Specchi, paradossi e strani anelli Il teorema di Gödel spiegato a mia nonna Conferenza di Paolo Alessandrini Dolomiti in Scienza Belluno, 26 febbraio 2011

Non riuscirò mai a tirare fuori la mano!!!  Audrey Hepburn è bugiarda  la sua affermazione è falsa  riuscirà a tirare fuori la mano  non è bugiarda  non riuscirà a tirare fuori la mano, ecc. ecc.

ORA MI CRESCERA’ IL NASO! Il paradosso del mentitore «Io affermo il falso»  l’affermazione è falsa  non affermo il falso  l’affermazione è vera  affermo il falso e così via Credimi, non sono un uomo sincero.

La logica e la matematica sono fondate su basi poco solide? Le contraddizioni sono presenti ovunque? Sistemi formali Necessità di formalizzare, cioè fondare rigorosamente le discipline matematiche (es.: geometria euclidea) Sistemi formali (fine dell’Ottocento): «macchine» per dedurre le verità in modo meccanico, automatico Obiettivo: far sì che le affermazioni che consideriamo intuitivamente vere (es. «1+1=2») siano generate meccanicamente dal sistema (dimostrate come teoremi)

Assiomi: «teoremi» forniti gratis in partenza, senza bisogno di dimostrazione Com’è fatto un sistema formale? Regole di derivazione: regole logiche usate per dedurre (dimostrare) meccanicamente teoremi nuovi e più complessi, a catena, a partire da altri già dimostrati Cioè come fa il sistema a generare un teorema? Alfabeto e grammatica: un «linguaggio» con il quale esprimere, costruire affermazioni

L’albero delle verità

«Dire tutta la verità» Sistema formale che dimostra tutte le verità (i rami dell’albero raggiungono tutto lo spazio delle verità): sistema completo Attenzione però! Un sistema completo potrebbe dimostrare anche falsità, cioè i rami dell’albero potrebbero sconfinare dallo spazio delle verità! Dice tutta la verità, ma non è detto che dica nient’altro che la verità! (dimostrerà che “1+1=2” e che “17 è un numero primo”, ma potrebbe dimostrare anche che “1+1=3”)

«Dire nient’altro che la verità» Sistema formale che dimostra soltanto verità (i rami non escono dallo spazio delle verità): sistema coerente Attenzione, però! Un sistema coerente potrebbe non dimostrare tutte le verità, cioè i rami dell’albero potrebbero non coprire tutto lo spazio delle verità! Dice nient’altro che la verità, ma non è detto che dica tutta la verità! (non dimostrerà mai che “1+1=3”, ma potrebbe non riuscire a dimostrare che “1+1=2”)

«Dire tutta la verità e nient’altro che la verità» Il sistema formale ideale: sistema formale coerente e completo Dice tutta la verità e nient’altro che la verità In un sistema di questo tipo i rami dell’albero coprono esattamente lo spazio delle verità, e i concetti di verità e dimostrabilità coincidono (sicuramente dimostrerà che “1+1=2”, e non dimostrerà mai che “1+1=3”)

IV-III secolo a.C.: Euclide formalizza la geometria Formalizzare l’aritmetica XIX secolo: sistemi formali per la logica, la geometria euclidea, le geometrie non euclidee. E l’aritmetica Che cos’è l’aritmetica? E’ la matematica dei numeri naturali («la matematica che ci permette di contare le pecore») La vera, intuitiva aritmetica della maestra («1+1=2»)

Il sogno dell’Aritmetica Formalizzata Costruire un sistema formale, coerente e completo, capace di dedurre tutte le affermazioni aritmetiche intuitivamente «vere» Tentativi di Gottlob Frege (1879) e di Bertrand Russell e Alfred Whitehead (1910) Entscheidungsproblem o problema della decisione (Hilbert, 1900): «si può formalizzare l’aritmetica in modo coerente e completo?”

Giuri di dire la verità: tutta la verità, nient’altro che la verità!

