Le equazioni di II°Grado Lezioni di Matematica Emanuele Paone

Un’ equazione di II°grado Un equazione di II° grado è un’equazione che può essere scritta nella seguente forma detta forma normale o canonica: a 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄=𝟎, 𝐜𝐨𝐧 𝐚 ≠𝟎 Un’equazione di secondo grado si definisce: Incompleta spuria quando manca il termine noto: 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥=0 Incompleta pura quando manca il coefficiente dell’incognita di I grado : 𝑎 𝑥 2 +𝑐=0 Completa quando sono presenti tutti i termini, ovvero: 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0

Risoluzione delle equazioni: RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE DI II GRADO INCOMPLETA SPURIA. Si dice un equazione incompleta spuria se nella forma normale otteniamo: 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥=0 Risolviamo l’equazione 3 𝑥 2 +2𝑥=0 Raccogliamo x 𝑥∙ 3𝑥+2 =0 Per la legge di annullamento del prodotto otteniamo x= 0 e 3x+2=0 Otteniamo due soluzioni x= 0 e 3x= -2 x=- 3 2

RISOLUZIONE DI UN EQUAZIONE DI II GRADO INCOMPLETA PURA. Si dice un equazione incompleta pura se nella forma normale otteniamo: 𝑎 𝑥 2 +𝑐=0 Risolviamo l’equazione: 4 𝑥 2 −1=0 isoliamo la x ; 𝑥 2 = 1 4 𝑥 2 = ± − 𝑐 𝑎 → 𝑥=± 1 4 →𝑥= ± 1 2 Se per esempio avremo avuto: 𝑥 2 =−9 L’equazione sarebbe stata impossibile perché non esiste un numero reale che elevato al quadrato ci dia -9, in questo caso si parlerebbe dei numeri complessi o immaginari (che vedremo prossimamente)

Approfondimenti Come detto precedentemente: risolvendo le equazioni di secondo grado, si presenta il problema dell' estrazione di radice quadrata di un numero negativo. Nell' insieme dei numeri reali tale operazione non è possibile e, di conseguenza, non sarebbe possibile risolvere un problema avente come modello un' equazione di secondo grado con discriminante negativo. Nel XVI secolo un matematico italiano, Raffaele Bombelli (1526-1573) propose di risolvere il problema estendendo il concetto di numero complesso mediante l' introduzione di un nuovo simbolo rappresentato dalla lettera " i ‘’ avente valore di −1 .

RISOLUZIONE DI UN EQUAZIONE DI II GRADO COMPLETA: Un equazione completa e l’equazione che ha la forma di 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 per poter risolvere questo tipo di equazione va applicata la seguente formula : 𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Risolviamo l’equazione: 𝑥 2 +7𝑥+10=0 𝑥 1 = −𝑏+ 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 = −7+ 49−40 2 = −7+3 2 = -2 𝑥 2 = −𝑏− 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 = −7− 49−40 2 = −7−3 2 = -5

Approfondimenti Nella formula 𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝒃 𝟐 - 4ac è detto Discriminante di un’equazione di II grado. Esso viene indicato con il simbolo ∆. Esaminiamo i tre casi: Se ∆ >0 => 𝑥 1 ≠ 𝑥 2 , le soluzioni sono reali e distinte. Se ∆= 0 => 𝑥 1 = 𝑥 2 , le soluzioni sono reali e coincidenti. (Soluzioni doppie) Se ∆<0 l’equazione è impossibile in ℝ (𝑆oluzioni complesse ℂ). Attenzione i quadrati di binomi hanno ∆= 0

Formula ridotta delle equazioni di II grado Se, nella forma normale, b è divisibile per 2, è possibile utilizzare la formula ridotta che è la seguente: 𝑥= − 𝑏 2 ± 𝑏 2 2 −𝑎𝑐 𝑎 Ad esempio abbiamo 3 𝑥 2 −10𝑥+7=0 b essendo divisibile per 2 si può applicare la formula ridotta 𝑥= 10 2 ± 10 2 2 −3∙7 3 = 5± 25−21 3 = 𝑥 1 = 5−2 3 = 3 3 =1 𝑥 2 = 5+2 3 = 7 3

