Sua Maestà IL LIMITE A cura di Cosimo De Mitri

Da Wikipedia Il concetto di limite è alla base dell'Analisi Matematica. Esso è utilizzato per definire ad esempio la continuità, la derivabilità, l'integrabilità, la convergenza delle serie numeriche, la completezza degli spazi hilbertiani. L'idea era già presente in modo larvato nella Grecia antica, per esempio nel metodo di esaustione ideato da Archimede. Alla fine del XVII secolo il concetto di limite fu utilizzato in forma rudimentale da Newton e Leibniz agli albori del calcolo infinitesimale. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Continua più avanti ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..… ……………………………………………………………………………………………………..………………………………….………………………………..

Quando x tende a +, dove tende f(x)? la retta y=l è asintoto orizzontale per x tendente a + l f(x) f(x) f(x) x x x In questa slide, si è visto x tendente a + ed f(x) tendente ad un valore finito l Quando x tende a +, dove tende f(x)? Nella prossima slide, x tenderà ad un punto finito x0 ed f(x) tenderà di nuovo ad un valore finito l

Quando x tende ad x0, dove tende f(x)? In questo caso f è continua in x0, dato che x0 Dom(f) e f(x0)=l f(x) f(x) f(x) l f(x0) f(x) f(x) f(x) x0 x x x x x x Quando x tende ad x0, dove tende f(x)?

l x0 Invece qui la funzione ha in x0 una discontinuità (eliminabile): esiste ed è finito il limite per x  x0, ma x0 Dom(f) l x0

Un altro caso di discontinuità eliminabile è il seguente: esiste ed è finito il limite l per x  x0, x0 Dom(f), ma f(x0) l l f(x0) x0

Limiti laterali l2 non esiste! l1 x0 limite sinistro limite destro Qui è rappresentata una discontinuità di salto finito (1a specie): esistono entrambi i limiti laterali per x  x0, sono entrambi finiti, ma sono diversi fra loro La differenza l2-l1 è chiamata salto l2 Il limite per x x0 non esiste! l1 x0

Da Wikipedia Il concetto di limite è alla base dell'Analisi Matematica Esso è utilizzato per definire ad esempio la continuità, la derivabilità, l'integrabilità, la convergenza delle serie numeriche, la completezza degli spazi hilbertiani. L'idea era già presente in modo larvato nella Grecia antica, per esempio nel metodo di esaustione ideato da Archimede. Alla fine del XVII secolo il concetto di limite fu utilizzato in forma rudimentale da Newton e Leibniz agli albori del calcolo infinitesimale. Le prime definizioni abbastanza rigorose risalgono al XIX secolo, ad opera di Cauchy e Weierstrass. Una teoria abbastanza completa del limite viene elaborata da Heine nel 1872. Molti altri studiosi, tra cui Bolzano, Dedekind e Cantor, si sono occupati del problema del limite, approfondendo l'argomento con lo studio dell'analisi infinitesimale. Solo nel 1922 Moore e Smith sono riusciti a dare una nozione molto generale (topologica) di limite, che è quella attualmente utilizzata in matematica.

La definizione J I  J intorno di l  J intorno di l  I intorno di x0 tale che, tale che,  x Dom(f)  I -{x0},  x Dom(f)  I -{x0}, si ha che f(x)J si ha che f(x)J J l x0 I

La definizione  ε > 0  δ > 0 tale che,  x Dom(f)-{x0}, Assumendo J della forma ]l-ε, l+ε[ e I della forma ]x0-δ, x0+δ[, la definizione si riscrive così:  ε > 0  δ > 0 tale che,  x Dom(f)-{x0}, se |x-x0| < δ allora | f(x)-l | < ε l+ε l l-ε x0 x0-δ x0+δ

x0 Qui la variabile indipendente x tende, da sinistra, ad un punto finito x0, e i corrispondenti valori f(x) tendono a + La retta x = x0 è asintoto verticale per x x0- Nota bene Il limite per x x0+ è 0 x0 La discontinuità è di seconda specie.

La definizione x0  J intorno di +  xDom(f)  I -{x0}, J  I intorno sinistro di x0 tale che,  xDom(f)  I -{x0}, J si ha che f(x)J Oppure, assumendo k J = ]k, + [ e I = ]x0-δ, x0]  k > 0  δ > 0 tale che,  x Dom(f)-{x0}, x0-δ x0 se |x-x0| < δ I allora f(x) > k

Un caso molto ... patologico Mentre x si avvicina al punto x0 = 0 descrivendone un qualsiasi intorno sinistro o un qualsiasi intorno destro, i valori f(x) spazzano infinite volte l'intervallo [-1, 1]. Il limite per x tendente a 0 non esiste. Non perché i limiti laterali siano diversi fra loro, ma perché addirittura essi stessi non esistono. La discontinuità è di seconda specie.

Il caso delle successioni E’ noto che le successioni sono funzioni il cui dominio è l’insieme dei numeri naturali. Ne consegue che il grafico non è una curva ma un insieme di punti isolati. Indichiamo con n la variabile indipendente, e con yn il termine n-imo della successione. La variabile n può tendere solo a +. La figura rappresenta il caso di una successione yn che tende ad un valore finito l. def  ε > 0   N tale che,  n> , | yn - l | < ε l In questo caso la successione è strettamente crescente, e il limite l coincide con l’estremo superiore dei suoi valori yn .

Il caso delle successioni E’ noto che le successioni sono funzioni il cui dominio è l’insieme dei numeri naturali. Ne consegue che il grafico non è una curva ma un insieme di punti isolati. Indichiamo con n la variabile indipendente, e con yn il termine n-imo della successione. La variabile n può tendere solo a +. La figura rappresenta il caso di una successione yn che tende ad un valore finito l. def  ε > 0   N tale che,  n> , | yn - l | < ε Invece in quest’altro caso i valori yn oscillano alternatamente attorno al limite l. l

Una successione … irregolare Qui è rappresentata una successione che non ammette limite (irregolare). La sottosuccessione costituita dai termini di indice dispari (che è una successione costante) Invece la sottosuccessione costituita dai termini di indice pari diverge a + converge ad un valore finito l l

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