La goniometria si occupa della misura degli angoli e delle relative funzioni. La trigonometria studia i procedimenti di calcolo che permettono di determinare la misura degli elementi di un triangolo, noti alcuni di essi.

Le Funzioni goniometriche Gradi e radianti. La misura degli angoli. Circonferenza goniometrica. Seno, coseno e tangente di un angolo. Grafico delle funzioni goniometriche. Periodicità delle funzioni. Valori delle funzioni goniometriche degli angoli di 30°, 60° e 45°. La relazione tra coefficiente angolare della retta e la tangente. La relazione fondamentale della goniometria. La trigonometria Soluzione di un triangolo rettangolo. Area di un triangolo con l'utilizzo della funzione goniometrica seno.

Gradi e radianti L’angolo è la parte di piano compresa fra due semirette che hanno l’origine in comune. L’angolo convesso è l’angolo che non contiene il prolungamento dei suoi lati. L’angolo concavo è l’angolo che contiene il prolungamento dei suoi lati. Gli angoli vengono indicati con le lettere dell’alfabeto greco. L’unità di misura è il grado. Lo strumento per la misurazione degli angoli è il goniometro. Il grado è la 360a parte dell’angolo giro. Il sistema di misura è sessagesimale, cioè ogni 60 unità di un certo ordine abbiamo un’unità dell’ordine superiore. Il grado ha dei sottomultipli : i primi e i secondi.

Gradi e radianti La relazione tra radianti e gradi è nella seguente tabella: Il radiante è l’angolo al centro di una circonferenza di raggio r che sottende una corda uguale al raggio.

Gradi e radianti Esercizi: Trasforma in radianti le misure dei seguenti angoli, espresse in gradi sessagesimali. Trasforma in gradi sessagesimali le misure dei seguenti angoli, espresse in radianti.

Circonferenza goniometrica. Seno e coseno di un angolo La circonferenza goniometrica è una circonferenza che ha il centro nell’origine degli assi e ha raggio unitario. Si definisce seno dell’angolo α, il rapporto tra il cateto opposto all’angolo α e l’ipotenusa. Si definisce coseno dell’angolo α, il rapporto tra il cateto adiacente e l’ipotenusa.

Segni delle funzioni seno e coseno. Se 0<α<90° (il raggio è nel primo quadrante),  sin α  e cos α  sono entrambi positivi. Se 90°<α< 180°  (il raggio è nel secondo quadrante), sin α è positivo e cos α è negativo.

Segni delle funzioni seno e coseno. Se  180°<α < 270°  (il raggio è nel terzo quadrante), sin α e cos α sono entrambi negativi. Se  270°<α< 360° (il raggio è nel quarto quadrante), sin α è negativo e cos α è positivo.

Grafici delle funzioni goniometriche La curva che si ottiene dalla seguente funzione: Si chiama sinusoide. Le funzioni seno e coseno sono funzioni periodiche di periodo 360°, cioè riassumo gli stessi valori ogni giro completo.

Grafici delle funzioni goniometriche La curva che si ottiene dalla seguente funzione: Si chiama cosinusoide. I due grafici sono sfasati di 90°.

Tangente di un angolo. I triangoli di vertici OTA e OPH sono triangoli simili, infatti hanno i tre angoli uguali. I lati di triangoli simili sono proporzionali, quindi vale la seguente relazione: Per come seno e coseno sono stati definiti si ha che: La tangente è il rapporto tra il seno e il coseno.

Tangente di un angolo. La tangente di un angolo è l’ordinata del punto d’intersezione tra il secondo lato dell’angolo, o il suo prolungamento, e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A. La tangente può assumere, al variare dell’angolo, tutti i possibili valori reali compresi nell’intervallo (-∞;+ ∞). Il segno della tangente cambia al variare dell’angolo α. La curva che si ottiene dalla seguente funzione: Si chiama tangentoide. La funzione tangente ha periodo 180°

Valori delle funzioni goniometriche degli angoli 30°, 45° e 60°.

Angolo di 30°. Consideriamo un angolo di 30° nel primo e nel quarto quadrante. Unendo il punto P con il punto P1, si viene a formare un triangolo isoscele OPP1 che ha tutti i lati uguali. Il coseno dell’angolo di 30° si trova applicando il teorema di Pitagora.

Angolo di 45°. Si considera il triangolo rettangolo OPH nella circonferenza goniometrica; con due angoli di 45° e un angolo di 90°. Questo triangolo rettangolo può essere pensato come una la metà di un quadrato. I due cateti PH e OH sono uguali, quindi con il teorema di Pitagora si misura l’ipotenusa.

Angolo di 60°. Consideriamo un angolo di 60° ed il triangolo OPH. Otteniamo un triangolo equilatero ribaltando il triangolo OPH attorno all’altezza PH. Quindi, OH è uguale alla metà del raggio. Il seno dell’angolo di 60° si trova applicando il Teorema di Pitagora al triangolo OPH.

Funzioni goniometriche. La cotangente Si definisce cotangente dell’angolo α l’inverso della tangente dell’angolo. La secante Si definisce secante dell’angolo α l’inverso del coseno dell’angolo stesso. La cosecante Si definisce cosecante dell’angolo α l’inverso del seno dell’angolo stesso.

La relazione tra il coeff. angolare della retta e la tangente. Si considera una retta passante per l’origine degli assi: Il coeff. angolare è uguale al rapporto tra l’ordinata e l’ascissa. Anche la tangente è uguale al rapporto tra l’ordinata e l’ascissa. Quindi il coeff. angolare di una retta rappresenta la tangente dell’angolo che la retta forma con la direzione positiva dell’asse x.

La prima relazione fondamentale della goniometria (detta anche relazione Pitagorica). Si applica il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OPH: Nei triangoli rettangoli, la somma dei quadrati dei cateti è equivalente al quadrato dell'ipotenusa. Quindi la prima relazione fondamentale della goniometria è la seguente: Da questa relazione discendono tante formule.

Dalla prima relazione: È possibile ricavare senα conoscendo cosα e viceversa. Esercizio: Il senα nel 3° quadrante assume un valore negativo, quindi si prende la formula con il segno negativo.

Dalla prima relazione: Si divide ciascun termine per sen2α Si fa il m.c.m. al primo membro. Si fa il reciproco di entrambi i membri. Si scambiano i membri (proprietà simmetrica)

Dalla prima relazione: Si divide ciascun termine per cos2α Si fa il reciproco di entrambi i membri. Si scambiano i membri (proprietà simmetrica)

Esercizio: Il seno e il coseno, nel 1° quadrante, assumono dei valori positivi quindi si prende la formula con il segno negativo.

Soluzione di un triangolo rettangolo. Risolvere un triangolo rettangolo significa determinare la misura dei tre lati e l’ampiezza dei tre angoli. In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto al cateto o per il coseno dell’angolo (acuto) adiacente al cateto.

Soluzione di un triangolo rettangolo. Esercizio: Risolvi il triangolo ABC, rettangolo in A, noti gli elementi indicati.

Area di un triangolo con l'utilizzo della funzione goniometrica seno. L’area di un triangolo qualunque è uguale al semi-prodotto di due lati moltiplicati per il seno dell’angolo fra essi compreso.

FINE Classe 3 AM