Fenomeni caotici Il comportamento di un sistema fisico, anche deterministico, può essere talmente sensibile alle condizioni iniziali da rendere impossibile ogni previsione a lungo termine Il pendolo doppio è uno dei più semplici sistemi dinamici che mostrano comportamento caotico

Fenomeni caotici L’effetto farfalla Può lo sbatter di ali di una farfalla in Brasile provocare un tornado in Texas? (Lorenz, 1972) Questa frase è divenuta la metafora del fatto che una piccola modifica delle condizioni iniziali può generare uno stato finale del tutto differente. Introdotta nel contesto dell’evoluzione del tempo atmosferico: un sistema talmente sensibile alle condizioni iniziali da rendere impossibile le previsioni a lungo termine

Fenomeni caotici L’effetto farfalla nella letteratura e nei film Rumore di tuono: un romanzo di Ray Bradbury (1952), da cui è tratto anche un film (Il risveglio del tuono, 2005, di Peter Hyams: In un viaggio nel tempo un esploratore muove qualche passo sulla terra. Ritornato nel presente, lo trova leggermente cambiato in tanti particolari: ha schiacciato - camminando nel passato - una farfalla… Sliding doors, film di Peter Howitt, 1998: Due storie parallele con finale diverso si sviluppano a partire da un avvenimento iniziale, in cui una donna riesce a prendere o no la metro… e tanti altri… citati a proposito o a sproposito…

Fenomeni caotici Caos deterministico Siamo abituati ad associare l’impredicibilità e il caos a sistemi costituiti da molti corpi: le molecole di un gas, le stelle di una galassia,…

Fenomeni caotici Caos deterministico in sistemi a pochi corpi Ma non è così: l’impredicibilità si manifesta anche nei sistemi semplici… Mentre il problema a 2 corpi è deterministico, un problema anche a 3 corpi può manifestare effetti di impredicibilità e caos.. Un problema a 3 corpi sotto l’azione di una forza gravitazionale. Posizioni iniziali leggermente diverse portano ad orbite totalmente differenti

Fenomeni caotici Caos deterministico in sistemi a pochi corpi Un pendolo costituito da una sferetta metallica in moto tra 3 magneti ai vertici di un triangolo equilatero. Modificare anche di pochissimo la posizione o la velocità iniziale porta ad un’orbita totalmente differente.

Fenomeni caotici Condizioni iniziali e impredicibilità Il problema è dunque legato alla estrema sensibilità del sistema alle condizioni iniziali Nel calcolare l’evoluzione del tempo atmosferico tramite delle equazioni, anche un’approssimazione delle condizioni iniziali alla 3-4 cifra decimale porta in poco tempo a risultati finali completamente diversi..

Fenomeni caotici Esempi di fenomeni caotici Una sferetta lasciata cadere lungo la superficie interna di un contenitore con la concavità verso l’alto Qualunque sia la posizione iniziale la sferetta converge verso il punto più basso

Fenomeni caotici Esempi di fenomeni caotici Sferetta lasciata cadere dalla sommità di un profilo con la concavità rivolta verso il basso Il moto è fortemente dipendente dalla condizione iniziale

Fenomeni caotici Iterazione di una funzione Anche delle relazioni matematiche semplici possono condurre a comportamenti caotici Un esempio: l’iterazione di una funzione: X n+1 = F(x n) a seconda del valore di partenza può condurre a risultati diversi, ma prevedibili: - Alcune funzioni, iterate, tendono all’infinito, ad es. F(x) = x 2 - Altre tendono ad un valore costante (punto fisso), ad es. F(x)= √x - Altre a comportamenti oscillanti, ad es.

Fenomeni caotici Iterazione di funzioni F(x) = √x Indipendentemente dal valore iniziale, la sequenza tende a 1. La funzione ha un punto fisso

Fenomeni caotici Iterazione di funzioni F(x) = x2 Se il valore iniziale è >1, tende a +∞ Se il valore iniziale è <1, tende a 0 La funzione ha 2 punti fissi

Fenomeni caotici Iterazione di funzioni F(x) = cos(x) Indipendentemente dal valore iniziale, la sequenza tende ad un punto fisso: 0.73909…

Fenomeni caotici Iterazione di funzioni F(x) = 1/x La sequenza presenta 2 punti fissi Esempio: 10, 0.1, 10, 0.1,….

Fenomeni caotici F(x) = c (x – x2) Iterazione di funzioni Esistono tuttavia funzioni – anche semplici – che presentano comportamenti caotici (non predicibili a lungo) in base ai valori iniziali L’esempio più noto è la funzione logistica, introdotta per descrivere la dinamica di una popolazione, in presenza di prede e predatori: F(x) = c (x – x2) c è un parametro, 0<x<1 Termine di crescita: + c x Termine che si oppone alla crescita: - c x 2

Fenomeni caotici Iterazione della funzione (mappa) logistica A seconda del valore del parametro c la funzione logistica ha un comportamento diverso: 0 < c < 1 Tende ad un punto fisso = 0 1 < c < 2 Tende ad un punto fisso = (c-1)/c 2 < c < 3 Tende allo stesso punto fisso, ma oscillando 3 < c < 1+√6 (3.44949..) Oscilla tra 2 punti fissi 1+√6 < c < 3.54409.. Oscilla tra 4 punti fissi … successivamente oscilla tra 8, 16, 32, … punti fissi C > 3.56995… Comportamento caotico (con piccoli intervalli di c caratterizzati da isole di stabilità

