Eventi aleatori Un evento è aleatorio (casuale) quando non si può prevedere con certezza se avverrà o meno I fenomeni (eventi) aleatori sono studiati attraverso la teoria della probabilità Probabilità di un evento semplice Un evento può risultare: Certo (si verifica sempre) - estrazione di una pallina nera da un’urna contenente solo palline nere Impossibile(non si verifica mai) - estrazione di una pallina bianca da un’urna contenente solo palline nere Probabile(può verificarsi o no) - estrazione di una pallina bianca da un’una contenente sia palline nere che bianche

Eventi e probabilità impossibile probabile certo P=00<P<1P=1 Se E indica un evento l’evento corrispondente al non verificarsi di E rappresenta l’evento complementare E con la relazione P(E) = 1 – P(E) La prova genera l’evento con una certa probabilità

Spazio campionario Lo spazio campionario associato al lancio di due monete comprende 4 punti che rappresentano i possibili risultati Si chiama evento ogni sottoinsieme dello spazio campionario TT TC CT CC

Teoria e calcolo della probabilità L’entità di successi in una serie di osservazioni (prove) può essere definita come frequenza relativa o (percentuale) calcolata come rapporto tra il numero di eventi favorevoli rispetto al numero di casi esaminati Il grado di aspettativa circa il verificarsi di un evento E, ovvero la probabilità dell’evento P(E) è

Concezione classica della probabilità La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi di E(n) e il numero di casi possibili (N), purché siano tutti equi - probabili Es: probabilità di estrarre un asso da un mazzo di 52 carte = 4/52 = 0.08 probabilità di ottenere testa nel lancio di una moneta =1/2 = 0.5

Applicazioni della concezione classica Probabilità uscita testa Probabilità faccia 6 dado Qual è la probabilità che lanciando due volte una moneta si presenti prima la faccia testa poi la faccia croce 1°- TT 2°- TC 3°- CT 4°- CC p =

Concezione frequentista della probabilità La probabilità di un evento è la frequenza relativa di successo in una serie di prove tendenti all’infinito, ripetute sotto identiche condizioni Nella concezione frequentista la probabilità è ricavata a posteriori dall’esame dei dati Frequenza relativa su un gran numero di prove Es: qual è la probabilità post-operatoria dopo l’intervento xyz ? I dati su un decennio in un territorio presentano 30 morti su 933 interventi Frequenza relativa = 30/933= 3.22% = Probabilità di mortalità post-operatoria

Legge dei grandi numeri La frequenza relativa f al crescere del numero delle prove, tende, pur oscillando, verso un valore costante (stabilità della frequenza) P(E) n ∞ f P(E)=1/6=16.7%

Due eventi semplici di uno stesso avvenimento casuale si dicono fra loro INCOMPATIBILI se il verificarsi del primo esclude il verificarsi dell’altro. Ad esempio: E 1 =“esce 1” E 2 =“esce un numero maggiore di 3” sono fra loro incompatibili Due eventi semplici si dicono COMPATIBILI se il verificarsi dell’uno non esclude il verificarsi dell’altro Esempio: E 1 =“esce una carta di spade” E 2 =“esce una figura” Eventi INCOMPATIBILI e COMPATIBILI

PROBABILITA’ TOTALE DI UN EVENTO UNIONE DI DUE EVENTI INCOMPATIBILI : p(E 1 UE 2 )=p(E 1 )+p(E 2 ) Es: P che estraendo da un mazzo di carte napoletane esca:l’asso coppe or un cavallo or una carta di spade=1/40+4/40+1/4=38% PROBABILITA’ TOTALE DI UN EVENTO UNIONE DI DUE EVENTI COMPATIBILI: p(E1UE2)=p(E1)+p(E2)-p(E1  E 2 ) Es: Su 1000 piastrine metalliche risulta che:10 difettano in lunghezza e 24 in larghezza mentre 6 in entrambe, se ne scegli una a caso la probabilità che risulti difettosa sarà : P(difetto)= 10/ /1000-6/1000= 2.8% PROBABILITA’ TOTALE

Dati due eventi E 1 ed E 2, se il verificarsi dell’uno non incide sulla possibilità che ACCADA l’altro, i due eventi si dicono : INDIPENDENTI Ad esempio: si estrae una carta da un mazzo di napoletane e dopo averla vista la inseriamo di nuovo, quindi si estrae una seconda carta … si vuole la probabilità che escano nell’ordine E 1 = prima carta sia …; E 2 =seconda carte sia … Se il verificarsi di E 1 influisce sul verificarsi di E 2 i due eventi si dicono DIPENDENTI Esempio: si estrae una carta da un mazzo di napoletane e dopo averla vista si estrae una seconda carta senza inserire la prima … si vuole la probabilità che escano nell’ordine E 1 = prima carta sia …; E 2 =seconda carte sia … Eventi INDIPENDENTI e DIPENDENTI

