, affinché tutti ne abbiano la stessa immagine, possiamo fare delle analogie fisiche, indicano per es. come: Occorre però tenere presente che il punto, la retta ed il piano sono enti geometrici astratti e che il punto non ha dimensioni, la retta ed il piano sono illimitati e senza spessore; mentre la traccia della punta della matita, il filo e il foglio di carta sono oggetti tridimensionali perché concreti. punto la traccia che la punta di una matita lascia su un foglio retta un filo molto sottile ben teso che si estende illimitatamente piano la pagina superiore di un foglio di carta ben teso e pensato illimitato. α

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Nei primi anni di scuola si studia la geometria intuitiva il cui scopo è quello di intuire le proprietà degli enti geometrici attraverso l’osservazione e l’esperimento su corpi reali o modelli fisici. Negli anni successivi si passa allo studio della geometria razionale, che altro non è che la geometria intuitiva precisata nei suoi concetti e nei suoi procedimenti La geometria razionale è impostata come una scienza ipotetico-deduttiva, cioè una scienza la cui costruzione procede nel modo seguente: Si introducono alcuni oggetti detti enti primitivi o fondamentali, e si suppone che essi verifichino alcune proprietà dette assiomi o postulati; a partire dagli enti fondamentali e dagli assiomi si deducono proposizioni dette teoremi. Un teorema è quindi un’affermazione di cui bisogna controllare la verità mediante un ragionamento che si dice dimostrazione. La dimostrazione di un teorema è costituita da una sequenza di affermazioni che, partendo dall’ipotesi, conducono alla tesi.

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni GEOMETRIA INTUITIVARAZIONALE OSSERVAZIONI PROVE TENTATIVI CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI Può essere Si basa su Parte da Definiti mediante Concludendo

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Indice  Gli elementi fondamentali della geometria euclideaGli elementi fondamentali della geometria euclidea  Postulati e teoremiPostulati e teoremi  PuntoPunto  RettaRetta  PianoPiano  Postulati riguardanti gli enti elementariPostulati riguardanti gli enti elementari  Nuovi enti definiti tramite gli enti elementariNuovi enti definiti tramite gli enti elementari (semirette, segmenti, angoli Gli obiettivi Comprendere il significato di “dimostrazione” Cogliere la differenza fra postulato e teorema Approfondire la conoscenza degli enti geometrici fondamentali Operare con segmenti ed angoli I contenuti

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni I punti di partenza della geometria Gli enti primitivi della Geometria sono: PUNTO RETTA PIANO

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Gli elementi fondamentali della geometria Gli enti fondamentali della geometria sono: il punto, la retta, il piano dei quali non è data definizione: la loro natura risulta però determinata da particolari affermazioni che sono chiamati assiomi o postulati. punto, retta, pianoassiomipostulatipunto, retta, pianoassiomipostulati (Sui postulati o assiomi non si discute: li si considera veri!!!) Mediante questi enti elementari si definiscono tutte le altre figure geometriche Mediante questi enti elementari si definiscono tutte le altre figure geometriche.

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni PUNTO PUNTO  PUNTO Se poggiate la punta di una matita su un foglio di carta la traccia lasciata dalla matita vi dà l’idea approssimativa di un punto. Il punto geometrico lo dovete però pensare senza dimensioni; esso indica soltanto una posizione. Per distinguere un punto dall’altro, si pone accanto a ciascuno di essi la lettera maiuscola dell’alfabeto; diremo perciò: punto A, punto B, ecc. A B C D

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni RETTA RETTA  RETTA Un filo molto sottile, teso per i due estremi, dà l’immagine concreta di una retta. A differenza di questa, la retta geometrica si deve pensare illimitata e senza spessore. Su di una retta si possono segnare infiniti punti Per distinguere una retta dall’altra si pone accanto a ciascuna di esse Una lettera dell’alfabeto minuscolo; si dirà: retta a, retta b, ecc. retta a

