I primi elementi della geometria Gli enti geometrici fondamentali DEFINIZIONE. La geometria è la disciplina che studia alcune proprietà dei corpi; in particolare, di un qualsiasi oggetto, studia la forma, le dimensioni, l’estensione, lo spazio occupato, la posizione e gli spostamenti cui è sottoposto. DEFINIZIONE. Il punto è il primo degli enti geometrici fondamentali ed è privo di dimensioni. DEFINIZIONE. La linea è il secondo ente geometrico fondamentale ed ha una sola dimensione: la lunghezza. I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria Gli enti geometrici fondamentali DEFINIZIONE. La retta è una linea che contiene infiniti punti disposti secondo una stessa direzione. Anche la retta, come ogni altra linea, ha una sola dimensione, la lunghezza. r t s I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria Gli enti geometrici fondamentali DEFINIZIONE. Il piano è il terzo ente fondamentale ed è dotato di due dimensioni: lunghezza e larghezza. DEFINIZIONE. Lo spazio è il quarto ente fondamentale ed è dotato di tre dimensioni: lunghezza, larghezza e altezza. I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria Gli enti geometrici fondamentali Il rapporto tra gli enti geometrici fondamentali Punto, retta, piano, possono assumere diverse posizioni reciproche. Un punto può appartenere ad una retta o a un piano; ad esempio ; A r C α r A B D Un punto può non appartenere ad una retta o a un piano; ad esempio ; B r D α I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria Gli enti geometrici fondamentali Una retta giace sul piano quando tutti i suoi punti appartengono anche al piano. Una retta che giace su un piano lo divide in due parti infinite, ciascuna delle quali prende il nome di semipiano. Si dice che la retta è origine dei due semipiani. r A r t Una retta interseca il piano quando solo un punto della retta appartiene anche al piano. Il punto A, in comune tra la retta e il piano, si chiama punto di intersezione. Una retta è parallela al piano quando nessuno dei suoi punti appartiene anche al piano. I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria Gli enti geometrici fondamentali DEFINIZIONE. Due rette che appartengono allo stesso piano si dicono complanari. r s DEFINIZIONE. Due rette complanari si dicono incidenti se hanno un solo punto in comune. r s DEFINIZIONE. Due rette complanari si dicono parallele se non hanno alcun punto in comune. r s DEFINIZIONE. Due rette complanari si dicono coincidenti se hanno tutti i punti in comune. I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria Gli assiomi della geometria s t u v z r ASSIOMA 1. Per un punto passano infinite rette. r A B ASSIOMA 2. Per due punti distinti passa una e una sola retta. I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria Gli assiomi della geometria r A B ASSIOMA 3. Se una retta ha in comune con un piano due punti allora giace tutta su di esso. ASSIOMA 4. Per una retta passano infiniti piani. I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria Gli assiomi della geometria A B C ASSIOMA 5. Per tre punti distinti non appartenenti ad una stessa retta, cioè non allineati, passa uno e un solo piano. r C ASSIOMA 5a. Per una retta e un punto fuori di essa passa un solo piano. r s ASSIOMA 5b. Per due rette incidenti passa un solo piano. I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria La semiretta e il segmento r O DEFINIZIONE. La semiretta è ciascuna delle due parti, infinite, in cui una retta è divisa da un punto. Tale punto è detto origine delle due semirette. semiretta r1 semiretta r2 origine r A B segmento DEFINIZIONE. Il segmento è la parte di retta compresa tra due punti. estremo estremo I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria Segmenti consecutivi e segmenti adiacenti A B C DEFINIZIONE. Due segmenti AB e BC si dicono consecutivi se hanno un estremo B in comune. r A B C DEFINIZIONE. Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta. I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria La spezzata Spezzata intrecciata chiusa DEFINIZIONE. Una linea formata da due o più segmenti a due a due consecutivi si chiama spezzata o poligonale. Spezzata chiusa o poligonale Spezzata intrecciata aperta Spezzata aperta I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria Il piano cartesiano y Il piano cartesiano è caratterizzato dalla presenza di due rette orientate (verso destra e verso l’alto) tra loro perpendicolari che assumono il nome di assi cartesiani, e in particolare: asse delle ascisse (o delle x), quello orizzontale; asse delle ordinate (o delle y), quello verticale. ordinate O ordinate x Il punto d’intersezione degli assi è detto origine. È indicato normalmente con la lettera O e corrisponde al punto di coordinate (0; 0). I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria Il piano cartesiano 1 2 3 4 5 6 y È possibile individuare qualsiasi punto, indicando i numeri corrispondenti agli spostamenti sull’asse orizzontale e verticale. La coppia che indica tali spostamenti prende il nome di coordinate cartesiane del punto. A O 1 2 3 4 5 6 x Ad esempio il punto A si ottiene spostandosi di 3 unità in orizzontale e 4 in verticale e si può pertanto scrivere nella forma: A (3; 4) I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria Il punto medio Siano ora A (1; 4) e B (3; 0) gli estremi di un segmento AB. 1 2 3 4 5 6 y Per calcolare le coordinate del punto medio del segmento AB impostiamo le due relazioni: xM = (xA + xB) : 2 = (1 + 3) : 2 = 2 yM = (yA + yB) : 2 = (4 + 0) : 2 = 2 A M B e pertanto M (2; 2) O 1 2 3 4 5 6 x I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria Gli angoli O a b angolo angolo DEFINIZIONE. Si chiama angolo ciascuna delle due parti in cui il piano viene diviso da due semirette che hanno origine comune. b a b’ a’ DEFINIZIONE. Un angolo si dice convesso quando non contiene i prolungamenti dei lati. angolo convesso a b b’ a’ DEFINIZIONE. Un angolo si dice concavo quando contiene i prolungamenti dei lati. angolo concavo I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria Angoli particolari O r s L’angolo nullo ha l’ampiezza di 0°. r s O L’angolo retto ha l’ampiezza di 90°. s r L’angolo piatto ha l’ampiezza di 180°. O r s L’angolo giro ha l’ampiezza di 360°. I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria Angoli particolari s r PROPRIETÀ. Un angolo retto è la metà di un angolo piatto. r s O DEFINIZIONE. Un angolo minore di un angolo retto si dice acuto. r s O DEFINIZIONE. Un angolo maggiore dell’angolo retto e minore dell’angolo piatto si dice ottuso. I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria Angoli consecutivi, adiacenti, opposti al vertice V A B C DEFINIZIONE. Due angoli con il vertice e un lato in comune e gli altri due lati situati da parti opposte rispetto al lato comune si dicono consecutivi. A V C B DEFINIZIONE. Se due angoli consecutivi hanno i due lati non comuni uno sul prolungamento dell’altro si dicono adiacenti. DEFINIZIONE. Due angoli che hanno i loro lati l’uno sul prolungamento dell’altro si dicono opposti al vertice. D B A V TEOREMA. Angoli opposti al vertice sono congruenti. I primi elementi della geometria

I primi elementi della geometria Angoli complementari, supplementari, esplementari Consideriamo gli angoli AVB e BVC: B A V C PROPRIETÀ. Due angoli si dicono complementari se la loro somma corrisponde a un angolo retto. DEFINIZIONE. Due angoli si dicono supplementari se la loro somma corrisponde ad un angolo piatto. B V A C V B A DEFINIZIONE. Due angoli si dicono esplementari se la loro somma corrisponde ad un angolo giro. I primi elementi della geometria