Filtri Digitali I filtri digitali sono utilizzati per due scopi: separazione di segnali che sono stati combinati (signal separation); ripristino della forma originaria di segnali che sono stati distorti in qualche modo (signal restoration). Ogni filtro digitale lineare è caratterizzato dalla propria risposta impulsiva (filter kernel), e può essere implementato tramite: convoluzione: il segnale in ingresso è convoluto con il filter kernel; ricorsione: oltre ai campioni del segnale in ingresso, sono utilizzati i valori di uscita già calcolati. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Digitali L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Digitali I filtri digitali implementabili mediante convoluzione devono necessariamente avere lunghezza limitata. Sono, quindi, identificati in letteratura con il termine filtri FIR (Finite Impulse Response). I filtri digitali implementabili solo mediante ricorsione presentano risposta impulsiva non limitata. Sono, quindi, identificati in letteratura con il termine filtri IIR (Infinite Impulse Response). L’informazione contenuta nella risposta impulsiva è equivalente a quella associata alla risposta al gradino e a quella caratterizzante la risposta in frequenza. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Digitali nel Dominio della Frequenza La progettazione di filtri digitali nel dominio della frequenza nasce dalla necessità di eliminare, dal segnale in ingresso, alcune componenti spettrali ed, al contempo, di lasciarne inalterate delle altre. Si distinguono in: passa-basso, passa-alto, passa-banda e reietta-banda. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Digitali: Spectral Inversion La risposta impulsiva del filtro passa-alto in c) è ottenuta da quella in a) (passa-basso) invertendo semplicemente il segno di tutti i campioni e sommando 1 al campione posta al centro di simmetria. La tecnica di spectral inversion trasforma bande passanti in bande di reiezione, e viceversa. In pratica, trasforma un filtro da passa-basso a passa-alto, da passa-alto in passa-basso, da passa-banda in reietta-banda e da reietta-banda in passa-banda. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Digitali: Spectral Reversal La risposta impulsiva del filtro passa-alto in c) è ottenuta da quella in a) (passa-basso) invertendo il segno dei campioni in maniera alternata. Questa operazione equivale a moltiplicare il filter kernel per una sinusoide di frequenza 0.5. È possibile solo la trasformazione di filtri passa-basso in passa-alto, e viceversa. Filtri passa-banda e reietta-banda si ottengono combinando opportunamente una risposta impulsiva passa-basso ed una passa-alto. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Classificazione dei Filtri Digitali I filtri digitali si differenziano in base sia al loro uso sia alla loro implementazione. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri a Media Mobile È il più comune nell’ambito del DSP, principalmente perché la sua comprensione ed utilizzo sono estremamente semplici. Non simmetrico rispetto al valore di uscita Simmetrico rispetto al valore di uscita Implementazione ricorsiva L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri a Media Mobile Presenta prestazioni soddisfacenti (dominio del tempo) in molte applicazioni. Risulta ottimale per un problema molto comune: ridurre l’influenza del rumore (bianco) sovrapposto ad un segnale di misura preservando la massima ripidità nella risposta al gradino. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri a Media Mobile Il filter kernel è costituito da un impulso rettangolare di ampiezza pari a 1/M. Risposta in frequenza: f va da 0 a 0.5; per f=0 si ha H(f)=1. È un filtro passa-basso poco efficiente: lento roll-off e scarsa attenuazione in banda oscura. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri a Media Mobile Multiple-pass Prevedono il passaggio del segnale in ingresso attraverso un filtro a media mobile due o più volte. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri a Sinc Finestrato Sono particolarmente indicati per lavorare nel dominio della frequenza, a scapito di scarse prestazioni nel dominio del tempo, che includono eccessivo ripple ed overshoot nella risposta al gradino. Risposta di tipo sinc: fc indica la frequenza di cut-off. Convolvere un segnale con tale risposta impulsiva significa eseguire un filtraggio passa-basso ideale con frequenza di cut-off pari ad fc. Grande!! Ma……. la lunghezza di h(n) è non limitata. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri a Sinc Finestrato La Hamming presenta un roll-off più rapido (20%) della Blackman, che, però, ha una migliore attenuazione in banda oscura e minore ripple in banda passante (circa un ordine di grandezza) L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri a Sinc Finestrato Per la progettazione occorre stabilire il valore di due parametri: lunghezza del filter kernel, M, e frequenza di cut-off, fc. BW: banda di transizione, 1%-99%. La fc è misurata al semivalore. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri a Sinc Finestrato Una volta scelto M ed fc, si procede allo shift temporale ed alla finestratura. Si distinguono tre componenti: la funzione Sinc, lo shift di M/2 e la finestra Blackman. fc è normalizzato alla frequenza di campionamento, valore compreso tra 0 e 0.5, M deve essere pari con filter kernel di lunghezza M+1, e K deve essere tale da fornire guadagno unitario alla continua. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri a Sinc Finestrato Si possono ottenere prestazioni molto spinte in frequenza convolvendo un filtro con se stesso, o allungando M. Doppia convoluzione M pari a 32.001 L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Custom L’approccio a Sinc Finestrato è utile per la definizione anche di filtri con una data risposta in frequenza (custom). La risposta impulsiva e quella in frequenza di un filtro a Sinc Finestrato sono definite tramite equazioni, e la conversione dell’una nell’altra è governata dalle relazioni caratterizzanti la teoria della trasformata di Fourier. Per i filtri custom, sia la risposta impulsiva sia la risposta in frequenza sono array di numeri, e la conversione dell’una nell’altra può avvenire solo tramite opportuni programmi implementati via software (quali quelli, ad esempio, che realizzano la FFT). L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Custom PROCEDURA OPERATIVA Definire un array di ampiezze (magnitude array) ed uno di fasi (phase array), della stessa lunghezza. Convertire le informazioni precedenti in coordinate rettangolari (parte reale e parte immaginaria). Applicare la FFT inversa (si passa nel dominio del tempo). Shiftare, troncare e finestrare il segnale ottenuto per definire la risposta impulsiva del filtro. Ritornare nel dominio della frequenza (zero-padding e FFT) per verificare la rispondenza tra la risposta ottenuta e quella desiderata. