Definizione di logaritmo Si dice logaritmo in base a di un numero b l'esponente c che si deve dare ad a per avere b. In simboli si scrive c = loga b Questo significa che le due scritture ac = b e c = loga b si equivalgono. a è la base del logaritmo, b è l’argomento. ESEMPIO log5 125 = 3 infatti 53 = 125 Osservazioni il numero a, per il significato che gli è stato attribuito, deve essere positivo e diverso da 1; anche il numero b essendo il risultato di una potenza di base positiva, deve essere positivo; il numero c, invece, rappresentando l’esponente da dare ad a per avere b, può essere sia positivo, che negativo, che nullo; nella definizione di logaritmo che abbiamo dato sono coinvolte tre variabili: la base a, l’argomento b, l’esponente c; è evidente che, conoscendo due qualsiasi di esse, è sempre possibile ricavare la terza se sono rispettate le condizioni indicate ai precedenti punti.

Definizione di logaritmo Proprietà fondamentali Dalla definizione, supponendo a > 0, con a ≠ 1 e b > 0, discendono anche immediatamente le seguenti proprietà fondamentali: loga a = 1 cioè 1 è l’esponente che si deve attribuire ad a per avere a; loga 1 = 0 cioè 0 è l’esponente che si deve attribuire ad a per avere 1; cioè loga b, vale a dire c, è l’esponente che si deve attribuire ad a per avere b. ESEMPI

La funzione logaritmica e il suo grafico La funzione y = logax (con a > 0 ∧ a ≠ 1) si chiama funzione logaritmica ed è definita per x > 0. Il suo grafico si può ottenere da quello della funzione esponenziale per simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante 0 < a < 1 a > 1

La funzione logaritmica e il suo grafico Caratteristiche della funzione logaritmica y = loga x : è definita per x > 0 qualunque sia la base a > 0 (con a ≠ 1); tutte le curve logaritmiche passano per il punto di coordinate (1; 0); quando 0 < a < 1 la funzione è: decrescente; assume valori positivi se 0 < x < 1; assume valori negativi se x > 1; quando a > 1 la funzione è: crescente; assume valori negativi se 0 < x < 1; assume valori positivi se x >1. 0 < a < 1 a > 1

La funzione logaritmica e il suo grafico Simmetria rispetto all’asse y L’equazione della curva simmetrica di y = logax è y = loga (−x) In verde il grafico della funzione trasformata L’equazione della curva simmetrica di y = logax è y = − loga x Simmetria rispetto all’asse x

La funzione logaritmica e il suo grafico Traslazione di vettore L’equazione della curva che corrisponde a y = logax è y − k = − loga (x − h) ESEMPIO

La funzione logaritmica e il suo grafico Dilatazione di rapporti h e k L’equazione della curva che corrisponde a y = loga x è ESEMPIO La curva di equazione è la corrispondente della nella dilatazione di rapporti 1 lungo l’asse x e 3 lungo l’asse y (lascia inalterate le ascisse e triplica le ordinate).

Le proprietà dei logaritmi Nell’enunciare le seguenti proprietà, supponiamo che le basi e gli argomenti dei logaritmi che siano tutti positivi. Proprietà 1. Il logaritmo del prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori. In simboli: ESEMPI

Le proprietà dei logaritmi Proprietà 2. Il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza fra il logaritmo del dividendo e quello del divisore. In simboli: Caso particolare: ESEMPI

Le proprietà dei logaritmi Proprietà 3. Il logaritmo della potenza di un numero positivo è uguale al prodotto fra l’esponente della potenza ed il logaritmo del numero. In simboli: ESEMPI

Gli errori da evitare Le proprietà dei logaritmi non è uguale a

I sistemi dei logaritmi L’insieme dei logaritmi in una data base a di ciascun numero reale positivo si chiama sistema di logaritmi in base a. Per passare da un sistema di logaritmi ad un altro usiamo la seguente formula: ESEMPIO Trasformiamo

I logaritmi decimali e i logaritmi naturali I sistemi di logaritmi che si usano più comunemente sono quelli in base 10, logaritmi decimali, e quelli in base e, logaritmi naturali o neperiani. Una valutazione numerica di un logaritmo decimale o naturale è facilmente ottenibile mediante la calcolatrice scientifica.

Le equazioni logaritmiche Un’equazione è logaritmica se l’incognita compare come argomento di uno o più logaritmi. ESEMPIO Il metodo di risoluzione di un’equazione logaritmica dipende dalla forma di quest’ultima. Possiamo però indicare una procedura che contenga indicazioni di carattere generale: si determina il dominio dell’equazione imponendo che l’argomento di ciascun logaritmo sia positivo (le disequazioni ottenute vanno messe a sistema); nel caso in cui i logaritmi abbiano basi diverse, si devono ricondurre tutti alla stessa base mediante la formula del cambiamento di base; si applicano le proprietà dei logaritmi in modo da ottenere un solo logaritmo al primo membro e uno solo logaritmo al secondo; si uguagliano gli argomenti dei due logaritmi.

Le equazioni logaritmiche Risolviamo l’equazione: 1. 2. 3. 4. non accettabile

Le disequazioni logaritmiche Una disequazione logaritmica si dice elementare se si può ricondurre alla forma Individuato il dominio della disequazione si possono distinguere due casi: 1° Caso: 0 < a < 1 2 ° Caso: a > 1

Le equazioni logaritmiche Riassumendo: Per risolvere la disequazione si deve: individuare il dominio: scrivere la disequazione di verso opposto fra gli argomenti dei due logaritmi se 0 < a < 1: scrivere la disequazione dello stesso verso fra gli argomenti dei due logaritmi se a > 1:

Le equazioni logaritmiche ESEMPI Individuiamo il dominio Risolviamo la disequazione Confrontiamo con il dominio: