I vettori in matematica e fisica Alcune proposte per un percorso di fisica-matematica articolabile nei diversi anni del liceo matematico.

L’atto di nascita dell’algebra lineare La scienza delle grandezze estese L’Ausdehnungslehre Hermann Grassmann (1809-1877)

L’atto di nascita dell’algebra lineare La scienza delle grandezze estese L’Ausdehnungslehre La considerazione del negativo in geometria mi aveva dato il primo impulso; mi abituavo a vedere i segmenti AB e BA come delle grandezze opposte   Hermann Grassmann (1809-1877)

L’atto di nascita dell’algebra lineare La scienza delle grandezze estese L’Ausdehnungslehre La considerazione del negativo in geometria mi aveva dato il primo impulso; mi abituavo a vedere i segmenti AB e BA come delle grandezze opposte   Hermann Grassmann (1809-1877)

L’atto di nascita dell’algebra lineare La scienza delle grandezze estese L’Ausdehnungslehre La considerazione del negativo in geometria mi aveva dato il primo impulso; mi abituavo a vedere i segmenti AB e BA come delle grandezze opposte da cui risultava che se A, B, C sono tre punti su una retta, è ugualmente sempre vero che AB + BC = AC sia quando AB e BC sono disegnati di seguito sia quando sono opposti cioè quando C si trova tra A e B.   Hermann Grassmann (1809-1877)

L’atto di nascita dell’algebra lineare La scienza delle grandezze estese L’Ausdehnungslehre La considerazione del negativo in geometria mi aveva dato il primo impulso; mi abituavo a vedere i segmenti AB e BA come delle grandezze opposte da cui risultava che se A, B, C sono tre punti su una retta, è ugualmente sempre vero che AB + BC = AC sia quando AB e BC sono disegnati di seguito sia quando sono opposti cioè quando C si trova tra A e B.   Hermann Grassmann (1809-1877)

L’atto di nascita dell’algebra lineare La scienza delle grandezze estese L’Ausdehnungslehre La considerazione del negativo in geometria mi aveva dato il primo impulso; mi abituavo a vedere i segmenti AB e BA come delle grandezze opposte da cui risultava che se A, B, C sono tre punti su una retta, è ugualmente sempre vero che AB + BC = AC sia quando AB e BC sono disegnati di seguito sia quando sono opposti cioè quando C si trova tra A e B. In questo ultimo caso AB e BC non venivano visti come semplici lunghezze, ma come segmenti nei quali era stato fissato anche un verso per mezzo del quale essi risultavano, giustamente, opposti. S’imponeva quindi la distinzione tra la somma di lunghezze e la somma di tali segmenti nei quali era stato anche fissato il verso.   Hermann Grassmann (1809-1877)

L’atto di nascita dell’algebra lineare La scienza delle grandezze estese L’Ausdehnungslehre Da questo nasceva l’esigenza di definire questo concetto di somma non solamente nel caso in cui i segmenti sono diretti nello stesso senso o in senso opposto, ma anche in tutti gli altri casi. Questo poteva farsi nel modo più semplice possibile mantenendo ancora la legge AB + BC = AC anche quando A, B, C non erano sulla stessa retta. Hermann Grassmann (1809-1877)

L’atto di nascita dell’algebra lineare La scienza delle grandezze estese L’Ausdehnungslehre Da questo nasceva l’esigenza di definire questo concetto di somma non solamente nel caso in cui i segmenti sono diretti nello stesso senso o in senso opposto, ma anche in tutti gli altri casi. Questo poteva farsi nel modo più semplice possibile mantenendo ancora la legge AB + BC = AC anche quando A, B, C non erano sulla stessa retta. Da questa semplicissima considerazione nasce lo strumento base della matematica moderna: il concetto di spazio vettoriale Hermann Grassmann (1809-1877)

L’atto di nascita dell’algebra lineare La scienza delle grandezze estese L’Ausdehnungslehre Riflettendo sul concetto di prodotto in geometria, come mi fu presentato da mio padre, avevo trovato che non soltanto il rettangolo ma soprattutto anche il parallelogramma va considerato come il prodotto di due lati contigui, quando si prenda in effetti, ancora una volta, non il prodotto delle lunghezze, ma quello dei due segmenti tenendo conto delle loro direzioni. Hermann Grassmann (1809-1877)

