Vettori

Operazioni con i vettori Somma 2 metodi equivalenti: Metodo del parallelogramma Metodo del poligono

Metodo del parallelogramma A e B devono avere le code coincidenti (se non sono coincidenti, trasliamo un vettore) A B

Metodo del parallelogramma Dalla punta di ciascun vettore tracciamo la parallela all'altro. A S B Si forma un parallelogramma. Il vettore S che congiunge le code dei due vettori con il vertice opposto è il vettore somma (detto anche RISULTANTE).

Metodo del poligono Utile per sommare più di due vettori Partendo da uno qualsiasi dei vettori, si fa coincidere la coda di ciascuno di essi con la punta del precedente, spostandoli parallelamente. C B D A

Metodo del poligono Il vettore somma parte dal punto iniziale del primo vettore e arriva alla punta dell'ultimo vettore. D C S A B

Proprietà della somma Proprietà commutativa A + B = B + A Proprietà associativa A+ (B + C) = (A + B) + C = = A + B + C

Scomposizione di un vettore lungo due direzioni Dati un vettore R e due direzioni, quale coppia di vettori, lungo le due direzioni assegnate, ha per somma il vettore R? ? R

Scomposizione di vettori Si tracciano dalla punta del vettore le parallele alle due direzioni; tali parallele, intersecando le direzioni assegnate, definiscono i due vettori cercati. I due vettori ottenuti si dicono componenti del vettore di partenza.

Sottrazione fra vettori La differenza di due vettori si riconduce ad una somma di vettori considerando tale semplice identità: A - B = A + (-B) Quindi è sufficiente sommare il primo vettore con l'opposto del secondo.

Sottrazione fra vettori Esegui la differenza tra i due vettori A e B D = A - B Costruisco il vettore - B, opposto di B, il vettore D è la somma tra A e - B: A A B D B -B Quindi il vettore A – B congiunge le punte dei vettori A e B e parte sempre dal secondo vettore nella sottrazione

Cinematica

9 km in 1 h 1 km in 1/9 h 1/9 h = 60 min / 9 = 20 min / 3 = 6 min + 2 min/3 = 6 min + 120 sec/3 = 6’ 40’’

750km/h 850km/h RISPOSTA B!!!

A C B

v = 2Rf  6∙1∙5

Nel rotolamento senza strisciamento si può immaginare una rotazione intorno ad un centro istantaneo di rotazione (punto rosso), variabile da istante a istante.

Dinamica

1° PRINCIPIO (principio d’inerzia): corpo non soggetto a forze (o soggetto a forze con risultante nulla) Il vettore velocità del corpo rimane costante (cioè il corpo rimane fermo oppure si muove di moto rettilineo uniforme) e viceversa: Il vettore velocità del corpo rimane costante (cioè il corpo rimane fermo oppure si muove di moto rettilineo uniforme corpo non soggetto a forze (o soggetto a forze con risultante nulla)

2° PRINCIPIO (legge fondamentale): Se un corpo è soggetto a una forza, o alla risultante di più forze, allora esso subisce un’accelerazione, nella direzione e nel verso della forza, direttamente proporzionale all’intensità della forza stessa In simboli: dove m è una costante di proporzionalità, detta massa inerziale.

3° PRINCIPIO (azione e reazione): Se un corpo 1 agisce su un corpo 2 con una forza F12, il corpo 2 reagisce sul corpo 1 con una forza opposta F21 Chiamando azione la forza agente su un corpo e reazione la forza agente sull’altro, il 3° principio è formulabile in questi termini: a ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria

All’estremità di un moto armonico, la velocità è nulla Se scompare la tensione del filo, l’unica forza rimasta è il peso, che produce accelerazione costante verso il basso v = 0

+ se l’ascensore non sta accelerando Se sta accelerando verso il basso R < P (in particolare, R = 0 se a=g)

