GEOMETRIA PIANA APPROFONDIMENTI

RELAZIONE TRA I LATI DI UN TRIANGOLO Come sappiamo in un qualsiasi POLIGONO, OGNI LATO è sempre MINORE rispetto alla SOMMA di TUTTI GLI ALTRI LATI. Per i TRIANGOLI, essendo i lati solamente tre, possiamo dire che OGNI LATO è sempre MINOREdella SOMMA DEGLI ALTRI DUE. In altre parole, dato il triangolo ABC possiamo dire che: BC < AB + AC AB < BC + AC AC < AB + BC

POLIGONI INSCRITTI Disegniamo un POLIGONO i cui vertici siano A, B,C, D, ed E. Ora immaginiamo che TUTTI i VERTICI del nostro poligono si trovino su una CIRCONFERENZA: Il POLIGONO che abbiamo disegnato si dice INSCRITTO nella circonferenza. Mentre la CIRCONFERENZA si dice CIRCOSCRITTA al poligono. Dato un poligono, non sempre esiste una circonferenza ad esso circoscritta: se ciò si verifica il POLIGONO si dice INSCRITTIBILE. Disegniamo gli ASSI di tutti i LATI del POLIGONO. Ricordiamo che per asse del lato di un poligono si intende la RETTA ad ESSO PERPENDICOLARE passante per il PUNTO MEDIO del lato considerato. Notiamo che gli assi di tutti i lati del poligono si incontrano in un unico punto, che ricordiamo prende il nome di CIRCOCENTRO. Tale punto non è altro che il centro della circonferenza. Quindi possiamo dire che un POLIGONO si può INSCRIVERE in una CIRCONFERENZA se gli ASSI dei suoi lati si INCONTRANO TUTTI in un UNICO PUNTO che è anche il CENTRO DELLA CIRCONFERENZA.  Se un POLIGONO è INSCRITTO in una circonferenza di centro O e raggio r, il centro O è il CIRCOCENTRO del poligono e il raggio r si dice RAGGIO DEL POLIGONO.

TRIANGOLI INSCRITTI Ora ipotizziamo che il poligono che vogliamo inscrivere in una circonferenza sia un TRIANGOLO. Dallo studio dei triangoli sappiamo che gli ASSI DEL TRIANGOLO si incontrano tutti in UNO STESSO PUNTO detto CIRCOCENTRO del triangolo. Essendo il CIRCOCENTRO del triangolo unico è evidente che è SEMPRE POSSIBILE INSCRIVERE il triangolo in una circonferenza: Osserviamo, ora la distanza dei vertici A, B e C dal circocentro O (che poi è anche il centro della circonferenza) I segmenti OA, OB e OC sono tutti della stessa lunghezza. Quindi possiamo costruire una circonferenza, avente centro in O il cui raggio è pari ad OA (e quindi anche ad OB e ad OC) e che passa per i tre vertici del triangolo. Quindi, possiamo dire che OGNI TRIANGOLO è un poligono INSCRITTIBILE.

QUADRILATERI INSCRITTI Un QUADRILATERO può essere INSCRITTO in una circonferenza se gli ANGOLI OPPOSTI sono SUPPLEMENTARI, cioè se la loro somma è pari a 180°. Vediamo allora, tra i quadrilateri, quali sono inscrittibili. Può essere inscritto in una circonferenza il RETTANGOLO: E' evidente, infatti che, poiché gli ANGOLI del rettangolo sono tutti RETTI, cioè misurano tutti 90°, la SOMMA degli ANGOLI OPPOSTI è pari a 180°. Può essere inscritto in una circonferenza il QUADRATO: Anche gli ANGOLI del quadrato sono tutti RETTI, cioè misurano tutti 90°, pertanto la SOMMA degli ANGOLI OPPOSTI è pari a 180°. Infine può essere inscritto in una circonferenza il TRAPEZIO ISOSCELE: Ritagliamo l'angolo con vertice in A e andiamo ad affiancarlo all'ANGOLO  OPPOSTO, avente il vertice in C: i due angoli sono SUPPLEMENTARI.

Poligoni regolari inscritti in una circonferenza Dato un qualsiasi poligono regolare e' sempre possibile inscriverlo in una circonferenza Inoltre avremo che All'aumentare del numero dei lati la misura del perimetro di un poligono regolare inscritto in una circonferenza aumenta avvicinandosi alla misura della lunghezza della circonferenza stessa

POLIGONI CIRCOSCRITTI Ora immaginiamo che TUTTI i LATI del nostro poligono siano TANGENTI ad una CIRCONFERENZA di centro O. Il POLIGONO che abbiamo disegnato si dice CIRCOSCRITTO alla circonferenza. Mentre la CIRCONFERENZA si dice INSCRITTA nel poligono. Dato un poligono, non sempre si può inscrivere in esso una circonferenza: se ciò si verifica il POLIGONO si dice CIRCOSCRITTIBILE. Disegniamo ora le DISTANZE DEI LATI del poligono dal centro della circonferenza. Nell'immagine che segue le abbiamo indicate in verde: Ovviamente i segmenti OQ, OK, OP, ON, OH sono CONGRUENTI essendo i RAGGI della CIRCONFERENZA. Quindi i lati del poligono sono tutti equidistanti dal centro della circonferenza.