L’atto di nascita dell’algebra lineare La scienza delle grandezze estese L’Ausdehnungslehre Riflettendo sul concetto di prodotto in geometria, come mi fu presentato da mio padre, avevo trovato che non soltanto il rettangolo ma soprattutto anche il parallelogramma va considerato come il prodotto di due lati contigui, quando si prenda in effetti, ancora una volta, non il prodotto delle lunghezze, ma quello dei due segmenti tenendo conto delle loro direzioni. Hermann Grassmann (1809-1877)

L’atto di nascita dell’algebra lineare La scienza delle grandezze estese L’Ausdehnungslehre Riflettendo sul concetto di prodotto in geometria, come mi fu presentato da mio padre, avevo trovato che non soltanto il rettangolo ma soprattutto anche il parallelogramma va considerato come il prodotto di due lati contigui, quando si prenda in effetti, ancora una volta, non il prodotto delle lunghezze, ma quello dei due segmenti tenendo conto delle loro direzioni. Combinando allora il concetto di prodotto con quello di somma esposto precedentemente, ho ottenuto una straordinaria armonia. Hermann Grassmann (1809-1877)

L’atto di nascita dell’algebra lineare La scienza delle grandezze estese L’Ausdehnungslehre Riflettendo sul concetto di prodotto in geometria, come mi fu presentato da mio padre, avevo trovato che non soltanto il rettangolo ma soprattutto anche il parallelogramma va considerato come il prodotto di due lati contigui, quando si prenda in effetti, ancora una volta, non il prodotto delle lunghezze, ma quello dei due segmenti tenendo conto delle loro direzioni. Combinando allora il concetto di prodotto con quello di somma esposto precedentemente, ho ottenuto una straordinaria armonia. Hermann Grassmann (1809-1877)

L’atto di nascita dell’algebra lineare La scienza delle grandezze estese L’Ausdehnungslehre Riflettendo sul concetto di prodotto in geometria, come mi fu presentato da mio padre, avevo trovato che non soltanto il rettangolo ma soprattutto anche il parallelogramma va considerato come il prodotto di due lati contigui, quando si prenda in effetti, ancora una volta, non il prodotto delle lunghezze, ma quello dei due segmenti tenendo conto delle loro direzioni. Combinando allora il concetto di prodotto con quello di somma esposto precedentemente, ho ottenuto una straordinaria armonia. Hermann Grassmann (1809-1877)

L’atto di nascita dell’algebra lineare La scienza delle grandezze estese L’Ausdehnungslehre C’era un altro risultato che mi aveva all’inizio impressionato, cioè che, per questa nuova specie di prodotto, mentre restavano valide le regole della moltiplicazione usuale, in particolare la sua relazione con l’addizione, si potevano commutare i fattori solamente invertendo contemporaneamente anche il segno. Spero di poter dimostrare che questa nuova scienza nella sua forma concreta, cioè nelle sue applicazioni alla geometria, e alla fisica, costituisce una eccellente materia d’insegnamento, suscettibile di una trattazione elementare. Hermann Grassmann (1809-1877)

In Fisica Nella meccanica del punto materiale, il vettore spostamento s(t) dipende da un parametro reale continuo t che rappresenta il tempo, la sua derivata rispetto a t è il vettore velocità v mentre la derivata seconda è il vettore accelerazione a. Le trasformazioni galileiane si esprimono con la formula: s’ = s+tv0 dove v0 è un vettore che non dipende da t. Il principio di inerzia si esprime osservando che mentre il II principio della dinamica, che introduce il vettore forza, si esprime con la formula:

In Fisica La quasi totalità delle grandezze fisiche sono grandezze vettoriali. Le operazioni sui vettori e le loro proprietà, si traducono in operazione su entità fisiche che possono essere verificate sperimentalmente. Ad esempio: La somma di vettori con la somma delle forze u + v Il prodotto scalare di due vettori con il lavoro u . v Il prodotto vettoriale con il momento e la forza di Lorentz u ^ v

