Studio di funzione

Come fare a disegnare un grafico di una funzione? In generale, per tracciare il grafico di una funzione y = f(x) possiamo procedere esaminando i seguenti punti. 1. Il dominio della funzione. 2. Eventuali simmetrie e periodicità: se la funzione è pari, il grafico è simmetrico rispetto all’asse y; se è dispari, è simmetrico rispetto all’origine; se è periodica di periodo T, possiamo limitarci a studiare la funzione in un solo intervallo di ampiezza T.

Come fare a disegnare un grafico di una funzione? 3. Le coordinate degli eventuali punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi cartesiani. 4. Il segno della funzione: stabiliamo gli intervalli in cui essa è positiva, ponendo f(x) > 0 e trovando, di conseguenza, anche dove è negativa. 5. Il comportamento della funzione agli estremi del dominio: calcoliamo i relativi limiti e cerchiamo poi gli eventuali asintoti della funzione. Classifichiamo inoltre gli eventuali punti di discontinuità, specificando se sono di prima, di seconda o di terza specie.

Come fare a disegnare un grafico di una funzione? 6. La derivata prima e il suo dominio. Dallo studio del segno della derivata prima determiniamo gli intervalli in cui la funzione è crescente ( f’(x) > 0) e, di conseguenza, quelli in cui è decrescente ( f’(x) < 0); cerchiamo gli eventuali punti di massimo o di minimo relativo e di flesso orizzontale e i punti di non derivabilità per f(x) ( flessi verticali, cuspidi e punti angolosi). 7. La derivata seconda e il suo dominio. Dallo studio del segno della derivata seconda determiniamo gli intervalli in cui il grafico volge la concavità verso l’alto( f’’(x) > 0) o verso il basso ( f’’(x) < 0). Cerchiamo inoltre i punti di flesso a tangente obliqua ed eventualmente la tangente inflessionale.

LE FUNZIONI ALGEBRICHE RAZIONALI FRATTE

GRAFICI DEDUCIBILI: DAL GRAFICO DELLA FUNZIONE A QUELLO DELLA SUA DERIVATA

DAL GRAFICO DELLA DERIVATA A QUELLO DELLA SUA FUNZIONE PRIMITIVA

Risoluzione delle equazioni parametriche

LA RISOLUZIONE APPROSSIMATADI UN’EQUAZIONE Quando è possibile trovare con un metodo algebrico le soluzioni di un’equazione, si dice anche che esiste un metodo di risoluzione esatta dell’equazione. ci sono equazioni algebriche di grado superiore al quarto per le quali non esiste un procedimento di risoluzione esatta. Ogni equazione a una incognita può essere scritta nella forma: f(x) = 0. Trovare le radici, ossia le soluzioni, dell’equazione equivale a ricercare gli zeri della funzione y = f(x), ossia le intersezioni del grafico con l’asse delle ascisse

I metodi di risoluzione numerica di un’equazione si basano sulla costruzione di una successione di numeri reali che converga alla soluzione esatta. I termini della successione sono valori approssimati della soluzione e, mediante iterazioni successive, possiamo ottenere un valore approssimato vicino quanto vogliamo alla soluzione. La ricerca delle soluzioni approssimate è composta da due fasi: 1. la separazione delle radici, ossia la determinazione di intervalli che contengono soltanto una radice; 2. il calcolo di un valore approssimato con la precisione voluta.

Per separare una radice dell’equazione f(x) = 0 dobbiamo essere certi che esista almeno un intervallo [a; b] in cui la f abbia soltanto uno zero. A questo scopo richiamiamo alcune proprietà delle funzioni continue. Il teorema di esistenza degli zeri: questo teorema assicura l’esistenza di almeno una soluzione dell’equazione f(x)= 0 nell’intervallo [a; b], ma non ne garantisce l’unicità.

Il metodo di bisezione

Il metodo di bisezione