Bosoni e Fermioni

Se in un processo fisico sono in gioco particelle indistinguibili, cresce il numero di modi in cui quel processo può essere realizzato. Vediamo subito un esempio "concreto" tratto dalla fisica delle particelle. Supponiamo di far urtare tra loro due particelle α, che sono nuclei di Elio, nel sistema del centro di massa, e calcoliamo la probabilità di rivelarle a 90 o rispetto alla direzione d'urto.

Abbiamo tracciato le traiettorie delle particelle, ben sapendo che in realtà esse non hanno significato, per via del principio d’indeterminazione. I due disegni servono solo per far capire che esistono due modi in cui può verificarsi l’evento “una particella in ciascuno dei due contatori”. 2 1 R L 2 1 R L

Se i due nuclei di He sono in linea di principio indistinguibili, i due disegni costituiscono due canali alternativi in cui l’evento può realizzarsi Si passa da un modo all'altro scambiando fra loro le due particelle, oppure ruotando gli assi cartesiani di 180 o attorno all’asse che congiunge i due rivelatori, in modo che L vada in R, e viceversa. Le ampiezze di probabilità relative ai singoli modi di realizzazione sono identiche, almeno per l'esempio considerato delle particelle α: Il fattore 4 è l'effetto dell'identità delle particelle.

Caso particelle distinguibili Un nucleo di ossigeno sostituisce una particella  I due disegni rappresentano ora due eventi distinguibili, poiché i contatori rivelano particelle differenti. Osserviamo che non ha alcuna importanza che lo sperimentatore effettivamente si preoccupi di stabilire quale tipo di particella ci sia in ciascuno dei due contatori. La natura fa tutto automaticamente, senza preoccuparsi delle nostre informazioni. Se le due particelle sono distinguibili in linea di principio, siamo in presenza di due eventi differenti

Riassumiamo la situazione nella seguente tabella: L'indistinguibilità delle particelle raddoppia la probabilità di osservarle a 90 o rispetto alla direzione dell'urto. L'effetto è una conseguenza diretta della teoria quantistica, in particolare della regola di addizione delle ampiezze. Regola di calcoloProbabilità Particelle identiche Sommo le ampiezze Particelle distinguibiliSommo le probabilità

Gli esperimenti condotti con gli acceleratori di particelle, ad esempio al CERN di Ginevra, confermano senza possibilità di dubbio le previsioni della teoria, ma rivelano un fenomeno ancora più sorprendente. Se al posto di particelle  usiamo elettroni (con lo stesso spin) si osserva che essi non raggiungono mai i rivelatori posti a 90 o. Evidentemente le frecce relative ai due modi in cui si può realizzare il fenomeno interferiscono distruttivamente, essendo l'una opposta all'altra. Siamo quindi portati dai dati sperimentali a riconsiderare la questione della relazione tra le due ampiezze di probabilità.

Bosoni e Fermioni 2 1 R L 2 1 R L 2 1 R L zw = xz

Il segno più significa che le frecce sono identiche e si rafforzano amplificando l’ampiezza risultante, il segno meno che esse sono opposte e si cancellano, annullando la probabilità. Abbiamo trovato un importante risultato: possiamo dividere le particelle in due grandi famiglie, quella per cui le frecce si sommano e quella per cui si sottraggono. Della prima fanno parte i Bosoni, ad esempio le particelle α, della seconda i Fermioni, ad esempio gli elettroni. I nomi sono un tributo all’opera di Bose, fisico indiano che insieme ad Einstein diede importanti contributi alla teoria delle particelle identiche, e a quella di Enrico Fermi, che, insieme a Dirac, scoprì la statistica cui obbediscono gli elettroni.

La tabella riassuntiva esposta in precedenza va aggiornata per tener conto dell’esistenza dei Fermioni. Regola di calcoloProbabilità Bosoni Sommo le ampiezze Fermioni Sottraggo le ampiezze 0 Particelle distinguibiliSommo le probabilità

Spin e statistica Il comportamento dei Fermioni e dei Bosoni è molto differente; è naturale pensare che queste differenze siano dovute a qualche loro proprietà fisica. La maggior parte delle particelle possono essere pensate come piccole trottole che ruotano attorno ad un asse. L'immagine è alquanto imprecisa e persino deviante, poiché, ad esempio, l'elettrone è considerato puntiforme e la sua estensione nulla non contrasta affatto con il suo spin. L'immagine della trottola è però l'unica che abbiamo a disposizione per aiutare un poco il nostro intuito. Si può dimostrare che in fisica quantistica la velocità di rotazione di ciascuna "trottola" può assumere solamente determinati valori.

Valori discreti dello spin Il momento angolare intrinseco assume solamente i seguenti valori discreti: Il grande fisico svizzero W. Pauli dimostrò un importante teorema che permette di stabilire una diretta connessione tra spin e statistica: le particelle con spin semintero 1\2, 3\2, 5\2, etc. sono fermioni, quelle con spin intero 0, 1, 2, 3, etc. sono bosoni. Una particella composta da un numero pari di fermioni è da considerarsi un bosone, poiché addizionando una coppia di spin seminteri si ottiene in ogni caso uno spin intero.

Principio di esclusione di Pauli Atomo di Elio, due elettroni A B A B 2 1 z1z1 z 2 = -z 1