FUNZIONI SENO & COSENO TANGENTE & COTANGENTE

DEFINIZIONE DI SENO E COSENO Considerando l’angolo AOB = , tracciamo un cerchio di raggio qualunque R = OA = OB e con centro sul vertice O dell’angolo. Le intersezioni del cerchio con le semirette dell’angolo AOB definiscono l’arco AB in corrispondenza biunivoca con l’angolo al centro. Costruzione grafica: A 1) dal punto B tracciamo il segmento perpendicolare al lato origine OA dell’angolo AOB = ; allora il punto C di intersezione rappresenta la proiezione di B su tale lato; B C R 2) rimangono allora definiti i due segmenti BC e OC; essi, di fatto, individuano il triangolo rettangolo OBC nel quale il raggio R = OB del cerchio è l’ipotenusa;  O 3) la lunghezza dei segmenti BC e OC varia al variare della posizione di B sulla circonferenza, dunque al variare dell’ampiez-za dell’angolo al centro ; 4) allora anche i rapporti tra i segmenti BC e OC con il raggio OB variano al variare dell’angolo .

DEFINIZIONE DI SENO E COSENO Dunque i precedenti rapporti sono funzioni dell’angolo , e più precisamente: A il rapporto tra la lunghezza del segmento BC con il raggio R=OB prende il nome di seno dell’angolo  e viene indicato con la notazione: sen o sin B C R  il rapporto tra la lunghezza del segmento OC con il raggio R=OB prende il nome di coseno dell’angolo  e viene indicato con la notazione: cos O Trattandosi di rapporti tra grandezze omogenee, i valori delle funzioni sen e cos sono numeri adimensionali (puri), ed essendo sia BC che OC minori di R, questi valori sono sempre compresi tra 0 e 1: -1  sin  1 -1  cos  1

DEFINIZIONE DI SENO E COSENO Siccome il raggio R del cerchio non modifica i rapporti precedenti, è possibile adottare un cerchio di raggio unitario (R = 1), che prende il nome di cerchio goniometrico. Aggiungiamo poi un sistema di riferimento cartesiano con origine in O e con l’asse delle ordinate coincidente con il lato origine OA dell’angolo . Y X A Le definizioni di sen o cos possono essere riscritte in questo ambito, che di fatto semplifica la notazione:  O sin  cos  R=1 ATTENZIONE!!! la notazione precedente non deve ingannare; nella realtà le funzioni seno e coseno non sono segmenti, ma rimangono rapporti di segmenti. Tali rapporti nell’am-bito del cerchio goniometrico presentano i denominatori uguali all’unità. B C

DEFINIZIONE DI SENO E COSENO Immaginiamo di far descrivere al punto B l’intero cerchio goniometrico partendo dalla posizione iniziale B  A corrispondente a  = 0c. A =0c→BA BC=0, OC=1 sen 0c = 0 cos 0c = 1 cos 0c = 1 sen 100c = 1 cos 100c = 0 400c 0c =100c→CO BC=1, OC=0 R=1 =200c→ BC=0, OC=–1 sen 200c = 0 cos 200c = -1 =300c→ BC=–1, OC=0 sen 300c = -1 cos 300c = 0  + + =400c=0c→ BC=0, OC=1 sen 400c = 0 cos 400c = 1 sen 300c = 1 cos 200c = 1 sen 100c = 1 O Le funzioni seno e coseno sono periodiche con periodo 2. 300c 100c  +  I segni di seno e coseno nei 4 quadranti seno coseno I° Quadrante + + 200c II° Quadrante +  III° Quadrante   IV° Quadrante  +

VALORI di SENO e COSENO a 30° Consideriamo l’angolo AOB = 30° e tracciamo dal vertice O il cerchio goniometrico. Dopo aver proiettato B su OA, il segmento CB rappresenta il sen30° e OC il cos30°. Prolungando il segmento BC fino a incontrare ulteriormente il cerchio in B’, viene determinato l’angolo B’OA che ha la stessa ampiezza di 30°, pertanto dovrà anche essere B’OB = 60°. Il triangolo BOB è isoscele (OB=1 e OB’=1), pertanto gli angoli OB’B e OBB’ sono uguali e ciascuno di 60°. A 30° R=1 B’ sin 30° C cos 30° B Allora il triangolo BOB è anche equilatero, per cui anche BB’ = 1. Ricordando che in un triangolo equilatero un’altezza divide la base in due parti uguali, saranno CB = ½ e CB’ = ½; possiamo perciò scrivere: 60° ½ R=1 30° O