Davvero possiamo formalizzare l’aritmetica in modo coerente e completo? KURT GÖDEL (1931)

NO! Non possiamo! KURT GÖDEL (1931)

Nasce nel 1906 a Brno, in Moravia, da famiglia benestante Genialità intellettuale, spiccata timidezza, salute cagionevole (febbre reumatica) Ipocondria e paura di essere avvelenato 1924: si iscrive all’Università di Vienna 1930: dottorato (tesi sulla completezza della logica)

1933: si trasferisce per un anno a Princeton (invitato da John Von Neumann) e stringe amicizia con Albert Einstein Crisi nervose, aggravamento dell’ipocondria, denutrizione 1938: matrimonio con una ballerina viennese 1940: fugge negli Stati Uniti 1948: cittadino USA 1953: professore ordinario 1978: muore di fame per la sua ipocondria

La prova di Gödel Come fece Gödel a dimostrare che l’Aritmetica Formalizzata non può essere coerente e completa? Geniale stratagemma (gödelizzazione): le affermazioni aritmetiche parlano di numeri, ma possono parlare anche di altre affermazioni dell’Aritmetica Formalizzata (al limite anche di se stesse!) Questa possibilità sussiste solo in sistemi abbastanza «potenti» come l’Aritmetica Formalizzata (altri sistemi più semplici non hanno questa potenza)

Il cuore della prova di Gödel Gödel poté allora trapiantare nell’Aritmetica Formalizzata una particolare affermazione autoreferenziale, ottenuta modificando il paradosso del mentitore sostituendo il concetto di verità con quello di dimostrabilità (evitando così il paradosso): «Io non sono dimostrabile» L’Aritmetica Formalizzata è quindi capace di esprimere affermazioni che parlano di se stesse, cioè autoreferenziali!

Il cuore della prova di Gödel Supponiamo che sia falsa: allora è dimostrabile Allora l’affermazione deve essere vera: è vera ma non è dimostrabile! (è strano, ma stavolta non è un paradosso!) Ma in un sistema formale coerente non si possono dimostrare affermazioni false! L’affermazione «Io non sono dimostrabile» ha diritto di cittadinanza in una aritmetica formalizzata coerente. Ma è vera o falsa?

La malattia dell’incompletezza Quindi una Aritmetica Formalizzata coerente, e quindi in generale la matematica, è incompleta! In una Aritmetica Formalizzata coerente esistono affermazioni indecidibili (vere che non possono però essere dimostrate, o false che non possono essere confutate)!

Per formalizzare l’aritmetica della maestra, quindi, possiamo costruire un sistema che dica tutta la verità, oppure un sistema che dica nient’altro che la verità, ma non un sistema che dica tutta la verità e nient’altro che la verità! Non si può avere tutto dalla vita! Se il sistema è coerente ci saranno sicuramente delle proposizioni indecidibili; se il sistema è completo ci saranno delle contraddizioni.

Non esistono reti da pesca perfette

La fine del sogno di Hilbert Che disastro! Se l’aritmetica non può essere coerente e completa, come possiamo risolvere tutti i problemi della matematica?

Da Gödel alla nascita del computer Alan Turing (1936): rese più concreti e operativi i concetti di Gödel, immaginando una “macchina” vera e propria al posto del sistema formale L’incompletezza della matematica si riflette in limitazioni delle macchine Paradossalmente, riflettendo su queste limitazioni, Turing realizzò un progetto di Macchina Universale, modello teorico di tutti i computer

CONOSCI TE STESSO! SO DI NON SAPERE!

“Ciò detto, è innegabile che tutti questi risultati dimostrino che ci sono limiti alla conoscenza, e che la «verità» si possa soltanto approssimare in maniera estremamente ristretta. Ma questo può turbare soltanto coloro che credevano che si potesse sapere tutto. Per me l'interesse dei teoremi limitativi non sta nel fatto che essi mostrino limiti alla conoscenza matematica dell'universo, ma che lo dimostrino in maniera matematica! In altre parole, il pensiero formale sarà pure limitato, ma fra le sue limitazioni non c’è quella di non sapere di essere limitato! Conoscere i propri limiti, non è forse l'espressione più alta della consapevolezza? Piergiorgio Odifreddi

Letture consigliate - Douglas Hofstadter, Gödel, Escher, Bach. Un’eterna ghirlanda brillante, Milano, Adelphi, Francesco Berto, Tutti pazzi per Gödel! La guida completa al teorema di incompletezza, Roma, Laterza, 2008

“Di questo Gödel non se ne può più.” (titolo di un articolo del filosofo Anthony Hutton, su “Philosophia”, vol. 6, n.1, marzo 1976, pp