Strumenti per il calcolo numerico Matlab/Octave Process synchronization Operating System Strumenti per il calcolo numerico Matlab/Octave Marco D. Santambrogio – marco.santambrogio@polimi.it Ver. aggiornata al 2 Dicembre 2016 © 2005 William Fornaciari

Compitini Se non per il 7/12@3am

Compitini Se non per il 7/12@3am Arriveranno per il 19/12

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Obiettivi Benvenuti nel fantastico mondo di Matlab/Octave!

Matlab Cos’è Matlab: usato nei successivi corsi di calcolo numerico strumento (e corrispondente linguaggio) per elaborazioni di calcolo numerico NB: sta per MATrix LABoratory centrato sulle matrici (ma include generiche funzionalità matematiche) usato nei successivi corsi di calcolo numerico MATLAB è uno strumento commerciale distribuito, su licenza NON gratuita, da “The MathWorks Inc” Student edition disponibile quando si è al Politecnico Esiste un altro strumento di nome Octave identico nella concezione, molto simile per gli aspetti operativi disponibile gratuitamente, vedi www.gnu.org/software/octave/

Caratteristiche del linguaggio di Matlab/Octave (1) Linguaggio di alto livello simile a linguaggi di programmazione C, Java, Pascal possiede comandi sintetici per effettuare complesse elaborazioni numeriche Linguaggio interpretato, comandi e istruzioni NON tradotti in codice eseguibile dall’hardware MA manipolati da un programma (l’interprete) che li analizza ed esegue azioni da essi descritte Linguaggio dinamico NON occorre dichiarare le variabili risultano definite dal punto in cui vengono introdotte e vengono incluse in una struttura detta tabella dei simboli il tipo delle variabili è dinamico a una variabile si possono assegnare, successivamente, valori di tipo diverso (scalari, stringhe, vettori, matrici...)

Caratteristiche del linguaggio di Matlab/Octave (2) In Matlab/Octave tutto è un array ci sono casi particolari significativi di array array 1x1 sono gli scalari array con una sola riga o colonna sono i vettori array con due dimensioni sono le matrici array con >2 dimensioni: matrici multidimensionali

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Screenshot interfaccia MATLAB Mostra le variabili nel workspace Contenuto della directory corrente Finestra dei comandi Storia dei comandi Lancia i tool di MATLAB ed altro… - 12 - 12

Screenshot dell’interfaccia OCTAVE Linea di comando dell’interprete

GUI di Octave Contenuto della directory corrente Finestra dei comandi Storia dei comandi

Comandi in Matlab Matlab accetta comandi che l’utente scrive di seguito al “prompt”: >> es. >> a = 10; Assegna alla variabile a il valore 10 Esempio di alcuni comandi: help richiama la guida in linea diary può essere utilizzato per salvare la sessione di lavoro who, whos e workspace mostrano l’elenco delle variabili definite save permette di salvare in un file le variabili definite. Load le ricarica clear cancella tutte le variabili

Esempi Input Output Commento 1234/6 ans = 205.67 calcolo di un valore scalare a=1234/6 a = 205.67 assegnamento alla variabile a del risultato di 1234/6 eps eps = 2.2204e-16 variabile predefinita: la più piccola differenza rappresentabile tra due numeri 2/5 ans = 0.40000 divisione “destra” 5/0 ans = Inf divisione per zero 5^2 ans = 25 potenza real(4+5j) ans = 4 real è una funzione predefinita che restituisce la parte reale di un numero complesso 1+1==2 1+1~=2 ans = 1 ans = 0 1 = vero, 0 = falso, “==” uguale, “~=” diverso (codice ASCII di ‘~’: 126)

Esempi con gli array a=[1 2; 3, 4] a = 1 2 3 4 1 2 3 4 a ora è una matrice 2x2, “;” separa le righe; virgola opzionalmente separa elementi (ma basta lo spazio) a restituisce il valore della variabile a x=[-1.3 sqrt(3) (1+2)/5] x = -1.30000 1.73205 0.60000 elementi possono essere espressioni x(5)=abs(x(1)) -1.30000 1.73205 0.60000 0.00000 1.30000 Notazione con () per accedere a elementi di una matrice; abs valore assoluto; NB: vettore x esteso per includere nuovo elemento; elementi non assegnati sono nulli b=a’ b = 1 3 2 4 matrice trasposta (scambiate righe e colonne) c=a+b c = 2 5 5 8 somma di matrici, elemento per elemento (sottrazione con “-” simile) x=[-1 0 2]; y=x' y = -1 2 il “;” blocca l’output, ma non impedisce la valutazione - 17 -