Il teorema di Talete Euclide, Elementi, Libro VI, proposizione 2 Se in un triangolo si conduce une retta parallela a uno dei lati, essa divide proporzionalmente gli altri due lati del triangolo; e se i due lati di un triangolo sono divisi proporzionalmente, la retta che congiunge i punti di divisione sarà parallela al rimanente lato del triangolo. AB= a AD , AC= b AE , BC//DE iff a=b

Il teorema di Talete Euclide, Elementi, Libro VI, proposizione 2 Se in un triangolo si conduce une retta parallela a uno dei lati, essa divide proporzionalmente gli altri due lati del triangolo; e se i due lati di un triangolo sono divisi proporzionalmente, la retta che congiunge i punti di divisione sarà parallela al rimanente lato del triangolo. AB= a AD , AC= b AE , BC//DE iff a=b AD = u , AE = v

Il teorema di Talete Euclide, Elementi, Libro VI, proposizione 2 Se in un triangolo si conduce une retta parallela a uno dei lati, essa divide proporzionalmente gli altri due lati del triangolo; e se i due lati di un triangolo sono divisi proporzionalmente, la retta che congiunge i punti di divisione sarà parallela al rimanente lato del triangolo. AB= a AD , AC= b AE , BC//DE iff a=b AD = u , AE = v I due vettori sono non nulli e linearmente indipendenti perché rappresentano i lati di un triangolo.

Il teorema di Talete Euclide, Elementi, Libro VI, proposizione 2 Se in un triangolo si conduce une retta parallela a uno dei lati, essa divide proporzionalmente gli altri due lati del triangolo; e se i due lati di un triangolo sono divisi proporzionalmente, la retta che congiunge i punti di divisione sarà parallela al rimanente lato del triangolo. AB= a AD , AC= b AE , BC//DE iff a=b AD = u , AE = v I due vettori sono non nulli e linearmente indipendenti perché rappresentano i lati di un triangolo. AB = a u a>0 è un numero reale positivo dato che AD e AB hanno lo stesso verso.

Il teorema di Talete Euclide, Elementi, Libro VI, proposizione 2 Se in un triangolo si conduce une retta parallela a uno dei lati, essa divide proporzionalmente gli altri due lati del triangolo; e se i due lati di un triangolo sono divisi proporzionalmente, la retta che congiunge i punti di divisione sarà parallela al rimanente lato del triangolo. AB= a AD , AC= b AE , BC//DE iff a=b AD = u , AE = v I due vettori sono non nulli e linearmente indipendenti perché rappresentano i lati di un triangolo. AB = a u a>0 è un numero reale positivo dato che AD e AB hanno lo stesso verso. AC = b v b>0 è un numero reale positivo dato che AD e AB hanno lo stesso verso.

Il teorema di Talete Euclide, Elementi, Libro VI, proposizione 2 Se in un triangolo si conduce une retta parallela a uno dei lati, essa divide proporzionalmente gli altri due lati del triangolo; e se i due lati di un triangolo sono divisi proporzionalmente, la retta che congiunge i punti di divisione sarà parallela al rimanente lato del triangolo. AB= a AD , AC= b AE , BC//DE iff a=b AD = u , AE = v I due vettori sono non nulli e linearmente indipendenti perché rappresentano i lati di un triangolo. AB = a u a>0 è un numero reale positivo dato che AD e AB hanno lo stesso verso. AC = b v b>0 è un numero reale positivo dato che AD e AB hanno lo stesso verso. DE = DA + AE = -u + v BC = BA + AC = -au + bv

