(se a = 0 l’equazione bx + c = 0 è di primo grado) Forma dell’equazione Un’equazione di secondo grado si può sempre ricondurre alla sua forma normale con (se a = 0 l’equazione bx + c = 0 è di primo grado) Termine noto Se i coefficienti b e c sono diversi da zero l’equazione si dice completa. Se i coefficienti b o c sono nulli l’equazione si dice incompleta. Un’equazione incompleta può quindi avere la forma se b ≠ 0 e c = 0 in questo caso si dice spuria se b = 0 e c ≠ 0 in questo caso si dice pura se b = 0 e c = 0 in questo caso si dice monomia

Forma dell’equazione ESEMPIO È completa l’equazione dove è a = 4, b = −3, c = 1 È incompleta spuria l’equazione dove è a = 3, b = −5, c = 0 È incompleta pura l’equazione dove è a = 1, b = 0, c = −6 È monomia l’equazione dove è a = 7, b = 0, c = 0

Risoluzione di equazioni incomplete Regole generali per la risoluzione delle equazioni di secondo grado incomplete. Equazione della forma Si raccoglie x a fattore comune: Si applica la legge di annullamento del prodotto: L’equazione spuria ammette sempre due soluzioni di cui una è zero. ESEMPIO

Risoluzione di equazioni incomplete Equazione della forma Si scompone il polinomio, se possibile, e si applica la legge di annullamento del prodotto. Primo metodo Secondo metodo Dopo aver scritto l’equazione nella forma si calcola la radice quadrata dei due membri: l’equazione è impossibile Equazione della forma monomia L’unica soluzione è x = 0.

Risoluzione di equazioni incomplete ESEMPI Primo metodo Secondo metodo Primo metodo Secondo metodo La somma di due quadrati non è scomponibile e non si annulla mai. Equazione impossibile Equazione impossibile

Formula risolutiva L’equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0, nell’ipotesi che sia a ≠ 0 ∧ b2 − 4ac ≥ 0, ammette come soluzioni i numeri reali dati dalle seguenti espressioni ∨ L’espressione Δ = b2 − 4ac è il discriminante dell’equazione e si verifica che: se Δ > 0 l’equazione ammette come soluzioni due numeri reali diversi (si dice che le soluzioni sono reali distinte) se Δ = 0 l’equazione ammette come soluzione due numeri reali uguali (si dice che le soluzioni sono reali coincidenti) se Δ < 0 l’equazione non ammette soluzioni reali.

Risoluzione equazioni complete ESEMPI Risolviamo l’equazione nella quale a = 2; b = 1; c = −6

Risoluzione equazioni complete ESEMPI Risolviamo l’equazione nella quale a = 1; b = 8; c = 16 Risolviamo l’equazione nella quale a = 1; b = −3; c = 8

Formula risolutiva Se il coefficiente b dell’equazione ax2 + bx + c = 0 è un numero pari, si può utilizzare la formula ridotta: ESEMPIO

Equazioni frazionarie Nel caso di equazione frazionaria seguiamo la seguente procedura: determinazione del dominio D; riduzione dell’equazione alla forma intera; applicazione della formula risolutiva se è completa o degli algoritmi specifici se è incompleta; controllo dell’accettabilità delle soluzioni confrontandole con il dominio. ESEMPIO Il dominio dell’equazione è D = R − {0} Scriviamo l’equazione in forma normale Applichiamo la formula ridotta:

Equazioni letterali Quando un’equazione contiene dei parametri è necessario discutere che cosa accade all’insieme delle soluzioni al variare di tali parametri. Procedura risolutiva generale da seguire Bisogna stabilire qual è il dominio dell’equazione, cioè l’insieme dei valori che può assumere l’incognita: il dominio è in genere R se l’equazione è intera, è R esclusi i valori che rendono nulli i denominatori se l’equazione è frazionaria. Per esempio: ha dominio R poiché deve essere x ≠ 2 e x ≠ a, ha dominio R − {2, a}

Equazioni letterali Se l’equazione ha dei denominatori letterali, è necessario che questi non siano nulli. Per esempio nell’equazione si deve porre a ≠ −1 ∧ a ≠ 2 Attenzione a non confondere il dominio di un’equazione con le condizioni che devono essere imposte al parametro: l’equazione precedente è intera e quindi il suo dominio è R, le condizioni sul parametro sono poste affinché l’equazione non perda significato.

si può dividere per a solo se a ≠ 0 Equazioni letterali Si devono applicare correttamente i principi di equivalenza delle equazioni; per esempio si deve essere certi che, quando si dividono entrambi i membri di un’equazione per una stessa espressione letterale, questa non sia nulla: si può dividere per 3 si può dividere per a solo se a ≠ 0 Quando si applica la formula risolutiva, si deve essere certi che il coefficiente a di x2 non sia nullo perché, in caso contrario, la formula non si può applicare. Si può applicare la formula (ridotta) Si può applicare la formula solo se a ≠ 1

