Energia e forze conservative Energia potenziale Energia meccanica

Energia potenziale “Si chiama Energia potenziale, l’Energia associata alla configurazione di un sistema di corpi” Un bilanciere sospeso o una molla compressa sono esempi di energia potenziale L’energia che ha il bilanciere di figura (b) sta nella sua ipotesi di caduta La modifica del sistema terra-bilanciere o la modifica della distanza fra le spire è dovuta all’applicazione di una qualche forza L’energia potenziale è l’energia di un sistema di più corpi

Energia Potenziale e Forze conservative Porre una tegola su un soffitto o comprimere una molla aumentano la loro energia potenziale. In entrambi i casi si modifica la configurazione del sistema. Sia la forza di gravità, che la forza elastica, devono fare un lavoro negativo per dare alla palla e alla molla più energia potenziale, scriveremo quindi che la variazione di energia potenziale è pari al lavoro fatto: DU = - w Si fa un lavoro w1 per variare la configurazione del sistema e si fa lavoro w2 per ripristinarla. Ovviamente w1 = w2 se la forza che ha fatto il lavoro è una forza conservativa.

Forze Conservative Teorema: Il lavoro svolto da una forza conservativa non dipende dal percorso. Muovendoci da P a Q lungo il cammino 1 o lungo il cammino 2 avremo sempre: wPQ,1 = wPQ,2 (1) Q S1 S2 Se questo è vero, il lavoro fatto durante l’andata più il lavoro fatto durante il ritorno deve essere nullo wPQ,1 + wQP,2 = 0 ovvero wPQ,1 = -wQP,2 e sostituendo nella equazione (1) avremo che -wPQ,2 = wQP,2 P Una forza è conservativa quando il lavoro svolto lungo un cammino chiuso è nullo. Il lavoro dipende solo dalle posizioni iniziale e finale.

Forze conservative: caso del pendolo Un pendolo ideale è formato da un filo inestensibile e da una massa puntiforme. Il pendolo trasforma la sua energia potenziale datagli dallo spostamento che lo ha portato ad una quota h in energia cinetica e poi di nuovo in energia potenziale. Il processo durerebbe all’infinito se non ci fossero attriti e altre resistenze vincolari. In un sistema isolato la variazione dell’energia meccanica è nulla

L’energia meccanica (energia cinetica più energia potenziale) Se le forze sono conservative, l’energia meccanica si conserva: Em = Ek + U Abbiamo visto che un lavoro w causa una variazione dell’energia potenziale DU, la quale può trasformarsi in variazione di DEk, DEk = - DU DEk + DU = 0 D(Ek + U) = 0 Ek + U = cost In un sistema isolato l’energia meccanica si conserva h mg mg wg = Fg. ds = mgh

Conservazione dell’Energia meccanica Pendolo y0 q a y -q l T T y-y0 v v v mg mg

Forze non conservative Le forze sono non conservative quando il lavoro fatto lungo un cammino chiuso è diverso da zero: Attrito… S1 Q S2 P Nel caso (b), l’attrito, compie lavoro sia se va da P a Q lungo il tragitto 1, sia se si va da Q a P lungo il tragitto 2. Quindi la forza d’attrito è una forza non conservativa.

Lavoro su un sistema chiuso w = DEk + DU Se il sistema è privo di attrito, il lavoro esterno modifica il valore dell’energia meccanica: (DEk + DU)≠0, ovvero DEk + DU = w Se il sistema presenta attrito la velocità iniziale del blocco diminuisce così che w = ½ mv2- ½ mv02 + fkd Il lavoro fatto dall’attrito su un sistema chiuso si trasforma in variazione dell’energia termica w = DEmec + DEth v0 v F fk lavoro DEmec DEth

Forze di un campo conservativo Dalla relazione base che definisce il lavoro abbiamo: dw = F(x) ∙ dx E dalla relazione che lega il lavoro con la variazione dell’energia potenziale sappiamo che dw = - dU(x) Quindi una forza si può ricavare dalla derivata del potenziale con il segno cambiato F(x) = - dU(x)/dx Esempi: 1) U(x) = ½ kx2 (potenziale elastico) 2) U(y) = mgy (potenziale gravitazionale) Se il potenziale ha una forma analitica, la forza è individuata calcolando l’opposto della derivata del potenziale 1) F(x) = - d(½ kx2)/dx = - kx 2) F(y) = - d(mgy)/dy = - mg

Curve dell’energia potenziale Se la forma del potenziale non è una funzione semplice possiamo trovare l’espressione della forza facendo uno studio di funzione. Più esattamente la forza avrà la forma della derivata della funzione potenziale cambiata di segno. Ricordando che, l’energia meccanica è Emecc = U(x) + Ek conoscendo l’energia potenziale nel punto 0 cioè U(0) quando la Ek è nulla, potremo conoscere la velocità in ogni punto della curva potenziale. In quali punti l’accelerazione è: positiva, negativa, massima, zero?

Velocità di fuga Una palla lanciata in aria ricade certamente al suolo (convinzione intuitiva). In realtà se la lanciassimo con sufficiente velocità uscirebbe dall’orbita terrestre. Vediamo perché: la forza gravitazionale si può ricavare dall’energia potenziale Supponiamo che all’ ∞ la palla arrivi con velocità nulla, possiamo concludere che l’energia meccanica è nulla e per il principio di conservazione avremo che sulla terra sarà Em = Ek + U = 0 ovvero:

Attrazione Gravitazionale Sfera cava Attrazione Gravitazionale e siccome

Attrazione Gravitazionale Una massa campione che potesse muoversi dal centro della terra (massa sferica uniforme) verso l’esterno attraversando il guscio di massa M, sarebbe soggetta ad un potenziale ed all’azione di una forza come quelle riportate in figura Sfera Uniforme La FG esercitata da una massa sferica ha il suo punto di applicazione nel centro di gravità