X :5 2 = [ 15:5] 2 = 3 2

Iniziamo con il risolvere un problema: Un commerciante ha acquistato 6 scatole di uova. Ogni scatola contiene, a sua volta, 6 confezioni di uova e ogni confezione contiene 6 uova. Quante uova ha acquistato il commerciante? Per calcolare quante uova ha acquistato il commerciante, osserviamo che in ogni scatola ci sono 6 confezioni che contengono ciascuna 6 uova. Quindi, in ogni scatola, abbiamo 6 x 6 uova. Poiché le scatole sono 6 avremo complessivamente: 6 x 6 x 6 uova. Un prodotto come questo, formato da fattori tutti uguali tra loro, prende il nome di POTENZA. Quindi, si dice POTENZA di un numero, il PRODOTTO DI PIU' FATTORI UGUALI A QUEL NUMERO.

Nel nostro esempio, il fattore uguale che dobbiamo moltiplicare è 6 che rappresenta la BASE della potenza. Invece, il numero dei fattori è 3 che è l' ESPONENTE della potenza. Il prodotto appena visto 6 x 6 x 6 può essere scritto in maniera diversa, ovvero: 6363 che si legge " sei alla terza ". Dove 6 è la BASE della nostra potenza, cioè esprime il fattore che deve essere moltiplicato per se stesso, mentre 3 è l' ESPONENTE della potenza, cioè esprime il numero di tali fattori.

Vediamo, di seguito, alcuni esempi di potenze : PotenzaCome si leggeBaseEsponenteCalcolo della potenza 3232 tre alla seconda oppure tre al quadrato 323 x 3 = cinque alla terza oppure cinque al cubo 535 x 5 x 5 = due alla quarta 242 x 2 x 2 x 2 = quattro alla quinta 454 x 4 x 4 x 4 x 4 = due alla sesta 262 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

Iniziamo ad esaminare cosa accade se ELEVIAMO UN NUMERO A ZERO. Esempio: 5 0 = 1 Come sappiamo la BASE, nel nostro caso 5, ci indica ognuno dei FATTORI UGUALI da MOLTIPLICARE. L' ESPONENTE, in questo caso 0, ci dice il NUMERO DEI FATTORI. Essendo per definizione, la POTENZA il PRODOTTO DI PIU' FATTORI non ha senso considerare una POTENZA CON ESPONENTE ZERO, dato che i fattori di un prodotto devono essere almeno due. Tuttavia, PER CONVENZIONE, si pone che la POTENZA CON ESPONENTE ZERO di qualunque numero diverso da zero, è UNO. ATTENZIONE!!!! Abbiamo detto che per convenzione, qualunque numero DIVERSO DA ZERO, elevato a zero dà come risultato 1. Ma cosa accade se ELEVO ZERO ALLA ZERO ? A questa potenza non attribuiamo alcun valore, quindi possiamo dire che essa è IMPOSSIBILE. 0 0 = IMPOSSIBILE Mentre, lo ZERO, ELEVATO AD UN NUMERO DIVERSO DA ZERO è uguale a ZERO

Un altro caso particolare è rappresentato dalle POTENZE AVENTI BASE DIECI. Esempio: 10 2 = 10 x = = 10 x x = = 10 x x x = Come si può notare una POTENZA DI 10 è un NUMERO FORMATO DALLA CIFRA 1,1, SEGUITA da TANTI ZERI QUANTE SONO LE UNITA' DELL'ESPONENTE.

Vediamo, di seguito, quali sono le PROPRIETA' DELLE POTENZE. Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente uguale alla somma degli esponenti. Quindi: a m x a n = a m+n Esempio: (3) 2 x (3) 3 = (9) x (27) = 243. Come possiamo notare la base dei due fattori del prodotto è la stessa (3). Come possiamo osservare il risultato è uguale.

Il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente uguale alla differenza degli esponenti. Quindi: a m : a n = a m-n ponendo come condizione che m sia maggiore di n ( si scrive m > n). Esempio: (2) 4 : (2) 3 = 16 : 8 = 2. Come possiamo notare la base del dividendo e del divisore è la stessa (pari a 2). Come possiamo osservare il risultato è uguale. Ora proviamo ad applicare la regola precedente. Avremo:

La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. Quindi: (a m ) n = a mn Esempio: (4 2 ) 3 = (16) 3 = Ora proviamo ad applicare la regola precedente. Avremo: Anche in questo caso il risultato è lo stesso.

Il prodotto tra due o più potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente. Quindi: a m x b m = (a b) m. Esempio: (2) 2 x (3) 2 = (4) x (9) = 36. Come possiamo notare: Ora proviamo ad applicare la regola precedente. Avremo: Anche in questo caso il risultato è lo stesso.

Il quoziente tra due potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente. Quindi: a m : b m = (a : b) m. Esempio: (8) 2 : (2) 2 = (64) : (4) = 16. Ora proviamo ad applicare la regola precedente. Avremo: Il risultato, come si può notare, è lo stesso.