Il teorema di Talete Euclide, Elementi, Libro VI, proposizione 2 Se in un triangolo si conduce une retta parallela a uno dei lati, essa divide proporzionalmente gli altri due lati del triangolo; e se i due lati di un triangolo sono divisi proporzionalmente, la retta che congiunge i punti di divisione sarà parallela al rimanente lato del triangolo. AB= a AD , AC= b AE , BC//DE iff a=b AD = u , AE = v I due vettori sono non nulli e linearmente indipendenti perché rappresentano i lati di un triangolo. AB = a u a>0 è un numero reale positivo dato che AD e AB hanno lo stesso verso. AC = b v b>0 è un numero reale positivo dato che AD e AB hanno lo stesso verso. DE = DA + AE = -u + v BC = BA + AC = -au + bv BC//DE iff BC e DE linearmente indipendenti iff BC=t DE

Il teorema di Talete Euclide, Elementi, Libro VI, proposizione 2 Se in un triangolo si conduce une retta parallela a uno dei lati, essa divide proporzionalmente gli altri due lati del triangolo; e se i due lati di un triangolo sono divisi proporzionalmente, la retta che congiunge i punti di divisione sarà parallela al rimanente lato del triangolo. AB= a AD , AC= b AE , BC//DE iff a=b iff BC=t DE BC = -au + bv DE = -u + v -au + bv = t(-u + v)

Il teorema di Talete Euclide, Elementi, Libro VI, proposizione 2 Se in un triangolo si conduce une retta parallela a uno dei lati, essa divide proporzionalmente gli altri due lati del triangolo; e se i due lati di un triangolo sono divisi proporzionalmente, la retta che congiunge i punti di divisione sarà parallela al rimanente lato del triangolo. AB= a AD , AC= b AE , BC//DE iff a=b iff BC=t DE BC = -au + bv DE = -u + v -au + bv = t(-u + v) -au + bv = -tu +t v

Il teorema di Talete Euclide, Elementi, Libro VI, proposizione 2 Se in un triangolo si conduce une retta parallela a uno dei lati, essa divide proporzionalmente gli altri due lati del triangolo; e se i due lati di un triangolo sono divisi proporzionalmente, la retta che congiunge i punti di divisione sarà parallela al rimanente lato del triangolo. AB= a AD , AC= b AE , BC//DE iff a=b iff BC=t DE BC = -au + bv DE = -u + v -au + bv = t(-u + v) -au + bv = -tu +t v tu - au + bv – tv = 0

Il teorema di Talete Euclide, Elementi, Libro VI, proposizione 2 Se in un triangolo si conduce une retta parallela a uno dei lati, essa divide proporzionalmente gli altri due lati del triangolo; e se i due lati di un triangolo sono divisi proporzionalmente, la retta che congiunge i punti di divisione sarà parallela al rimanente lato del triangolo. AB= a AD , AC= b AE , BC//DE iff a=b iff BC=t DE BC = -au + bv DE = -u + v -au + bv = t(-u + v) -au + bv = -tu +t v tu - au + bv – tv = 0 (t-a)u + (b-t)v = 0

Il teorema di Talete Euclide, Elementi, Libro VI, proposizione 2 Se in un triangolo si conduce une retta parallela a uno dei lati, essa divide proporzionalmente gli altri due lati del triangolo; e se i due lati di un triangolo sono divisi proporzionalmente, la retta che congiunge i punti di divisione sarà parallela al rimanente lato del triangolo. AB= a AD , AC= b AE , BC//DE iff a=b iff BC=t DE BC = -au + bv DE = -u + v -au + bv = t(-u + v) -au + bv = -tu +t v tu - au + bv – tv = 0 (t-a)u + (b-t)v = 0 t=a , b=t

Esercizi di geometria affine Utilizzando le operazioni di somma e prodotto per uno scalare

Esercizi di geometria affine Utilizzando le operazioni di somma e prodotto per uno scalare Le mediane di un triangolo si intersecano in un punto u + v

Esercizi di geometria affine Utilizzando le operazioni di somma e prodotto per uno scalare Le mediane di un triangolo si intersecano in un punto I punti medi di un quadrilatero sono vertici di un parallelogramma u + v

Esercizi di geometria affine Utilizzando le operazioni di somma e prodotto per uno scalare Le mediane di un triangolo si intersecano in un punto I punti medi di un quadrilatero sono vertici di un parallelogramma Il teorema di Menelao u + v