Equazioni letterali L’insieme dei ragionamenti che si fanno sul parametro per stabilire quante e quali sono le soluzioni di un’equazione rappresenta la discussione dell’equazione. Uno schema generale su come procedere è il seguente. Caso dell’equazione intera Il dominio è R, non ci sono condizioni sull’incognita; possono però esserci condizioni iniziali sul parametro. Arrivati alla forma normale: si pone il coefficiente di x2 diverso da zero (questa operazione non è necessaria se tale coefficiente è numerico o se la condizione coincide con una di quelle iniziali) e si risolve l’equazione; si verifica che cosa accade quando il parametro assume quel o quei valori che sono stati esclusi al punto precedente. Inoltre, quando il discriminante è letterale e non è un quadrato perfetto, l’equazione ammette soluzioni reali solo se vale la condizione Δ ≥ 0. Esempio: e deve essere 1 − a ≥ 0

Equazioni letterali ESEMPIO Riscriviamo l’equazione in forma normale: L’equazione è incompleta e per risolverla ricaviamo l’espressione di x2: se b ≠ 3 Le soluzioni sono reali se b − 3 > 0, cioè b > 3 se b = 3 l’equazione diventa: che è impossibile

Equazioni letterali Caso dell’equazione frazionaria Il dominio è R, ad esclusione dei valori dell’incognita che annullano i denominatori; possono anche esserci condizioni iniziali sul parametro. Arrivati alla forma normale: si pone il coefficiente di x2 diverso da zero (questa operazione non è necessaria se tale coefficiente è numerico o se la condizione coincide con una di quelle iniziali) e si risolve l’equazione; trovate le soluzioni si procede al confronto con le condizioni imposte dal dominio; si verifica che cosa accade quando il parametro assume quel o quei valori che sono stati esclusi al punto precedente.

Equazioni letterali ESEMPIO L’equazione è frazionaria e deve essere x ≠ 0 quindi D = R − {0} Scriviamola in forma normale: Calcoliamo il discriminante: Il coefficiente di x2 è numerico, troviamo subito le soluzioni: continua

Equazioni letterali Vediamo se le soluzioni trovate sono accettabili: la soluzione −2 appartiene sicuramente al dominio; dobbiamo invece confrontare la soluzione con 0: se Quindi se b = 0 la soluzione non è accettabile e deve essere scartata. se b ≠ 0 Riassumendo: se b = 0

Relazioni tra coefficienti e soluzioni Fra le soluzioni x1 e x2 di un’equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0 e i suoi coefficienti a, b e c sussistono le seguenti relazioni: S: somma delle soluzioni. S P: prodotto delle soluzioni. P

x1 = −1 e x2 = 5 infatti −1 + 5 = 4 e −1  5 = −5 Relazioni tra coefficienti e soluzioni Mediante l’utilizzo di tali relazioni è possibile risolvere i seguenti problemi: Trovare le soluzioni di un’equazione senza applicare la formula risolutiva. Per trovare le soluzioni dell’equazione x2 − 4x − 5 = 0 senza utilizzare la formula risolutiva basta calcolare: Dobbiamo trovare due numeri la cui somma è 4 e il cui prodotto è −5: x1 = −1 e x2 = 5 infatti −1 + 5 = 4 e −1  5 = −5

x2 − sx + p = 0 Relazioni tra coefficienti e soluzioni Individuare due numeri conoscendo la loro somma e il loro prodotto. Per determinare due numeri di cui si conoscono somma s e prodotto p basta risolvere l’equazione x2 − sx + p = 0 Le sue soluzioni sono i numeri richiesti. Se e I due numeri sono e

Relazioni tra coefficienti e soluzioni Scrivere l’equazione che ha per soluzioni due numeri assegnati. Indichiamo con x1 e x2 i due numeri; se s è la loro somma e p è il loro prodotto, essi sono soluzione dell’equazione e se calcoliamo oppure L’equazione ha quindi la forma

Relazioni tra coefficienti e soluzioni Scomposizione del trinomio di secondo grado Se ax2 + bx + c è un trinomio di secondo grado con a ≠ 0 e se x1 e x2 sono le eventuali radici (cioè le soluzioni reali dell’equazione associata ax2 + bx + c = 0), si ha che: se Δ > 0 ax2 + bx + c = a (x − x1)(x − x2) se Δ = 0 ax2 + bx + c = a (x − x1)2 se Δ < 0 ax2 + bx + c è irriducibile ESEMPIO Risolviamo l’equazione associata: Scomponiamo: Si ha quindi che:

Rappresentazione di una parabola La funzione rappresenta una parabola con vertice Per determinare l’ordinata del vertice, una volta trovata l’ascissa, si può sostituire l’ascissa trovata al posto della x nell’equazione della parabola. Per disegnare una parabola, oltre al vertice si cercano alcuni punti del grafico. ESEMPIO L’ascissa del vertice è Per l’ordinata sostituiamo l’ascissa nell’equazione Il vertice ha coordinate Troviamo ora alcuni punti del grafico: (0,−5), (1, −8) e (5, 0).

Rappresentazione di una parabola Gli zeri di una parabola sono le ascisse dei punti di intersezione tra la parabola e l’asse delle ascisse. Quindi sono le soluzioni dell’equazione associata alla parabola. ESEMPIO Per determinare gli zeri della parabola Bisogna risolvere l’equazione Quindi gli zeri sono x = 5 e x = −1 e rappresentano i punti in cui la parabola interseca l’asse delle x.