F Fattr Se il moto è uniforme, deve essere a = 0. Dunque F = Fattr

k m

Lavoro, energia

Lavoro compiuto da una forza È il prodotto scalare fra il vettore forza e il vettore spostamento F  = angolo fra vettore forza e vettore spostamento a s Unità di misura S.I.: joule, J 1 J = 1 N * 1 m

Lavoro compiuto da una forza acuto  cos > 0  L > 0 (la forza favorisce lo spostamento; lavoro motore) ottuso  cos < 0  L < 0 (la forza ostacola lo spostamento; lavoro resistente) Se = 0°, cos = 1 e quindi L = Fs (massimo lavoro possibile, a parità di F e di s) Se = 90°, cos = 0 e quindi L = 0 (cioè il lavoro è nullo se Fs) Se = 180°, cos = -1 e quindi L = -Fs (minimo lavoro possibile, a parità di F e di s).

Teorema dell’energia cinetica Se una forza costante F fa variare la velocità di un corpo da v1 a v2, quanto lavoro compie? Se si pone: allora:

Teorema dell’energia potenziale Se la forza di gravità fa cadere un corpo da quota h1 a quota h2, quanto lavoro compie? N.B.: il lavoro compiuto dalla forza peso non dipende dal percorso seguito dal corpo, ma solo dalle posizioni iniziale e finale h1 h2 s = h1 – h2 la forza di gravità è conservativa

Teorema dell’energia potenziale Se si pone: allora: N.B.: mentre il teorema dell’energia cinetica vale sempre, il teorema dell’energia potenziale vale solo per le forze di tipo conservativo.

Teorema di conservazione dell’energia meccanica Detta: Emecc =Ec + U si dimostra che, se su un corpo agiscono solo forze conservative: l’energia meccanica di un corpo soggetto alla sola forza di gravità rimane costante in ogni punto della sua traiettoria

U U U 80%U 100 cm 100-20 80 -16 64 -12,8 80%Ec Ec=U Ec=U

Ec + U = mgh 1/2mv2 = mgh v2 = 2gh Ec+ U = 1/2mv2

La profondità della buca è proporzionale all’energia E posseduta dal sasso Infatti il lavoro frenante del terreno sottrae tutta questa energia E al sasso Ma il lavoro compiuto dal terreno è L = Fattritos Quindi |L| = E Nel caso del sasso lasciato cadere con altezza doppia, l’energia di arrivo al suolo è doppia e lo spostamento nel terreno doppio, essendo sempre uguale la forza di attrito

Leggi dei gas perfetti

pV=nRT Per tutti i gas perfetti vale la legge di stato: p=pressione V=volume n=numero di moli R=costante dei gas perfetti T=temperatura assoluta V  2V T  2T p2V=nR2T  pV=nRT  p è la stessa

pV=nRT Per tutti i gas perfetti vale la legge di stato: p=pressione V=volume n=numero di moli R=costante dei gas perfetti T=temperatura assoluta Se T è costante, pV = costante. Dunque, se V raddoppia, p si dimezza

Fenomeni luminosi

Rifrazione Deviazione della direzione di propagazione di un’onda, nel passaggio da un mezzo ad un altro con caratteristiche fisico-chimiche differenti

Rifrazione Se il raggio di luce incide perpendicolarmente (i=0) sulla superficie di separazione dei due mezzi, esso non devia.

Rifrazione Se invece l’angolo di incidenza ha un valore diverso da zero, parte del raggio incidente viene riflessa e parte prosegue deviato nel secondo mezzo. raggio riflesso Se un raggio di luce passa da un mezzo meno denso ad uno più denso, si avvicina alla normale – denso + denso raggio rifratto

Rifrazione Se un raggio di luce passa da un mezzo più denso ad uno meno denso, si allontana dalla normale raggio riflesso + denso – denso raggio rifratto

Rifrazione leggi della rifrazione: 1) il raggio incidente, il raggio rifratto e la normale nel punto di incidenza giacciono sullo stesso piano 2) il rapporto tra il seno dell’angolo di incidenza ed il seno dell’angolo di rifrazione ha un valore costante, che dipende dalla natura dei due mezzi (legge di Snell) n1,2 = indice di rifrazione relativo del secondo mezzo rispetto al primo