Relazioni tra soluzioni e coefficienti SOMMA DELLE SOLUZIONI Da tale dimostrazione sappiamo che la somma è uguale a - 𝒃 𝒂 PRODOTTO DELLE SOLUZIONI Da tale dimostrazione sappiamo che il prodotto è uguale a 𝒄 𝒂 Si può applicare solo se il ∆≥0

DALLE SOLUZIONI ALL’EQUAZIONE Dimostrazione: 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 Raccogliamo a 𝑎∙ 𝑎 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 𝑎 =0 Otteniamo 𝑥 2 −𝑠𝑥+𝑝=0 Si nota che c/a è il prodotto Possiamo notare che b/a è la proprio la somma L’esercizio si svolge facilmente: basta calcolarsi con le due soluzioni la somma e il prodotto. Una volta calcolati si vanno a sostituire i valori trovati nella formula e si ottiene l’equazione. Questa è proprio la formula che si utilizza per ottenere dalle due soluzioni l’equazione

TROVARE UNA RADICE CONOSCENDO L’ ALTRA Una delle soluzioni dell’equazione 5 𝑥 2 +9𝑥−2=0 è uguale a 1 5 La somma delle radici è - 9 5 𝑥 1 + 𝑥 2 =- 9 5 1 5 + 𝑥 2 =− 9 5 𝑥 2 =− 9 5 - 1 5 = - 10 5 = -2 La seconda soluzione è -2 1 5

Si può applicare solo se il ∆≥0 Regola di Cartesio Quando c’è una permanenza (ovvero se da un coefficiente all’altro rimane lo stesso segno) si ha soluzioni negative Quando c’è una variazione (ovvero se da un coefficiente all’altro rimane segno diverso) si ha soluzioni positive Se la permanenza precede la variazione la soluzione negativa è più grande in valore assoluto 𝑥 1 > 𝑥 2 Se la variazione precede la permanenza la soluzione è più grande della negativa in valore assoluto 𝑥 2 > 𝑥 1 a b c s=-b/a p=c/a x1 x2 + -

Approfondimenti CARTESIO E LA GEOMETRIE’ La regola di Cartesio fu scoperta da René Descartes(1596-1650) e faceva parte del libro La Geometriè. Quest'opera discusse la rappresentazione di un punto di un piano mediante una coppia di numeri reali e la rappresentazione di curva per mezzo di un'equazione. In tal modo i problemi geometrici possono venire tradotti in problemi algebrici e risolti con le regole dell'algebra. In effetti La Géométrie ebbe grande influenza sullo sviluppo del sistema di coordinate cartesiane. L’opera era suddivisa in 3 libri: I. I problemi che si possono costruire solo con cerchi e linee rette;  fornisce dettagliate istruzioni sul modo di risolvere equazioni di secondo grado per via geometrica II. Sulla natura delle linee curve;  contiene i risultati più importanti e più vicini alla  geometria analitica. Descartes espone la scoperta che le equazioni indeterminate in due incognite corrispondono a luoghi geometrici. III. La costruzione dei problemi solidi o più che solidi; si occupa della soluzione delle equazioni di grado superiore al secondo mediante intersezioni di curve e qui venne scritta la Regola di Cartesio.

Scomposizione di un trinomio di II grado Si può applicare solo se il ∆≥0 Dimostrazione 3 𝑥 2 −4𝑥+1 lo poniamo uguale a 0 in modo da trovare le due soluzioni 3 𝑥 2 −4𝑥+1=0 𝑥= 4±√4 6 = 𝑥 1 = 4+2 6 =1 𝑥 2 = 4−2 6 = 2 6 = 1 3 Scomponiamo 3∙ 𝑥−1 𝑥− 1 3 =(𝑥−1)(3𝑥−1) Nella seguente equazione il ∆= 16-12=4, il polinomio si può scomporre

Equazioni parametriche Un’equazione di secondo grado si dice parametrica se, oltre all’ incognita, vi compare un’altra lettera. Tale lettera prende il nome di “parametro”. Nelle equazioni parametriche occorre determinare, se possibile, il valore o i valori da attribuire al parametro per far sì che le radici verifichino determinate condizioni. Ad esempio 𝑘 𝑥 2 −2∙ 𝑘+3 𝑥+𝑘−1=0 a b c Le soluzioni sono reali e si pone il ∆≥0 ovvero 𝑏 2 −4𝑎𝑐≥0 La somma delle soluzioni è 3 si pone - 𝑏 𝑎 = 3

La lezione è finita… …alla prossima.