PICCOLA GUIDA PER FUNZIONI REALI A DUE VARIABILI Roberto Ghiselli Ricci per il corso di Metodi Quantitativi per l’Economia Università di Ferrara Ferrara 2014

Simbologia e terminologia Una funzione f :D→ R si dice a due variabili di input se il suo dominio D è un sottoinsieme del piano cartesiano e la denoteremo come z = f(x,y) . Le variabili x,y sono dette indipendenti, mentre la z dipendente. Ferrara 2014

Dominio di una funzione Per determinare il dominio D delle funzioni a due variabili che noi studieremo, tenete conto che: D coincide con tutto il piano se la f è una funzione razionale intera D coincide con tutto il piano esclusi i punti in cui il denominatore vale zero se la f è una funzione razionale fratta Ferrara 2014

Dominio di una funzione D coincide con i punti in cui l’argomento è non negativo se la f è una funzione irrazionale (radice quadrata o di indice pari) positivo se la f è una funzione logaritmica Ferrara 2014

Esempi Se f(x,y)=2x-3y+8 allora D coincide con tutto il piano Se allora D coincide con tutto il piano esclusi i punti della circonferenza di centro l’origine e raggio 3. Ferrara 2014

Grafico di una funzione Il grafico di una funzione è l’insieme di tutti e soli i punti dello spazio cartesiano di coordinate (x,y,z) tali che z = f(x,y) Il grafico di una funzione rappresenta una superficie nello spazio cartesiano. Ferrara 2014

Esempi di grafici Ferrara 2014

Esempi di grafici Ferrara 2014

Esempi di grafici Ferrara 2014

Disequazioni in due variabili Per determinare il dominio D di una funzione z=f(x,y), occorre in genere risolvere una disequazione a due variabili Supponiamo di rappresentare una disequazione a due variabili nella forma g(x,y)>0, ove g sia un polinomio in x e y Ferrara 2014

Disequazioni in due variabili L’equazione g(x,y)=0 rappresenta una curva C del piano cartesiano. Nelle situazioni semplici che noi affronteremo, tale curva dividerà il piano cartesiano in due parti ben distinte e la disequazione g(x,y)>0 sarà soddisfatta da tutti i punti di una sola di queste due parti Ferrara 2014

Disequazioni in due variabili Se g(x,y)=ax+by+c, con a,b0, C è una retta e la soluzione è data dai punti che stanno in uno solo dei due semipiani generati dalla retta. Per individuare il semipiano giusto, basta scegliersi un punto a caso in uno dei due semipiani che non stia sulla retta e verificare se soddisfa la disequazione g(x,y)>0 Ferrara 2014

Disequazioni in due variabili Questa strategia funziona anche per le funzioni g(x,y) polinomiali che noi studieremo: prima individuate il grafico della curva C, poi provate a calcolare la g(x,y) in un punto P scelto a caso all’interno di una delle due parti di piano generate da g e controllate se g(P)>0 Ferrara 2014

Esempi 2x-3y+6>0 Ferrara 2014

Esempi Ferrara 2014

Esempi Ferrara 2014

Sistemi di disequazioni in due variabili L’insieme delle soluzioni di un sistema è dato dalle soluzioni comuni a tutte le disequazioni del sistema Prima risolvete le singole disequazioni e poi rappresentate le soluzioni sul piano: l’intersezione è la soluzione del sistema Ferrara 2014

Esercizi di verifica Ferrara 2014

Esercizi di verifica Determinate il dominio delle seguenti funzioni: Ferrara 2014

Esercizi di verifica Ferrara 2014