Sezione d’urto ed ampiezza di diffusione Flusso uscente per unità di angolo solido Flusso entrante Flusso = numero di particelle per unità di superficie e di tempo Il flusso incidente si ottiene dalla densità di corrente di probabilità Sostituendo per l’onda piana entrante: Si ottiene Il flusso uscente per unità di angolo solido si ottiene dalla relazione: sostituendo

Sezione d’urto ed ampiezza di diffusione Si ottiene Sostituendo: Osserviamo inoltre che l’onda diffusa è data dalla relazione: ampiezza di diffusione

Sezione d’urto ed ampiezza di diffusione In un’onda piana il momento angolare l non è definito. L’onda si può esprimere come una sovrapposizione di onde a momento angolare definito rispetto al centro diffusore. Se il centro diffusore ha spin 0 non vi è una orientazione azimutale preferenziale  simmetria assiale Funzioni sferiche di Bessel Armoniche sferiche Espansione in onde parziali Nel limite sperimentale r Inoltre espandiamo le armoniche sferiche in termini di polinomi di Legendre: Sovrapposizione di onde a momento angolare definito convergenti e divergenti dal centro diffusore

Sezione d’urto ed ampiezza di diffusione Solo le onde divergenti avranno subito in uscita una alterazione, dovuta alla presenza del centro diffusore. Scriviamo la funzione d’onda in uscita nella forma ald alc sono numeri complessi che rappresentano l’effetto della diffusione a fissato l Sottraendo l’onda iniziale da quella finale: Ricordando che: alc=1 per le onde convergenti  Considerando le sole onde divergenti Poniamo per semplicità ald=al ottenendo che:

Sezione d’urto ed ampiezza di diffusione Sezione d’urto per la diffusione. tutte le variabili dello stato iniziale ad eccezione dell’angolo  sono rimaste invariate. Sezione d’urto totale Integrando sull’angolo solido si ottiene la sezione d’urto totale: Osservando che:

Sezione d’urto ed ampiezza di diffusione al rappresenta la variazione di ampiezza e fase dell’onda uscente rispetto a quella entrante. l è detto parametro di inelasticità l è la fase (reale)  Diffusione elastica: tutte le particelle presenti nello stato iniziale si ritrovano anche nello stato finale Diffusione elastica Sostituendo l =1 si ottiene l’ampiezza:

Diffusione elastica Calcolando il modulo quadro ed integrando sull’angolo solido: Se vi è solo diffusione elastica, allora: el = tot Possiamo inoltre porre el è detta sezione d’urto parziale elastica Osserviamo che per ciascuna sezione d’urto parziale elastica si ha un massimo se: l= /2 Questa è detta condizione di risonanza.

Risonanze e diffusione da sfera rigida Nel caso di diffusione elastica a bassa energia da una sfera rigida di raggio R kR1 , la diffusione avviene solo in onda l=0. Se la funzione d’onda uscente si annulla sulla superficie della sfera: Si ottiene la sezione della sfera rigida.

Diffusione anelastica Nel caso di diffusione anelastica la sezione d’urto è calcolata considerando il Flusso netto di particelle associate all’onda uscente : ovvero il flusso di particelle incidenti meno quello delle particelle diffuse elasticamente La sezione d’urto totale si ottiene sommando i contributi delle sezioni d’urto elastica ed anelastica:

Diffusione anelastica Nel caso di diffusione anelastica il massimo della sezione d’urto si ha per: assorbimento In tal caso la diffusione elastica non si annulla: Quando l’assorbimento è massimo, può esserci diffusione elastica il cui valore massimo si ha se:

Ampiezza d’onde parziali Definiamo ampiezza d’onda parziale la quantità: studiamone l’andamento in funzione dell’energia E. Nel caso elastico si ha l=1 Abbiamo visto che la condizione di risonanza si ha se: l(Er)/2 ovvero

Ampiezza d’onde parziali Sviluppiamo l’ampiezza d’onda parziale in funzione dell’energia in serie di Taylor intorno al valore dell’energia di risonanza Er=Eris definiamo la quantità  tramite la relazione: Il contributo alla sezione d’urto di un’onda parziale si può scrivere:

Formula di Breit-Wigner Tale formula è valida nel caso della diffusione di sonde a spin-0 su bersagli a spin-0. Nel caso in cui lo spin del bersaglio o della sonda non siano nulli, la formula viene generalizzata come segue: dove g(J) esprime il peso statistico del canale a spin J, dato da: essendo s1 ed s2 gli spin di proiettile e bersaglio, rispettivamente.