Rifrazione Se il primo mezzo è il vuoto, allora l’indice di rifrazione relativo n1,2 del secondo mezzo rispetto al primo viene indicato semplicemente con n2 ed è chiamato indice di rifrazione assoluto del secondo mezzo. si riesce a dimostrare che: v1, v2: velocità nei due mezzi

Riflessione totale Se un raggio di luce passa da un mezzo più denso ad uno meno denso il raggio rifratto si allontana dalla normale. Aumentiamo progressivamente l’inclinazione del raggio incidente: il raggio rifratto si allontana ulteriormente dalla normale. Esisterà allora un angolo di incidenza tale che l’angolo di rifrazione valga 90° (raggio rifratto radente alla superficie di separazione). Chiameremo questo angolo di incidenza angolo limite . Per angoli di incidenza superiori all’angolo limite, il fascio luminoso non viene più rifratto, ma è interamente riflesso nel mezzo più rifrangente (primo mezzo). Parleremo allora di riflessione totale. parzialmente rifratti Aria totalmente riflesso Acqua parzialmente riflessi

Riflessione totale: calcolo dell’angolo limite un fascio di luce attraversa il mezzo 1, con indice di rifrazione assoluto n ed esce nel vuoto Tenendo conto che, quando l’angolo di incidenza vale l, l’angolo di rifrazione vale 90°, si ha , ovvero . Quindi Mezzo 2 = vuoto n2 = 1 Mezzo 1 n1 = n

La dispersione della luce Prisma triangolare di vetro su di esso incide un fascio di luce bianca dopo aver subito una doppia rifrazione attraverso il prisma, la luce è raccolta su uno schermo La luce uscente dal prisma è scomposta nelle sue componenti monocromatiche (colori dello spettro solare): violetto, indaco, azzurro, verde, giallo, arancione, rosso. Il fenomeno, noto come dispersione della luce, è provocato dalla diversa deviazione subita dai vari colori nel passaggio da un mezzo all’altro

Statica dei fluidi

La pressione ad una data profondità h è data dalla legge di Stevin: p = dgh (d=densità fluido; h=profondità) p = 900kg/m3 ∙ 10 m/s2 ∙ 10-1 m = 900 Pa F = p∙A = 900 Pa ∙ 10-1 m2 = 90 N per entrambi i contenitori

Campo elettrico

Intensità del campo elettrico in un punto P q + Dipende solo da Q e dal punto P e non da q perché: - + Q U. di m. = N/C oppure V/m Q positiva  campo uscente da Q Q negativa  campo entrante in Q

Lavoro compiuto dal campo elettrico su una carica Caso del campo elettrico generato da una carica puntiforme rB + + + rA Nessuna traccia di punti intermedi! Il campo elettrico è conservativo!

Energia potenziale elettrica Posta: Si ha: Energia potenziale della carica elettrica q nel punto P Risultato identico al teorema dell’energia potenziale gravitazionale

Il potenziale elettrico in un punto P del campo UP dipende dalla carica di prova q posta in P Se però si divide UP per la carica di prova q, si ottiene una grandezza indipendente da q: Potenziale elettrico in P (energia della carica unitaria) Unità di misura (S.I.):

Potenziale e moto di cariche + - + Per muovere una carica devo creare una differenza di potenziale (tensione) + si muove da punti ad alto potenziale verso punti a basso potenziale si muove da punti a basso potenziale verso punti ad alto potenziale -

Relazione fra potenziale e lavoro L può essere espresso anche tramite V rB + + + rA

Superfici equipotenziali superficie equipotenziale = luogo dei punti con lo stesso potenziale Per una carica puntiforme: superfici equipotenziali = superfici sferiche con centro nel punto in cui è localizzata la carica Q che genera il campo. Per tutti questi punti, infatti, la distanza r da Q è costante. +

