Parallelismo e perpendicolarità nel piano Due rette r e s si dicono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro angoli fra loro congruenti; ciascuno di questi angoli è un angolo retto. Rette perpendicolari 1 Teorema. La perpendicolare condotta per un punto a una retta data esiste sempre ed è unica.

Parallelismo e perpendicolarità nel piano Il concetto di perpendicolarità permette di introdurre le seguenti definizioni: Rette perpendicolari 2  Distanza di un punto P da una retta r : segmento di perpendicolare condotto da P su r. Il segmento PH è il segmento di minima lunghezza che congiunge P con r.  Proiezione ortogonale di un segmento PQ su una retta r : il segmento P’Q’ dove P’ e Q’ sono le proiezioni ortogonali di P e Q su r. H: piede, ossia proiezione ortogonale di P su r.

Parallelismo e perpendicolarità nel piano Asse di un segmento AB: retta a ad esso perpendicolare passante per il suo punto medio. Perpendicolarità 3 Proprietà dell’asse: ogni punto dell’asse è equidistante dagli estremi del segmento stesso. × × K a

Parallelismo e perpendicolarità nel piano Dato un triangolo, di dice altezza relativa ad un lato il segmento di perpendicolare condotto dal vertice opposto su quel lato. Perpendicolarità 4 Teorema. In ogni triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche mediana e altezza. Triangolo acutangolo Triangolo ottusangolo Triangolo rettangolo

Parallelismo e perpendicolarità nel piano Due rette si dicono parallele se non si intersecano oppure se sono coincidenti. Rette parallele 5 Teorema. Se due rette distinte s e t sono perpendicolari ad una stessa retta r, allora non hanno alcun punto in comune. L’esistenza di tali rette è garantita dal teorema: La relazione di parallelismo è:  Riflessiva: ogni retta è parallela a se stessa perché questo equivale a considerare due rette coincidenti  Simmetrica: se r ⁄⁄ s anche s ⁄⁄ r  Transitiva: se r ⁄⁄ s e s ⁄⁄ t anche r ⁄⁄ t. r s t

Parallelismo e perpendicolarità nel piano Direzione è la caratteristica comune a tutte le rette che sono tra loro parallele. Rette parallele 6 L’insieme di tutte le rette che hanno la stessa direzione si dice fascio di rette parallele o fascio di rette improprio. L’unicità della retta parallela è garantita dal seguente assioma (Quinto postulato di Euclide) A13. Dati una retta r ed un punto P che non le appartiene, la parallela ad r per P è unica. r P

Parallelismo e perpendicolarità nel piano Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale t : Rette parallele 7  Alterni interni: γ e α’ o δ e β’  Alterni esterni: α e γ’ o β e δ’  Corrispondenti: α e α’ o β e β’ o γ e γ’ o δ e δ’  Coniugati interni: γ e β’ o δ e α’  Coniugati esterni: β e γ’ o α e δ’ Se le rette a e b sono parallele:  gli angoli alterni sono congruenti  gli angoli corrispondenti sono congruenti  gli angoli coniugati sono supplementari

Parallelismo e perpendicolarità nel piano Rette parallele 8 Criterio generale di parallelismo. Due rette sono parallele se, tagliate da una trasversale, formano:  angoli coniugati supplementari.  angoli alterni congruenti, oppure  angoli corrispondenti congruenti, oppure Angoli corrispondenti congruentiAngoli coniugati supplementari Angoli alterni congruenti Per riconoscere se due rette sono parallele si applica il seguente criterio.

Parallelismo e perpendicolarità nel piano Triangoli 9 Teorema. In ogni triangolo ciascun angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni ad esso non adiacenti. Secondo teorema dell’angolo esterno Teorema. La somma degli angoli interni di un triangolo è congruente ad un angolo piatto. ABC + BAC + ACB = π ACD ≅ ABC + BAC

Parallelismo e perpendicolarità nel piano Poligoni 10 Da questa proprietà discende che:  Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari.  La somma degli angoli interni di un poligono convesso di n lati è congruente a n – 2 angoli piatti.

Parallelismo e perpendicolarità nel piano Poligoni 11  Se due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti, hanno congruente anche il terzo angolo.  La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è sempre congruente a due angoli piatti. Si chiama distanza fra due rette parallele la distanza PQ di un punto qualunque di una di esse dall’altra. r s P Q

Parallelismo e perpendicolarità nel piano Poligoni 12 C RITERI DI CONGRUENZA PER I TRIANGOLI RETTANGOLI Teorema. Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti:  l’ipotenusa e un cateto.  i due cateti, oppure  un cateto e un angolo acuto, oppure  l’ipotenusa e un angolo acuto, oppure Cateti congruenti Cateto e angolo acuto congruenti Ipotenusa e cateto congruenti Ipotenusa e angolo acuto congruenti