POLIGONI CIRCOSCRITTI Ora, dallo studio dei triangoli abbiamo appreso che l'INCENTRO è EQUIDISTANTE DAI LATI. Ricordiamo che l'INCENTRO è il PUNTO in cui si INCONTRANO le BISETTRICI di un poligono e che per BISETTRICE di un angolo si intende la SEMIRETTA che ha per ORIGINE il VERTICE dell'angolo e che divide l'angolo in DUE PARTI UGUALI. Quindi, nel nostro poligono circoscritto l'incentro, che è il punto equidistante dai lati del poligono, coincide con il centro della circonferenza. Per evidenziare il concetto, disegniamo, in viola, anche le bisettrici degli angoli del poligono: Esse si incontrano nel punto O che rappresenta l'incentro, ma che è anche il centro della circonferenza. Quindi possiamo dire che un POLIGONO si può CIRCOSCRIVERE a una CIRCONFERENZA se le BISETTRICI di tutti i suoi angoli si INCONTRANO TUTTE in un UNICO PUNTO che è anche il CENTRO DELLA CIRCONFERENZA. 

TRIANGOLI CIRCOSCRITTI Ora ipotizziamo che il poligono che vogliamo circoscrivere ad una circonferenza sia un TRIANGOLO. Dallo studio dei triangoli sappiamo che le BISETTRICI DEL TRIANGOLO si incontrano tutte in UNO STESSO PUNTO detto INCENTRO  del triangolo. Essendo l'INCENTRO del triangolo unico è evidente che è SEMPRE POSSIBILE CIRCOSCRIVERE il triangolo ad una circonferenza: Osserviamo, le bisettrici di tutti gli angoli del triangolo si incontrano in un unico punto che è l'incentro del triangolo, ma anche il centro della circonferenza. Quindi, possiamo dire che OGNI TRIANGOLO è un poligono CIRCOSCRITTIBILE.

QUADRILATERI CIRCOSCRITTIBILI Un QUADRILATERO può essere CIRCOSCRITTOad una circonferenza se la SOMMA DEI LATI OPPOSTI è UGUALE. Se questa condizione si verifica esiste un unico incentro. Quindi, tornando alla domanda iniziale possiamo dire che non tutti i quadrilateri sono circoscrittibili.

QUADRILATERI CIRCOSCRITTIBILI Vediamo allora, tra i quadrilateri, quali sono circoscrittibili. Può essere circoscritto ad una circonferenza il QUADRATO: E' evidente, infatti che, poiché i  LATI del quadrato sono tutti CONGRUENTI, la somma dei lati opposti è uguale, ovvero: AB + DC = AD + BC. Può essere circoscritto alla circonferenza anche il ROMBO: Anche i  LATI del  rombo sono tutti CONGRUENTI, e quindi la somma dei lati opposti è uguale, ovvero: AB + DC = AD + BC.

Poligoni regolari circoscritti ad una circonferenza Dato un qualsiasi poligono regolare e' sempre possibile circoscriverlo ad una circonferenza Inoltre avremo che All'aumentare del numero dei lati la misura del perimetro di un poligono regolare circoscritto ad una circonferenza diminuisce avvicinandosi alla misura della lunghezza della circonferenza stessa

NUMERO DIAGONALI POLIGONI Quante diagonali ha un poligono? Per rispondere a questa domanda dobbiamo sapere che esiste una formula per conoscere in modo rapido quante diagonali ha un poligono. Chiamiamo con n il numero di lati del poligono. Ovvero: n = numero di lati del poligono. Avremo: numero diagonali = [n· (n-3)]/ 2.   Ad esempio, vogliamo sapere qual è il numero delle diagonali di un esagono. Dato che l'esagono ha 6 lati avremo: n = 6 numero diagonali = [6 · (6-3)]/ 2 = = (6 · 3)/2 = 18/2 = 9. L'esagono ha nove diagonali. Verifichiamolo provando a disegnare le diagonali dell'esagono:

NUMERO DIAGONALI POLIGONI Vediamo come si può arrivare allo stesso risultato, e a capire anche il senso di questa formula, con un ragionamento. L'esagono ha 6 lati e, quindi, 6 vertici. Prendiamo uno di questi vertici: il vertice A. Ora disegniamo tutte le diagonali che partono da A: Il vertice A si collega con i restanti vertici tranne i due consecutivi.  Poiché nell'esagono ci sono 6 vertici, il vertice A si collega con altri 3 vertici, ovvero: 6 vertici - se stesso - 2 vertici consecutivi ad A. Allo stesso modo il vertice B si collega con altri 3 vertici, ovvero: 6 vertici - se stesso - 2 vertici consecutivi a B. Quindi possiamo dire che ogni vertice si collega con i tutti i vertici del poligono, meno se stesso e meno i due consecutivi.  In altre parole ogni vertice si collega con altri (6 - 3) vertici. Quindi da ogni vertice partono 3 diagonali. Se da un vertice partono 3 diagonali, da 6 vertici partono 18 diagonali ( 6 x 3). Però teniamo presente che la diagonale che collega, ad esempio, il vertice A al vertice E è la stessa che collega il vertice E al vertice A, quindi devo dividere le 18 diagonali per 2 ottenendo 9 diagonali. Generalizzando, se ho n vertici, ogni vertice si collega con i restanti, tranne i due consecutivi. Quindi, essendo i vertici n, se ne prendo uno (e dunque considero i restanti n-1) esso si collega con n-3 (cioè n vertici meno se stesso e meno i due vertici consecutivi). Se da un vertice partono n-3 diagonali, da n vertici partono [n · (n-3)] diagonali. Tenendo conto che ogni diagonale è stata disegnata due volte, doppiamo dividere il risultato ottenuto per 2.

Poligoni simili Due poligoni sono simili se hanno gli angoli corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti in proporzione.