Eventi incompatibili Eventi compatibili Eventi indipendenti Eventi dipendenti Eventi

PROBABILITA’ COMPOSTA (CONDIZIONATA) PROBABILITA’ COMPOSTA DI DUE EVENTI INDIPENDENTI : p(E 1  E 2 )=p(E 1 )·p(E 2 ) PROBABILITA’ COMPOSTA DI DUE EVENTI DIPENDENTI: p(E 1  E 2 )=p(E 1 )·p(E 2 |E 1 ) dove p(E 2 \E 1 )prende il nome di probabilità condizionata di E 2 rispetto ad E 1 e rappresenta la probabilità che si verifichi E 2 dopo che si è verificatoE 1

EVENTI INDIPENDENTII : p(E 1  E 2 )=p(E 1 )·p(E 2 ) Es: 1) P che estraendo da un mazzo di carte napoletane esca prima un asso e dopo averla inserita esca una carta di coppe: P=1/10x1/4=2.5% 2)Si lanciano 2 dadi contemporaneamente calcola la P che escano due 6: P = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 2.8 % EVENTI DIPENDENTI: p(E 1  E 2 )=p(E 1 )·p(E 2 |E 1 ) Es: 1) Si estraggono 2 carte successive dallo stesso mazzo senza reinserire la prima carta estratta, si vuole P che escano in ordine un 5 ed una figura. P= 4/40 x 12/39 = 3% 2) Si estraggono 4 carte successive dallo stesso mazzo senza reinserirle si vuole P che escano in ordine 4 assi: P= 4/40 x 3/39 x 2/38 x 1/37 =0,001%. PROBABILITA’ COMPOSTA

Elementi di statistica La statistica è un’estensione del calcolo delle probabilità –Si parte dai concetti fondamentali –Si estende la definizione di probabilità –Si introducono delle nuove variabili

Estensione del concetto di probabilità Si suppongono valide tutte le leggi delle probabilità già stabilite Non si può più definire la probabilità come rapporto fra casi favorevoli e casi possibili

Le variabili aleatorie Una variabile aleatoria è una variabile... –... reale –... discreta o continua –... associata ad una probabilità

In ogni caso vale la condizione di normalizzazione...ed in generale un valore atteso (“speranza matematica”) vale...

Le distribuzioni in generale Quasi sempre di una distribuzione si fornisce –La media –La standard deviation –La moda : massima frequenza di una distribuzione (valore + probabile)

Le principali distribuzioni discrete Veramente importanti solamente due –Distribuzione di Bernoulli e binomiale –Distribuzione di Poisson, o degli eventi rari

Le variabili aleatorie discrete Una variabile aleatoria discreta –Assume i valori... –... con probabilità

Esempio classico: il dado –Variata: un numero da 1 a 6 –Probabilità associata: 1/6

Il dado xkxk PkPk

La distribuzione binomiale Caso tipico: –Estraiamo da un’urna una palla Bianca: probabilità p Nera: probabilità q=1-p –Probabilità di estrarre k palle bianche su n estrazioni, rimpiazzando ogni volta la palla

La distribuzione binomiale Legge della distribuzione Introduciamo una variata che valga 1 per successo e 0 per insuccesso –Quindi –Su n prove

La distribuzione binomiale All’aumentare della probabilità (da 0.1 a 0.3) la distribuzione diviene più simmetrica –Se aumentiamo n (numero delle ripetizioni) nella distribuzione binomiale essa assomiglia sempre più ad una distribuzione gaussiana …

La distribuzione continua Veramente importante quella di GAUSS

La distribuzione gaussiana La funzione di distribuzione continua di Gauss (che possiamo vedere come caso limite di quella binomiale in cui n ∞ ) : Media Varianza

La distribuzione gaussiana Normalizzazione:

La distribuzione gaussiana In realtà a noi serve

Curva di Gauss Caratteristiche E’ simmetrica rispetto alla media:la probabilità di un valore superiore alla media di una quantità prefissata è uguale alla probabilità di un valore inferiore per la stessa quantità L’area compresa tra la funzione e l’area delle ascisse ( da + a - ) sia = 1 così da esaurire lo spazio campionario Esiste la probabilità al 100% che la misura sia inclusa nella distribuzione La frazione di area compresa tra due valori della variabile è assimilabile alla probabilità di riscontrare casualmente una misura entro tale intervallo

Le aree sottese alla curva normale Spesso è necessario determinare la probabilità di riscontrare casualmente una misura entro tale intervallo Proprietà della curva normale: l’area sottesa alla porzione di curva che vi è tra le media e una ordinata posta a una distanza data, determinata in termini di una o più deviazione standard, è costante