Altre operazioni con gli array [] array vuoto, convenzionalmente rappresenta valore nullo x=1:5 x = 1 2 3 4 5 operatore “:” per produrre vettori di numeri y=0:pi/4:pi y = 0.00000 0.78540 1.57080 2.35619 3.14159 operatore “:” con passo di incremento e valori non interi (pi è pigreco) v=10:-4:-3 v = 10 6 2 -2 valori negativi del passo e degli estremi sin(y) ans = 0.00000 0.70711 1.00000 0.70711 0.00000 funzioni predefinite si applicano ai vettori x=[0:pi/100:pi/2]'; [x sin(x)] 0.00000 0.00000 0.03142 0.03141 ...... 1.53938 0.99951 1.57080 1.00000 produce la tabella di sin(x), 0xp/2

Diagrammi a due dimensioni Diagramma = insieme di coppie che rappresentano coordinate di punti Si usano vettori per contenere sequenze ordinate dei valori di ognuna delle coordinate plot(x,y) disegna digramma cartesiano dei punti che hanno valori delle ascisse in x, delle ordinate in y e li congiunge con una linea, per dare continuità al grafico funzioni xlabel per visualizzare nome asse ascisse, ylabel per ordinate, title per il titolo >> x = -10:0.1:10; >> y=x.^3; >> plot(x,y); >> xlabel('ascisse'); >> ylabel('ordinate'); >> title('cubica');

Diagramma in GUI-Octave

Un esempio di cinematica Due treni partono da due stazioni adiacenti, che distano 15km, viaggiando a velocità di 50m/s e 30m/s in direzione opposta Costruire un grafico che mostra il loro movimento, fino a quando il più veloce raggiunge la destinazione Il più veloce impiega 15000/50=300s DistanzaTreno1=50·t; DistranzaTreno2=15000-30·t; (per mostrare la provenienza dalla direzione opposta)

Soluzione t=0:1:300; p1=50 * t; p2=15000 – 30 * t; plot(t,p1); hold on %adesso è possibile inserire nuove curve sul grafico plot(t,p2) hold off

Risultati ottenuti con l’esempio

Istruzioni e ‘;’ – Non come in C Le istruzioni possono essere seguite da ‘;’ ma non è obbligatorio Il ‘;’ blocca la visualizzazione del valore delle variabili coinvolte nell’istruzione Maggiore velocità di esecuzione Regola di buona programmazione Inserire sempre il ‘;’, a meno che non si voglia ispezionare il valore di una variabile a scopo di debugging

Commenti Il simbolo di commento può essere messo in qualsiasi punto della linea. MATLAB ignorerà tutto quello che viene scritto alla destra del simbolo %. Per esempio: >>% This is a comment. >>x = 2+3 % So is this. x = 5

Array e variabili L’unità fondamentale di dati in MATLAB è l’array Una variabile in MATLAB è una regione di memoria che contiene un array Ha un nome definito dall’utente Per i nomi valgono regole simili a quelle del C C è un linguaggio a tipizzazione forte Le variabili vanno dichiarate prima dell’uso MATLAB è un linguaggio a tipizzazione debole Le variabili vengono create assegnando ad esse dei valori Il loro tipo è determinato dal tipo dei valori assegnati >> x = [1 2 3]; >> whos x; Name Size Bytes Class Attributes x 1x3 24 double

Tipo char Una variabile di tipo char contiene uno scalare o un array di valori a 16 bit (8 bit in Octave), ciascuno dei quali rappresenta un carattere Es: commento = ‘questa e` una stringa’; (NB: stringhe racchiuse tra apici singoli) whos commento; Name Size Bytes Class Attributes commento 1x21 42 char Nome della variabile Array di 1x21 caratteri

Alcuni esempi…

Una piccola nota “italiana”

Tipo double Una variabile di tipo double contiene uno scalare o un array di numeri espressi in 64 bit con doppia precisione Questi numeri possono essere Reali, es var1 = -10.7; Immaginari, es var2 = 4i; var3 = 4j; Complessi, es var3 = 10.3 + 10i; Es: x = [-1.3 3.1+5.3j 0] Le parti reali e immaginarie possono essere positive e negative nell’intervallo di valori [10-308, 10308]

Creazione e inizializzazione di una variabile Le variabili sono create al momento dell’inizializzazione Modi di inizializzazione Assegnamento Lettura dati da tastiera Lettura da file

Assegnamento variabile = espressione Esempi Risultato a = [0 7+1]; b = [a(2) 5 a]; Risultato a = [0 8] b = [8 5 0 8] contenuto di a secondo elemento di a

Assegnamento: NOTA Non tutti gli elementi devono essere specificati alla creazione… Ricordiamo: pippo(2) è il secondo elemento di pippo Cosa sarà elemento_matrice_2D(6,3)? Ricordiamo: le variabili sono create al momento dell’inizializzazione