Disequazioni di secondo grado Per risolvere la disequazione ax2 + bx + c > 0 oppure ax2 + bx + c < 0 con a > 0: consideriamo la parabola y = ax2 + bx + c associata al trinomio al primo membro troviamo le sue intersezioni con l’asse x risolvendo l’equazione ax2 + bx + c = 0; si possono presentare i seguenti casi a seconda del valore del discriminante: Δ > 0: ci sono due intersezioni x1 e x2 con l’asse x ed il trinomio è positivo per x < x1 o x > x2 negativo per x1 < x < x2 Δ = 0: c’è una sola intersezione x1 con l’asse delle x ed il trinomio è: sempre positivo tranne per x = x1 dove si annulla Δ < 0: non ci sono intersezioni con l’asse x ed il trinomio è: sempre positivo scegliamo l’intervallo delle soluzioni a seconda del verso della disequazione: nella disequazione ax2 + bx + c > 0 ricerchiamo gli intervalli di positività nella disequazione ax2 + bx + c < 0 ricerchiamo gli intervalli di negatività.

1. Metodo di risoluzione ESEMPI Calcoliamo il discriminante e, se è positivo o nullo, troviamo le radici dell’equazione associata: Scegliamo l’intervallo delle soluzioni (stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è positivo): Disegniamo la parabola corrispondente in relazione all’asse x:

2. Metodo di risoluzione Calcoliamo il discriminante: Poiché Δ < 0, la parabola non interseca l’asse delle ascisse. II trinomio è sempre positivo e quindi, poiché stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è negativo, la disequazione non è mai verificata:

3. Metodo di risoluzione Cambiamo i segni e il verso: Calcoliamo il discriminante: La parabola interseca l’asse x in un solo punto (corrispondente al vertice) dove assume valore zero ed è positiva in tutti gli altri punti. Poiché stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è positivo (abbiamo cambiato segni e verso), la disequazione è verificata

Disequazioni frazionarie Ricordiamo che in una disequazione frazionaria non si devono mai eliminare i denominatori dei quali non si conosce il segno. Una volta scritta la disequazione nella forma oppure studiamo i segni dei fattori che si trovano al numeratore e al denominatore costruiamo la tabella dei segni deduciamo il segno finale della frazione in base alle regole sul prodotto dei segni individuiamo l’insieme delle soluzioni.

Disequazioni frazionarie ESEMPIO deve essere x ≠ 0 ∧ x ≠ 2 Il dominio della disequazione è R − {0, 2}. Studiamo il segno dei polinomi al numeratore e al denominatore: Poiché Δ < 0, la disequazione è verificata L’equazione associata ha soluzioni x = 0 ∨ x = 2, quindi la disequazione è verificata se x < 0 ∨ x > 2 continua

E Disequazioni frazionarie Costruiamo la tabella dei segni: 2 R + − 2 R + − segno di x2 + 3 segno di x2 − 2x frazione S E L’insieme delle soluzioni è quindi l’intervallo 0 < x < 2

S1 S2 Sistemi di disequazioni Un sistema di disequazioni è verificato nell’insieme intersezione delle soluzioni di ciascuna disequazione; conviene quindi: risolvere ciascuna disequazione costruire la tabella delle soluzioni in modo da mettere in evidenza le eventuali intersezioni. ESEMPIO Risolviamo la prima disequazione: S1 Risolviamo la seconda disequazione: S2 −1 8 R S1 S2 S Tabella delle soluzioni: Il sistema è verificato se 0 ≤ x ≤ 8

Equazioni e disequazioni con i moduli Un’equazione o una disequazione con i moduli si risolve distinguendo il caso in cui l’espressione nel modulo è positiva o nulla da quando è negativa. ESEMPIO Il primo sistema è impossibile mentre il secondo ha per soluzione Quindi

Sistemi non lineari Un sistema è non lineare se almeno una delle sue equazioni è di grado superiore al primo. In particolare: in un sistema di secondo grado tutte le equazioni sono di primo grado tranne una che è di secondo; in un sistema di terzo grado tutte le equazioni sono di primo grado tranne una che è di terzo; Per risolvere un sistema non lineare si applicano i principi di sostituzione e di riduzione. Principio di sostituzione. Se in un sistema si sostituisce ad una incognita la sua espressione ricavata da un’altra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. Principio di riduzione. Se in un sistema si sommano membro a membro le sue equazioni (tutte o solo alcune) e si sostituisce l’equazione ottenuta ad una di esse, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

Sistemi non lineari ESEMPIO Il sistema è di secondo grado e rappresenta l’intersezione tra una parabola e una retta. Se nel sistema è presente un’equazione di primo grado, conviene ricavare l’espressione di una delle incognite da tale equazione e sostituire poi nell’altra. Risolvendo la prima equazione si ottiene x = 2 e x = -1 Quindi le soluzioni del sistema sono La parabola e la retta si intersecano nei punti A (2, 5) e B (-1, 2)