Iterazione della mappa logistica Fenomeni caotici

Iterazione della mappa logistica Fenomeni caotici

Iterazione della mappa logistica Fenomeni caotici

Iterazione della mappa logistica Fenomeni caotici

Iterazione della mappa logistica Fenomeni caotici

Iterazione della mappa logistica Fenomeni caotici

Iterazione della mappa logistica Fenomeni caotici

Iterazione della mappa logistica Fenomeni caotici

Fenomeni caotici Iterazione di funzioni Prima dell’insorgenza del comportamento caotico, si ha il fenomeno del raddoppiamento del periodo

Fenomeni caotici Comportamento universale: costante di Feigenbaum Se un sistema esibisce fenomeni di raddoppiamento del periodo, esso è caratterizzato da una costante (numero di Feigenbaum): dove bn è il valore del parametro a cui avviene una biforcazione (raddoppiamento del periodo) . Tale costante ha il valore 4.669….

Fenomeni caotici Un esempio di sistema caotico: circuito RLD Esempi di sistemi caotici possono essere realizzati con circuiti elettrici oscillanti. Il più semplice fa uso di un circuito RL con un elemento non-lineare (diodo) che sostituisce il condensatore in un normale circuito RLC. Il diodo agisce come un condensatore di capacità variabile con la tensione Generatore di segnali sinusoidali

Fenomeni caotici Un esempio di sistema caotico: circuito RLD Vin (X) Induttanza L=35 mH Generatore di segnali sinusoidali Vout (Y) Diodo 1N4007 Implementazione del circuito pratico (R è inglobata nell’induttanza)

L’apparato sperimentale Fenomeni caotici

Fenomeni caotici Un esempio di sistema caotico: circuito RLD In condizioni normali, il sistema oscilla con una data frequenza, in fase con il generatore di segnali.

Fenomeni caotici Un esempio di sistema caotico: circuito RLD Variando l’ampiezza del segnale, il comportamento non lineare del diodo fa sì che il segnale di uscita non sia più una sinusoide:

Fenomeni caotici Un esempio di sistema caotico: circuito RLD Ad ampiezze molto piccole, il diagramma di fase ( Vout in funzione di Vin) è una semplice ellisse (composizione di 2 moti armonici su assi ortogonali) Aumentando l’ampiezza, il diagramma di fase è ancora una curva chiusa, ma la forma non è più un’ellisse

Fenomeni caotici Un esempio di sistema caotico: circuito RLD Aumentando ancora l’ampiezza si innesca una seconda oscillazione

Fenomeni caotici Un esempio di sistema caotico: circuito RLD Il diagramma delle fasi mostra una biforcazione

Fenomeni caotici Un esempio di sistema caotico: circuito RLD Ulteriori aumenti dell’ampiezza portano a ulteriori raddoppiamenti del periodo

Fenomeni caotici Un esempio di sistema caotico: circuito RLD Le diverse componenti diventano ad un certo punto talmente vicine tra loro da non essere più distinguibili

Fenomeni caotici Un esempio di sistema caotico: circuito RLD E infine…. il caos

Fenomeni caotici Un esempio di sistema caotico: circuito RLD Valutazione del numero di Feigenbaum Fissata una frequenza, osservare il comportamento del sistema al variare dell’ampiezza e notare le ampiezze a cui avviene una biforcazione Ripetere per altri valori della frequenza Stimare un valore medio del numero di Feigenbaum

Fenomeni caotici Un esempio di sistema caotico: circuito RLD f = 50 KHz N V Comportamento 1 0 – 0.05 Ellisse 2 0.050 – 0.059 Curva chiusa deformata 3 0.590 1^ Biforcazione 4 1.438 2^ Biforcazione 5 1.655 3^ Biforcazione 6 1.707 4^ Biforcazione 7 ~ 1.800 Caos (1.438 – 0.590) / (1.655 – 1.438) = 3.91 (1.655 – 1.438) / (1.707 – 1.655) = 4.17

Fenomeni caotici Un esempio di sistema caotico: circuito RLD f = 50 KHz Altra misura N V Comportamento 1 Ellisse 2 Curva chiusa deformata 3 0.680 1^ Biforcazione 4 1.726 – 1.730 2^ Biforcazione 5 2.050 – 2-070 3^ Biforcazione 6 2.170 – 2.206 4^ Biforcazione 7 > 2.2 Caos (1.730– 0.680) / (2.060 – 1.730) = 3.18 (2.060 – 1.730) / (2.180 – 2.060 ) = 2.75

Fenomeni caotici Un esempio di sistema caotico: circuito RLD f = 30 KHz N V Comportamento 1 0.1 Ellisse 2 Curva chiusa deformata 3 0.577 1^ Biforcazione 4 1.534 – 1.539 2^ Biforcazione 5 1.684 – 1.690 3^ Biforcazione 6 1.73 – 1.74 4^ Biforcazione 7 > 1.78 Caos

Circuito RLD: modellizzazione teorica Fenomeni caotici

Circuito RLD: modellizzazione teorica Fenomeni caotici