VALORI di SENO e COSENO a 60° Consideriamo l’angolo AOB = 60° e tracciamo dal vertice O il cerchio goniometrico. Dopo aver proiettato B su OA, il segmento CB rappresenta il sen60° e OC il cos60°. Tracciando il segmento AB, si viene allora a determinare il triangolo OAB. Il triangolo OAB è isoscele (OB = 1 e OA = 1), pertanto gli angoli OAB e OBA sono uguali e ciascuno di 60°. A ½ 1 60° Allora il triangolo AOB è anche equilatero. Ricordando ancora che in un triangolo equilatero un’altezza divide la base in due parti uguali, saranno CA = ½ e CO = ½; possiamo perciò scrivere: sin 60° C cos 60° R=1 B R=1 60° O

VALORI di SENO e COSENO a 45° Consideriamo l’angolo AOB = 45° e tracciamo dal vertice O il cerchio goniometrico. Dopo aver proiettato B su OA, il segmento CB rappresenta il sen45° e OC il cos45°. Prolungando il segmento BC fino a incontrare ulteriormente il cerchio in B’, viene determinato l’angolo B’OA che ha la stessa ampiezza di 45°, pertanto dovrà anche essere B’OB = 90°, quindi il triangolo B’OB è rettangolo. 1 Il triangolo BOB è anche isoscele (OB = 1 e OB’ = 1), pertanto gli angoli OB’B e OBB’ sono uguali e ciascuno di 45°. A 45° R=1 B’ sin 45° C cos 45° B Possiamo poi immaginare il triangolo BOB’ come la metà di un quadrato di lato l = R = 1. 45° 2/2 R=1 45° Allora BB è la diagonale di un quadrato di lato l, pertanto la sua lunghezza è BB’ = l2 =2. Essendo poi CB = BB’/2 e CO = C, perché COB è isoscele, si ha: O

GRAFICI DELLE FUNZIONI I valori delle funzioni seno e coseno vengono calcolati con la macchina calcolatrice, con essi è possibile costruire i grafici di queste funzioni y = sen Il grafico della funzione seno si chiama sinusoide; per costruirlo occorre fissare una scala convenzionale per riportare gli angoli sulle ascisse (per es. nell’intervallo 0c-400c e fissando un opportuno passo) e una per i valori delle funzioni (da -1 a +1) sull’asse delle ordinate. y = cos  100C 200C 300C 400C 0C +1 -1 50c 250c Il grafico della funzione coseno si chiama cosinusoide; per costruirlo occorre procedere in modo analogo a quanto visto per la funzione seno. Se le scale convenzionali sono le stesse, i due grafici possono essere tracciati nella stessa rappre-sentazione.

DEFINIZIONE DI TANGENTE E COTANGENTE Considerando ancora l’angolo AOB = , tracciamo un cerchio di raggio qualunque R = OA = OB e con centro sul vertice O dell’angolo A 1) Ripetiamo la costruzione grafica, già vista in precedenza, con la quale rimane definito il triangolo rettangolo OBC. B C R  2) Consideriamo i rapporti tra i seg-menti BC e OC (e viceversa). Essi variano solo al variare dell’angolo , e non al variare del raggio R O

DEFINIZIONE DI TANGENTE E COTANGENTE Dunque i precedenti rapporti sono funzioni dell’angolo , e più precisamente: Il rapporto (quando esiste) tra il segmento BC, opposto ad , e il segmento OC, adia-cente, viene definito come tangente dell’an-golo  e si indica con tg o tang. A B C R  Il rapporto (quando esiste) tra il segmento OC, adiacente ad , e il segmento BC, op-posto, viene definito come cotangente dell’an-golo  e si indica con cotg. O Trattandosi di rapporti tra grandezze omogenee, i valori delle funzioni tg e cotg sono numeri adimensionali (puri), e variabili in tutto il campo reale: -h  tg  +h -h  cotg  +h

DEFINIZIONE DI TANGENTE E COTANGENTE  Osservando i precedenti rapporti si ricava la ovvia relazione: A Consideriamo ancora i rapporti tra i segmenti BC e OC. Pensiamo ora di dividere sia il numeratore che il denominatore di questi rapporti per la stessa quantità OB = R B C R  O Ricordando poi la definizione di sen e cos, possiamo riscrivere le definizioni di tg e cotg in questo modo:

DEFINIZIONE DI TANGENTE E COTANGENTE Come già detto, il raggio R del cerchio non modifica i rapporti precedenti; è allora possibile adottare un cerchio di raggio unitario R=1 (cerchio goniometrico). Anche le definizioni di tg e di cotg possono essere riscritte in questo ambito che, di fatto, semplifica la notazione. Conduciamo la tangente nel punto origine A. Prolunghiamo poi il lato estremo OB dell'angolo  fino a intersecare nel punto T la retta precedente. Restano definiti i due triangoli rettangoli OBC e OTA. Questi triangoli sono simili, per cui si possono scrivere i seguenti rapporti di similitudine: Y X A T tg cotg S H C B R = 1  O Dunque, nell’ambito del cerchio goniometrico, la tangente dell’angolo  è rappresentata dal segmento AT: R = 1 Con considerazioni analoghe si ottiene:

VARIAZIONE della TANGENTE Immaginiamo di far descrivere al punto B l’intero cerchio goniometrico partendo dalla posizione iniziale B  A corrispondente a  = 0c. A =0c→BA BC=0, OC=1 tg 0c = 0 tg 0c = 0 tg 100c = non esiste 400c 0c =100c→CO BC=1, OC=0 Però, quando l'angolo  ha un valore di poco inferiore a 100c, ma assai prossimo a 100c, allora il segmento OC esiste ed è piccolissimo e positivo. Dunque in questo ambito il valore della tangente sarà un valore grandissimo e positivo (indicato come infinito +h). tg 300c = Fh tg 200c = 0 tg 100c = h O 300c 100c Quando poi l'angolo  ha un valore di poco superiore a 100c, ma assai prossimo a 100c, allora il segmento OC esiste, è piccolissimo e negativo. Dunque in questo ambito il valore della tangente sarà un valore grandissimo e negativo (indicato come infinito –h). Pertanto, in modo convenzionale si usa scrivere: R = 1 tg 100c = h 200c =200c→ BC=0, OC=-1 tg 200c = 0 La funzione tangente è periodica con periodo  (200c). =300c→ BC=-1, OC=0 tg 300c = non esiste (Fh) =400c=0c→ BC=0, OC=1 tg 400c = 0

VARIAZIONE della COTANGENTE =0c→ BA OC=1, BC=0 cotg 0c = non esiste (h) Però, quando l'angolo  ha un valore di poco superiore a 0c, ma assai prossimo a 0c, il segmento BC esiste ed è piccolissimo e positivo. Dunque in questo ambito il valore della cotangente sarà un valore grandissimo e positivo (indicato come infinito +h). A cotg 0c = h 400c 0c Quando poi l'angolo  ha un valore di poco inferiore a 0c, ma assai prossimo a 0c, allora il segmento BC esiste, è piccolissimo e negativo. Dunque in questo ambito il valore della cotangente sarà un valore grandissimo e negativo (indicato come infinito -h). Pertanto, in modo convenzionale si usa scrivere: cotg 300c = 0 cotg200c = h cotg 100c = 0 O 300c 100c cotg 0c = h R = 1 =100c→ OC=0 , BC=1 cotg 100c = 0 =200c→ OC=-1, BC=0 cotg 200c = non esiste (h) 200c =300c→ OC=0, BC=-1 cotg 300c = 0 La funzione cotangente è periodica con periodo  (200c). =400c=0c→ OC=0 , BC=1 cotg 400c = non esiste (h)

SEGNI di TANGENTE e COTANGENTE Per valutare i segni che tangente e cotangente assumono nei vari quadranti, basta osservare che queste funzioni sono anche fornite dai rapporti tra seno e coseno dello stesso angolo, dunque è sufficiente valutare i segni di queste ultime funzioni nei vari quadranti. A 400c 0c Intanto possiamo osservare che tangente e cotangente assumono sempre lo stesso segno.  + Questo è positivo quando seno e coseno presentano segni concordi (I° e III°). È invece negativo quando seno e coseno presentano segni discordi (II° e IV°). O 300c 100c + tangente cotangente  I° Quadrante + + II° Quadrante   III° Quadrante + + 200c IV° Quadrante  

VALORI di TANGENTE e COTANGENTE a 30° 60° 45° Ricordando i valori assunti dalle funzioni seno e coseno riferiti agli angoli 30°, 60°, 45°, è facile determinare i valori che assumono la tangente e la cotangente in corrispondenza di tali angoli.