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni PIANO  PIANO Un sottile foglio di carta, la superficie dell’acqua stagnante di un lago, forniscono delle immagini concrete di un piano. Si tratta naturalmente di immagini molto approssimative perché il piano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare come indefinitamente esteso in tutti i sensi I piani si indicano generalmente con le lettere dell’alfabeto greco: α (alfa), β (beta), γ (gamma), ecc. α Piano α

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Postulati riguardanti gli enti elementari Alla retta appartengono infiniti punti  Alla retta appartengono infiniti punti Al piano appartengono infinite rette e quindi infiniti punti  Al piano appartengono infinite rette e quindi infiniti punti Esistono infinite rette  Esistono infinite rette

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Postulati riguardanti gli enti elementari  Per due punti distinti passa una sola retta A B Per un punto passano infinite rette ( l’insieme di tale rette è chiamato fascio poprio)  Per un punto passano infinite rette ( l’insieme di tale rette è chiamato fascio poprio) A Una retta può essere percorsa in due versi, l’uno opposto all’altro  Una retta può essere percorsa in due versi, l’uno opposto all’altro  La retta è illimitata e continua, vale a dire non ha fine né inizio; fra due suoi punti qualunque ne esistono infiniti altri e non ha “buchi”.

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari  Semiretta – Si dice semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta rimane divisa da un suo punto. A semiretta origine Segmento – Un segmento è la parte di retta limitata da due suoi punti che si dicono estremi del segmento  Segmento – Un segmento è la parte di retta limitata da due suoi punti che si dicono estremi del segmento A B segmento estremi

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari  Segmenti consecutivi - Due segmenti aventi un estremo in comune si dicono consecutivi Segmenti adiacenti - Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi ed appartengono alla stessa retta  Segmenti adiacenti - Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi ed appartengono alla stessa retta A B A B C C

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari B A C  Una linea formata a più segmenti consecutivi prende il nome di linea spezzata Una spezzata può essere aperta, chiusa o intrecciata D E Spezzata aperta Spezzata chiusa Spezzata intrecciata

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari  ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano da due semirette aventi l’origine in comune Angolo convesso Angolo concavo Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi lati Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Angoli particolari  Angolo PIATTO - Quando la semiretta OA ruota intorno ad O di mezzo giro, assume la posizione OB, diventa cioè opposta ad OA. In questo caso si dice che AÔB è un angolo piatto [un lato è il prolungamento dell’altro ( 180 °)] AO B Angolo piatto PIATTO:180°

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Angoli particolari  Angolo nullo - Se la semiretta OA rimane nella posizione iniziale coincidente con OB, cioè se ha una rotazione nulla, si dice che AÔB è un angolo nullo O A B  Angolo GIRO - Se invece OA ruota di un giro completo intorno ad O, descrive tutto il piano. Si dice in tal caso che AÔB è un angolo giro [ i due lati sono sovrapposti (360°)] O A B Angolo giro GIRO: 360°

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Angoli particolari Un angolo si dice RETTO se è la metà di un angolo piatto RETTO:90°

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Angoli particolari Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto OTTUSO: > di 90° ACUTO: < di 90°

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Angoli particolari  Angoli CONSECUTIVI - Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice, un lato in comune e gli altri due lati situati da parte opposta rispetto al lato comune O A B C Lato comune

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Angoli particolari  Angoli ADIACENTI - Due angoli si dicono adiacenti se oltre ad essere consecutivi, hanno i lati non comuni appartenenti ad una stessa retta

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Angoli particolari  Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell’uno sono i prolungamenti dell’altro O

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni  Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI  Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni  Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI

A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni  Concetti o enti primitivi Enti che non definiamo esplicitamente  Assiomi o postulati Proprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto non dimostriamo  Teoremi I teoremi sono proposizioni del tipo se… allora…. Le proposizioni che seguono il se sono le ipotesi del teorema, mentre quella che segue l’allora è la tesi del teorema. La tesi deve essere derivata dalle ipotesi ragionando correttamente e avvalendosi dei postulati o delle conoscenze già consolidate, vale a dire dei risultati di altri teoremi.