Esercizi di geometria affine Utilizzando le operazioni di somma e prodotto per uno scalare Le mediane di un triangolo si intersecano in un punto I punti medi di un quadrilatero sono vertici di un parallelogramma Il teorema di Menelao Il teorema di Ceva u + v

Esercizi di geometria affine Utilizzando le operazioni di somma e prodotto per uno scalare Le mediane di un triangolo si intersecano in un punto I punti medi di un quadrilatero sono vertici di un parallelogramma Il teorema di Menelao Il teorema di Ceva Il secondo teorema di Escher u + v

Esercizi di geometria affine II teorema di Escher Dividiamo i tre lati di un qualsiasi in 3,4,5 parti uguali. Consideriamo la terna di segmenti ab , a’c , c'b’ dove a e a' sono punti di divisione del lato AB b e b' punti di divisione del lato BC c e c' punti di divisione del lato CA. Esistono allora 17 terne concorrenti!

Esercizi di geometria affine Utilizzando anche l’operazione di prodotto scalare u . v

Esercizi di geometria affine Utilizzando anche l’operazione di prodotto scalare La perpendicolarità delle diagonali di un rombo u . v

Esercizi di geometria affine Utilizzando anche l’operazione di prodotto scalare La perpendicolarità delle diagonali di un rombo Il teorema di Pitagora u . v

Esercizi di geometria affine Utilizzando anche l’operazione di prodotto scalare La perpendicolarità delle diagonali di un rombo Il teorema di Pitagora Il teorema di Carnot u . v

Esercizi di geometria affine Utilizzando anche l’operazione di prodotto scalare La perpendicolarità delle diagonali di un rombo Il teorema di Pitagora Il teorema di Carnot Teoremi vari sui triangoli rettangoli u . v

Esercizi di geometria affine Utilizzando anche l’operazione di prodotto vettoriale u ^ v

Esercizi di geometria affine Utilizzando anche l’operazione di prodotto vettoriale Confronto di aree u ^ v

Esercizi di geometria affine Utilizzando anche l’operazione di prodotto vettoriale Confronto di aree Teorema di Varignon u ^ v

Esercizi di geometria affine Utilizzando anche l’operazione di prodotto vettoriale Confronto di aree Teorema di Varignon Area di un poligono u ^ v

Centro e baricentro Il centro di una configurazione A1 ,A2, ... , An di n punti dello spazio, non necessariamente diversi, è quel punto C tale che

Centro e baricentro Il centro di una configurazione A1 ,A2, ... , An di n punti dello spazio, non necessariamente diversi, è quel punto C tale che Per due punti

Centro e baricentro Il centro di una configurazione A1 ,A2, ... , An di n punti dello spazio, non necessariamente diversi, è quel punto C tale che Per due punti Per tre punti

Centro e baricentro Il centro di una configurazione A1 ,A2, ... , An di n punti dello spazio, non necessariamente diversi, è quel punto C tale che Per due punti Per tre punti

Centro e baricentro Il centro di una configurazione A1 ,A2, ... , An di n punti dello spazio, non necessariamente diversi, è quel punto C tale che

Centro e baricentro Il centro di una configurazione A1 ,A2, ... , An di n punti dello spazio, non necessariamente diversi, è quel punto C tale che

Centro e baricentro Il centro di una configurazione A1 ,A2, ... , An di n punti dello spazio, non necessariamente diversi, è quel punto C tale che

Centro e baricentro Il centro di una configurazione A1 ,A2, ... , An di n punti dello spazio, non necessariamente diversi, è quel punto C tale che

Centro e baricentro Il centro di una configurazione di due punti pesati pA , qB

Centro e baricentro Il centro di una configurazione di due punti pesati pA , qB

Centro e baricentro Se un numero qualsiasi di grandezze, che si eccedono egualmente e i cui eccessi sono eguali alla minima di esse, vengono disposte su una bilancia in modo che pendano a distanze eguali, il centro di gravità di tutte divide la bilancia in modo tale che la parte verso le minori è doppia dell'altra. Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni intorno a due nuove scienze