GRAFICI DELLA FUNZIONI I valori delle funzioni tangente e cotangente vengono calcolati con la macchina calcolatrice, con essi è possibile costruire i grafici delle loro funzioni y = tg y = cotg  Il grafico della funzione tangente si chiama tangen-toide; esso è caratterizzato da punti di indeterminazione a 100C, 300C, ecc. In corrispondenza di ciascuno di questi punti sono presenti asintoti.  100C 200C 300C 400C 50c 150c 350c  Il grafico della funzione cotangente si chiama cotan-gentoide; esso è caratterizzato da punti di indeterminazione a 0C, 200C, ecc. In corrispondenza di ciascuno di questi punti sono presenti asintoti.

SVILUPPO DEI TRIANGOLI RETTANGOLI

I TRIANGOLI RETTI a C B  b c  A = 100c –  e  =100c –  La trigonometria serve a risolvere i triangoli, cioè permette di calcolare gli elementi incogniti quando se ne conoscono tre elementi, tra i quali deve sempre essere compreso almeno un lato (o un elemento lineare). In un triangolo rettangolo un elemento è sempre noto (l’angolo retto: 90°; 100c; /2); pertanto la sua risoluzione richiede due elementi, di cui almeno uno deve essere un lato (comunque un elemento lineare). a Convenzionalmente gli elementi del triangolo rettangolo sono individuati con la simbologia mostrata nella figura a fianco. C B  100c b c In un triangolo rettangolo gli angoli acuti  e  sono complementari, pertanto possiamo scrivere le seguenti relazioni:  A = 100c –  e  =100c – 

LA MODALITÀ DELLA COSTRUZIONE La costruzione che porta a definire tutte le funzioni goniometriche è sempre stata proposta in un contesto particolare. Tuttavia la stessa costruzione può essere eseguita anche in altri contesti senza mutare in alcun modo la generalità delle affermazioni fin qui enunciate. Non solo, ma osserviamo anche che in qualunque modalità avvenga la costruzione grafica, essa produce sempre un triangolo rettangolo (non importa come orientato). Osserviamo inoltre che anche il cerchio non è affatto indispensabile alla costruzione, ma viene tracciato unicamente per opportunità espositiva. B  O R A C B  O R A C

RIDEFINIZIONE DI SENO E COSENO Dunque l’elemento essenziale della costruzione grafica è solo il triangolo rettangolo; pertanto, considerando solo angoli acuti, possiamo riformulare le definizioni di seno e coseno riferendoci a un qualunque triangolo rettangolo, comunque orientato. In un triangolo rettangolo: il seno di un angolo acuto è il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto all’angolo e l’ipotenusa; il coseno di un angolo acuto è il rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente all’angolo e l’ipotenusa. B Considerando l’angolo acuto  possiamo scrivere:  c a Considerando l’angolo acuto  possiamo scrivere:  100c b C A

TEOREMI DEI TRIANGOLI RETTI Dalla definizione di seno e coseno l’angolo acuto  si ottiene: B  c a  100c b C A Dalla definizione di seno e coseno l’angolo acuto  si ottiene: sin  = cos  sin  = cos (100c – ) cos  = sin  cos  = sin (100c – )

ENUNCIATI DEI TEOREMI DEI T.R. Dalle precedenti relazioni è possibile formulare i seguenti enunciati: in ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto a quel cateto; B  in ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente a quel cateto; c a  100c in ogni triangolo rettangolo, la misura dell’ipotenusa è uguale al rapporto tra un cateto e il seno dell’angolo opposto a questo cateto; oppure è uguale al rapporto tra un cateto e il coseno dell’angolo a esso adiacente. b C A

RIDEFINIZIONE DI TG E COTG Analogamente a quanto visto per le funzioni seno e coseno, possiamo riformulare le definizioni di tangente e cotangente riferendoci a un qualunque triangolo rettangolo, comunque orientato. In un triangolo rettangolo: la tangente di un angolo acuto è il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto all’angolo e il cateto adiacente; la cotangente di un angolo acuto è il rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente all’angolo e il cateto opposto. B Considerando l’angolo acuto  possiamo scrivere:  c a Considerando l’angolo acuto  possiamo scrivere:  100c b C A

TEOREMI DEI TRIANGOLI RETTI Dalla definizione di tg e cotg l’angolo acuto  si ottiene: B  c a  100c b C A Dalla definizione di tg e cotg l’angolo acuto  si ottiene: tg  = cotg  tg  = cotg (100c – ) cotg  = tg  cotg  = tg (100c – )

ENUNCIATI DEI TEOREMI DEI TRIANGOLI RETTANGOLI Dalle precedenti relazioni è possibile formulare i seguenti enunciati: B in ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto a quel cateto;  c a in ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto dell’altro cateto per la cotangente dell’angolo adiacente a quel cateto.  100c C b A