Quindi, “unendo” i ricordiamo…

Assegnamento (2) L’array può essere esteso successivamente … d = [2 5]; d(4)=2; d = [2 5 0 2] Operatore di trasposizione g = d’; 2 5 2 Creare un vettore enumerando i valori di un insieme: uso dell’operatore ‘:’ x = 1:2:10; x = [1 3 5 7 9] n = 1:3; n = [1 2 3] m = [n’ n’] 1 1 2 3

Tabella delle funzioni predefinite Funzione Significato zeros (n) Genera una matrice nxn di zeri zeros (m,n) Genera una matrice mxn di zeri zeros (size(arr)) Genera una matrice di zeri della stessa dimensione di arr ones(n) Genera una matrice nxn di uno ones(m,n) Genera una matrice mxn di uno ones(size(arr)) Genera una matrice di uno della stessa dimensione di arr eye(n) Genera la matrice identità nxn eye(m,n) Genera la matrice identità mxn length(arr) Ritorna la dimensione più lunga del vettore size(arr) Ritorna un vettore [r c] con il numero r di righe e c di colonne della matrice; se arr ha più dimensioni ritorna array con numero elementi per ogni dimensione v(end) m(end, end) ultimo elemento di vettore v; ultimo elemento dell’ultima riga di matrice m; la costante end, come indice in un array, denota il più alto valore possibile dell’indice

Funzioni predefinite Esempi a = zeros(2); b = zeros(2,3); c = [1 2; 3 4]; d = zeros(size(c)); 0 0 0 0 0 0 0

sottoarray: applicazione a vettori Si denota un sottoinsieme di un array usando vettori per valori degli indici >> v=[6 8 4 2 4 5 1 3] v = 6 8 4 2 4 5 1 3 >> v([1 4 7]) ans = 6 2 1 >> v(2:2:6) ans = 8 2 5 >> v(3:end-2) ans = 4 2 4 5 >> v(v) ans = 5 3 2 8 2 4 6 4 >> primo, quarto settimo elemento 2:2:6 è il vettore [2, 4, 6]: indica secondo, quarto, sesto elemento dal terzo al terz’ultimo elemento i valori di v usati come indice

sottoarray: applicazione a matrici 6 5 4 3 2 1 0 11 12 0 0 0 >> m([1 4], [2 3]) ans = 8 7 11 12 >> m(1:2:5, 1:end) ans = 9 8 7 >>>> m(1:2:5, :) >> m(2:2:4, :) = [-1 -2 -3; -4 -5 -6]; >> m m = 9 8 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 >> tutti gli elementi sulle righe 1 e 4 e sulle colonne 2 e 3 tutti gli elementi delle righe 1, 3 e 5 notazione ‘:’ abbreviata per 1:end, cioè tutti i valori di quell’indice uso della notazione dei sottoarray per individuare elementi oggetto di assegnamento

Nota sui sottoarray Perchè: temp(2:2:4, :)… e non temp(2:4, :)? Perchè temp(2:4, :) sono le righe 2, 3 e 4!!!

Uso di uno scalare per assegnare valori a un array Esempio m(1:4, 1:3) = 3 Il modo con cui uno scalare viene assegnato a un array dipende dalla forma dell’array che viene specificata a sinistra dell’assegnamento Esempio 2 m(1:2, 1:2) = 4 3 3 3 4 4 3 3 3 3

Uso dell’array vuoto [] per cancellare elementi di un array Un array vuoto [] assegnato a un elemento di un vettore non crea un ‘buco’ ma cancella un elemento e ricompatta il vettore Un array vuoto [] non assegnabile a singoli elementi di matrici (non si possono “creare buchi”) Assegnabile a intere righe o colonne di matrici, che vengono cancellate (ricompattando la matrice) >> m=magic(4) m = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 >> m(3,4)=[] ??? Subscripted assignment dimension mismatch. >> m(3,:)=[] >> [r,c]=size(m) r = 3 c = 4 >> m(:,2)=[] m = 16 3 13 5 10 8 4 15 1 r = 3 c = 3 >> a=[1 2 3 4 5]; >> length(a) ans = 5 >> a(3) ans = 3 >> a(3)=[] a = 1 2 4 5 ans = 4

Array: memorizzazione Matrici memorizzate per colonna: colonna 1, poi colonna 2, 3, etc. ogni colonna memorizzata per indici di riga crescenti Array memorizzati in forma lineare nella RAM variando più velocemente i primi indici più lentamente quelli successivi NB: opposto a quanto avviene in C ... 1 3 5 2 4 6 1 2 3 4 5 6

Array: forma linearizzata Si può accedere a un array a più dimensioni come se ne avesse una sola Usando un unico indice si segue l’ordine della memorizzazione Da NON usare nella programmazione ma aiuta a capire certi costrutti....

Variabili predefinite Matlab definisce un insieme di variabili predefinite (es, pi) Queste variabili spesso rappresentano importanti costanti della matematica (pi è pigreco, i e j sono sqrt(-1) ) Attenzione! Il valore di queste variabili può essere modificato, per esempio circ1=2*pi*10; pi = 3; circ2=2*pi*10; Il valore di circ2 non sarà più la circonferenza di un cerchio E` fortemente sconsigliato modificare il valore di una variabile predefinita ( evitare di usare variabili i e j come contatori)

Variabili predefinite più comuni Variabile Scopo pi contiene 15 cifre significative di  i, j contiene il valore i ( ) inf (o Inf) rappresentazione dell’infinito (ottenuto di solito come risultato di una divisione per 0) nan Not-A-Number è il risultato di una operazione matematica non definita, es 0/0 clock contiene la data e l’orario corrente. E` un vettore di sei elementi (anno, mese, giorno, ora, minuti, secondi) date contiene la data corrente sotto forma di stringa eps epsilon: la più piccola differenza rappresentabile tra due numeri ans Variabile speciale usata per immagazzinare risultati non assegnati ad altre variabili

Operazioni con scalari e array Elevamento a potenza Operazioni per gli scalari: + - * / ^ Operazioni per gli array Array operation: eseguita sugli elementi corrispondenti degli array coinvolti (devono avere lo stesso numero di righe e colonne); si indica aggiungendo un punto prima dell’operatore aritmetico a= b= b= a .* b= Matrix operation: segue le regole dell’algebra lineare (esempio: prodotto righe per colonne) a= b= b= a*b= 1 2 3 4 2 3 5 7 2 6 15 28 1 2 3 4 2 3 5 7 12 17 26 37

Cosa succede con il .

Altre funzioni Funzione ceil(x) floor(x) fix(x) max(x) min(x) mean(x) Scopo ceil(x) approssima x all’intero immediatamente maggiore floor(x) approssima x all’intero immediatamente minore fix(x) approssima x all’intero più vicino verso lo zero max(x) se x è un vettore, ritorna il valore massimo in x e, opzionalmente, la collocazione di questo valore in x; se x è matrice, ritorna il vettore dei massimi delle sue colonne min(x) se x è un vettore, ritorna il valore minimo nel vettore x e, opzionalmente, la collocazione di questo valore nel vettore; se x è matrice, ritorna il vettore dei minimi delle sue colonne mean(x) se x è un vettore ritorna uno scalare uguale alla media dei valori di x; se x è una matrice, ritorna il vettore contentente le medie dei vettori colonna di x; mod(m,n) mod(m,n) è m - q.*n dove q = floor(m ./ n) se n ~= 0 round(x) approssima x all’intero più vicino rand(N) genera una matrice di NxN numeri casuali

funzioni min (e anche max) applicate a vettori e matrici >> b = [4 7 2 6 5] b = 4 7 2 6 5 >> min(b) ans = 2 >> [x y]=min(b) x = 2 y = 3 >> (con un solo risultato) dà il valore del minimo con due risultati dà anche la posizione del minimo >> a = [24 28 21; 32 25 27; 30 33 31; 22 29 26] a = 24 28 21 32 25 27 30 33 31 22 29 26 >> min(a) ans = 22 25 21 >> [x y]=min(a) x = 22 25 21 y = 4 2 1 >> per una matrice dà vettore dei minimi nelle colonne per una matrice, con due risultati dà due vettori dei valori minimi nelle colonne e della loro posizione (riga)

Operazioni tipiche per gli array Operazione Sintassi Matlab Commenti Array addition a + b Array e matrix addition sono identiche Array subtraction a – b Array e matrix subtraction sono identiche Array multiplication a .* b Ciascun elemento del risultato è pari al prodotto degli elementi corrispondenti nei due operandi Matrix multiplication a * b Prodotto di matrici Array right division a ./ b risultato(i,j)=a(i,j)/b(i,j) Array left division a .\ b risultato(i,j)=b(i,j)/a(i,j) Matrix right division a / b a*inversa(b) Matrix left division a \ b inversa(a)*b Array exponentiation a .^ b risultato(i,j)=a(i,j)^b(i,j)

Matrix left division Serve per risolvere sistemi di equazioni lineari a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3 può essere espresso come Ax=B con A = B= x = di conseguenza, x = A-1B=inversa(A)*b=A\B a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 b1 b2 b3 x1 x2 x3

Fonti per lo studio + Credits Introduzione alla programmazione in MATLAB, A.Campi, E.Di Nitto, D.Loiacono, A.Morzenti, P.Spoletini, Ed.Esculapio Capitolo 1 Credits Prof. A. Morzenti