Superfici equipotenziali Le linee di forza del campo generato da Q sono perpendicolari alla superficie equipotenziale sferica La perpendicolarità alla superficie equipotenziale vale per ogni tipo di campo elettrico (non solo per quello generato da una carica puntiforme) +

Superfici equipotenziali campo uniforme fra due armature parallele e cariche di segno opposto le superfici equipotenziali sono i piani perpendicolari alle linee di forza (quindi paralleli alle armature)

Il potenziale nel punto medio è la somma dei due potenziali (il potenziale è uno scalare e si somma con la normale somma algebrica) Quindi Vtot = 0

Campo magnetico e induzione elettromagnetica

È il fenomeno dell’induzione magnetica: la variazione del flusso di B attraverso la superficie delimitata dalla spira induce una corrente nella spira, proporzionale alla velocità con cui il flusso stesso varia

Corrente elettrica

Intensità della corrente elettrica + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + S intensità di corrente Unità di misura S.I.: ,ampère, A (fondamentale) Il coulomb è derivato dall’ampère, mediante la relazione: C = A*s Una corrente la cui intensità non varia nel tempo è detta continua.

Prima legge di Ohm A temperatura costante, per i conduttori metallici, il rapporto tra la differenza di potenziale e l’intensità di corrente è costante (in altri termini DV è direttamente proporzionale alla corrente i). In formula: R = costante di proporzionalità fra DV e i.

Prima legge di Ohm R = resistenza elettrica R dipende dal metallo e dalla temperatura Unità di misura S.I.:

Seconda legge di Ohm la resistenza elettrica R di un conduttore metallico è direttamente proporzionale alla lunghezza l del conduttore, inversamente proporzionale alla sua sezione S e dipende dal metallo e dalla sua temperatura mediante il coefficiente r, detto resistività r = resistività del materiale alla temperatura t r20 = resistività del materiale alla temperatura di 20°C a = coefficiente caratteristico del metallo considerato Dt = t – 20°C Unità di misura della resistività r:

Resistori collegati in serie Due resistori sono in serie se sono disposti consecutivamente, in modo da avere una sola estremità in comune la resistenza equivalente di due resistenze R1 ed R2 collegate in serie è uguale alla somma delle singole resistenze A B C R2 R1 i

Resistori collegati in parallelo Due resistori sono in parallelo se la prima estremità del primo resistore è connessa con la prima estremità del secondo resistore e così anche per le seconde estremità 1° principio di Kirchhoff: la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti il reciproco della resistenza equivalente di due resistenze R1 ed R2 collegate in parallelo è uguale alla somma dei reciproci delle singole resistenze A B R2 R1 i i2 i1

Caso di 2 resistori in parallelo scrivendo la prima legge di Ohm per ciascun resistore, abbiamo: Dal loro confronto, si ottiene e quindi

Energia e potenza elettrica fornita da un generatore

Effetto Joule l’energia potenziale elettrica che gli elettroni di conduzione perdono durante il tragitto da un polo all’altro del generatore si trasforma in energia termica il fenomeno di riscaldamento di un conduttore metallico percorso da corrente è detto effetto Joule La quantità di energia dissipata in un tempo t è uguale all’energia potenziale persa dagli elettroni, che a sua volta è uguale all’energia fornita dal generatore di tensione nello stesso tempo

Effetto Joule Nel caso in cui il resistore del circuito esterno sia ohmico, utilizzando la prima legge di Ohm: V = Ri, si ottengono le seguenti relazioni:

R1 e R2 devono essere collegati in modo che la R totale sia di 5 Nel collegamento in serie la R totale è maggiore dei due addendi Nel collegamento in parallelo la R totale è minore di ciascuno dei due addendi

Potenza trasportata: Potenza dissipata:

Q R2 R3 P R1

Q R2 R3 P R1 itot

VARIE

L’emissione avviene nell’infrarosso, non nel visibile!