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Dominio della frequenza Filtri Custom Dominio della frequenza Dominio del tempo L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Custom Aumentare la lunghezza del kernel significa migliorare la rispondenza tra risposta in frequenza ottenuta e quella desiderata. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Ottimi Un problema di filtraggio molto frequente: estrarre una forma d’onda dal rumore in cui è immersa. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Ottimi PRINCIPALI OTTIMIZZAZIONI Il filtro a media mobile è ottimo nel senso che fornisce la risposta al gradino più ripida per una data riduzione del rumore. Il kernel del filtro adattato (matched filter) si ottiene dal segnale desiderato previo ribaltamento sinistra/destra. Il filtro è ottimo nel senso che fornisce in uscita un picco la cui ampiezza supera il livello di rumore più di quanto potrebbe garantire un qualsiasi altro filtro lineare. Il guadagno del filtro di Wiener in funzione della frequenza è: Tale filtro è ottimo nel senso che massimizza il rapporto segnale rumore (sull’intera lunghezza del segnale, non su punti individuali). L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Maggiore distanza picco-livello di rumore. Filtri Ottimi Maggiore distanza picco-livello di rumore. La più ripida risposta al gradino per un dato livello di rumore. Rapporto segnale/rumore ottimo. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Ricorsivi Consentono di ottenere risposte impulsive di lunghezza non limitata (IIR), senza la necessità di convoluzioni molto onerose. Presentano tempi di esecuzione molto bassi, ma prestazioni e flessibilità più ridotte di quelle garantite da altri filtri digitali. La risposta impulsiva è, tipicamente, un’oscillazione sinusoidale che si smorza esponenzialmente. Tipica equazione di ricorsione: a e b sono i cosiddetti coefficienti di ricorsione. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Ricorsivi a Singolo Polo (passa-basso) L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Ricorsivi a Singolo Polo (passa-alto) L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Ricorsivi a Singolo Polo Valutazione dei Coefficienti Passa-basso: Passa-alto: La risposta dei filtri è controllata dal parametro x, un valore compreso tra 0 ed 1. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Ricorsivi a Singolo Polo Relazione tra x e la costante di tempo d: d rappresenta il numero di campioni necessari alla risposta al gradino per raggiungere il 36,8% del suo valore finale. Ad esempio, ad un valore di x di 0.86 corrisponde una costante di tempo, d, di 6.63 campioni. Relazione tra x e la banda a –3dB, fc: fc è compresa tra 0 e 0.5, normalizzata alla frequenza di campionamento. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Ricorsivi a Singolo Polo L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Ricorsivi a Banda Stretta Passa-banda Reietta-banda dove: L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Ricorsivi a Banda Stretta L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Risposta in Fase Filtri a fase zero presentano una risposta impulsiva simmetrica intorno allo zero. Filtri a fase lineare presentano una risposta impulsiva ancora simmetrica, ma il centro di simmetria è diverso da zero. Filtri a fase non lineare presentano una risposta impulsiva non simmetrica (tipico caso dei filtri ricorsivi). L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Ricorsivi: reverse filtering L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Chebyshev Sono idonei per applicazioni nel dominio della frequenza. Non garantiscono le stesse prestazioni dei filtri a sinc finestrato, ma, grazie all’implementazione ricorsiva, presentano tempi di elaborazione molto ridotti. La progettazione è regolata da relazioni analitiche che utilizzano la trasformata-z. E’ possibile ottenere un rapido roll-off consentendo ripple in banda-passante e/o banda oscura. In assenza di ripple, il filtro prende il nome di filtro di Butterworth. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Chebyshev Si distinguono tre tipi di filtri Chebyshev. Tipo 1: è consentito ripple solo in banda-passante. Tipo 2: è consentito ripple solo in banda-oscura. Ellittici: consentono ripple sia in banda-passante sia in banda-oscura. Parametri necessari per la progettazione di filtri Chebyshev.. Tipo di risposta: passa-basso o passa-alto. Frequenza di cut-off (-3dB). Percentuale di ripple. Numero di poli. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Chebyshev Filtri con frequenze di cut-off, fc, prossime a 0 o 0.5 presentano un roll-off più rapido di quello che possono offrire filtri con fc al centro del range di frequenze. Ad esempio, un filtro a due poli con fc =0.05 ha circa lo stesso roll-off di un filtro a quattro poli con fc=0.25. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura

Filtri Chebyshev (Stabilità) Si consideri un filtro passa-basso, a 6 poli, ripple 0.5% ed fc=0.01. I valori dei coefficienti b sono molto maggiori del classico rumore di arrotondamento (round-off noise) nella rappresentazione a singola precisione, ma non si può dire lo stesso per i coefficienti a. Un possibile artificio per superare i problemi legati al rumore di arrotondamento è quello di implementare il filtro a stadi, ciascuno dei quali sia caratterizzato da un numero ridotto di poli. L.Angrisani: Tecniche Avanzate per l’Elaborazione Numerica di Segnali di Misura