Avviare la presentazione col tasto “Invio” Lezione IX Avviare la presentazione col tasto “Invio”

Faremo un riepilogo degli argomenti trattati fino adesso, e lo faremo andando a ritroso, cioè partendo dagli argomenti più recenti Riepilogo I

Un caso esemplificativo di tutto quello che abbiamo imparato può prendere spunto da esperimenti del genere: Una biglia in moto m1 colpisce una biglia ferma m2 : l’urto può essere: Elastico: P = costante; K = costante  due incognite (v1 e v2), due equazioni (P e K) Anelastico: P = costante; K = diminuisce due incognite (v1 e v2), una equazione (P ) ? Completamente anelastico: P = costante; K = diminuisce; v1 = v2 una incognita una equazione (P )

Potremmo complicare il problema… per esempio nel caso elastico potremmo immaginare una cosa del genere: E saremmo in grado di calcolare la deformazione x della molla! ΔK = −ΔU ΔU = ½ kx2

h Oppure, sempre nel caso elastico potremmo immaginare una cosa del genere: h E saremmo in grado di calcolare l’altezza h raggiunta dalla biglia bersaglio! ΔK = −ΔU ΔU = mgh

? Se invece l’urto è anelastico, se ci viene indicata come dato del problema l’altezza a cui arriva la biglia bersaglio , o di quanto comprime la molla, allora potremo calcolare quanta energia potenziale ΔU acquisisce, ricavare l’energia cinetica acquisita con l’urto dalla biglia bersaglio dalla relazione: ΔKm2 = −ΔU potremmo paragonare ΔKm2 all’energia cinetica inziale del sistema (cioè quella della biglia incidente), calcolare di quanto è diminuita l’energia cinetica del sistema e cioè l’entità della dissipazione termica

Se poi l’urto è completamente anelastico, poiché l’incognita è una sola e cioè la velocità finale delle due biglie attaccate, con la sola conservazione della quantità di moto siamo in grado di determinare questa velocità e quindi l’energia cinetica delle due biglie attaccate: K = ½ (m1 + m2) v2 e siamo pertanto di nuovo In grado di determinare la compressione della molla o l’altezza raggiunta sul piano inclinato

Ma le cose potrebbero essere un po’ più complicate: per esempio il piano inclinato su cui si arrampica la biglia bersaglio potrebbe essere dotato di attrito! In questo caso, il lavoro esercitato dalla biglia nella sua risalita, sarà in parte trasformato in energia potenziale ΔU = mgh ma in parte sarà dissipato in lavoro fatto contro la forza d’attrito ΔL = F d Quindi se avevamo calcolato che l’energia cinetica acquisita dalla biglia bersaglio nell’urto elastico era ΔK dovremo tenere in conto che quando la biglia si ferma sul piano inclinato, ΔK si è trasformata in mgh + F d

Conservazione della quantità di moto e urti p = mv La quantità di moto di un sistema isolato si conserva La variazione di quantità di moto è pari all’impulso ricevuto dall’esterno J = F (t) dt  = Δp F(t) t2 ∫ t1 Δp t1 t2 t Δt

L’applicazione della sola conservazione della quantità di moto negli urti non ci permette in generale di prevedere l’esito dell’urto, a meno che questo non sia completamente anelastico (una sola velocità finale in quanto i corpi rimangono attaccati).

m1 m2 velocità = u1 velocita = u2 velocità = v1 velocità = v2 Prima dell’urto (velocità u) velocità = u1 velocita = u2 Dopo l’urto (velocità v) velocità = v1 velocità = v2

In questo caso, noti i dati iniziali m1, u1 ,m2 e u2 applicando la sola conservazione della quantità di moto possiamo scrivere una sola equazione avendo però due incognite v1 e v2 m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2 cioè in base alla sola conservazione della quantità di moto l’esito dell’urto non è univocamente determinato

Applicando però congiuntamente anche la conservazione dell’energia cinetica (urti elastici) si ha una soluzione univoca per le due velocità

m1 ≥ m2 Una biglia incidente su una biglia bersaglio ferma: si ferma solo se ha rigorosamente la stessa massa della biglia bersaglio prosegue alla sua stessa velocità solo se è MOLTO più massiva della biglia bersaglio se ha una massa intermedia manterrà una certa velocità inferiore a quella iniziale

m1 ≤ m2 Una biglia incidente su una biglia bersaglio ferma: si ferma solo se ha la stessa massa della biglia bersaglio Rimbalza indietro con la sua stessa velocità cambiata di segno solo se è MOLTO più leggera della biglia bersaglio se ha una massa intermedia avrà un lieve rimbalzo ma non sarà del tutto ferma

Energia potenziale

Poiché come abbiamo visto il lavoro fatto/ricevuto da una forza conservativa su/da di una particella dipende soltanto dal punto di partenza e da punto di arrivo. E poiché nel caso di forze conservative il lavoro fatto dalla/sulla particella sulla/dalla forza (a scapito o ad arricchimento della sua energia cinetica) può essere interamente restituito o riscambiato, ne consegue che una tale forza può dipendere solo dalla posizione della particella, e non per esempio dal tempo, o dalla velocità della particella. Per esempio se la forza dipendesse dal tempo, adottando fra i due punti A e B un percorso che ci fa impiegare più tempo, il lavoro risulterebbe differente rispetto a quello risultante per un percorso che ci fa impiegare meno tempo. Il che abbiamo visto che non è il caso.

Consideriamo il caso di un percorso rettilineo di una massa m Consideriamo il caso di un percorso rettilineo di una massa m. Il lavoro fatto dalla risultante F delle forze applicate alla massa in questione è uguale alla variazione di energia cinetica della massa m L = Fdx = ½ mv2 − ½ mv02 x ∫ x0 In queste condizioni stabiliremo che ogni variazione dell’energia di movimento, l’energia cinetica, lungo il percorso, è associata ad una variazione di segno opposto dell’energia di posizione, l’energia potenziale. Cioè abbiamo sintetizzato questa proprietà delle forze conservative di restituire energia In funzione della posizione associando alla posizione una energia potenziale.

∫ ∫ ΔK = −ΔU ΔK = F(x)dx x ΔU = − F(x)dx x0 x x0 Rappresentando con U l’energia potenziale, questo enunciato risulta espresso dalla formula ΔK = −ΔU In base al teorema lavoro-energia che abbiamo appena riscritto, la variazione di energia cinetica vale: ΔK = F(x)dx da cui ne segue che: ΔU = − F(x)dx Questa quantità è funzione soltanto della posizione x ∫ x0 x ∫ x0

In sostanza, abbiamo ricavato la Legge di Conservazione dell’Energia Meccanica (cinetica + potenziale): E = U + K di cui avevamo intuito fin dalla prima lezione l’esistenza. Energia potenziale U Energia cinetica K Energia Meccanica E

∫ ∫ I due esempi classici di sistemi conservativi unidimensionali Due esempi classici di forze conservative sono la forza di gravità e la forza di richiamo di una molla Il caso della forza di gravità Nel caso della forza di gravità, il moto unidimensionale è verticale. Assumendo l’asse positivo delle y diretto verso l’alto, la forza di gravità risulta diretta secondo il verso negativo delle y. Si ha quindi: F = −mg = costante (che rappresenta un caso particolare di una forza dipendente dalla posizione). Per l’energia potenziale potremo scrivere pertanto: U(y) – U(0) = (−mg) dy = mgy ∫ ∫ = Fdy y y Adottando un energia potenziale nulla per y = 0, si ha semplicemente: U (y) = m g y

Il fatto che l’energia potenziale di una massa m ad una certa altezza dal suolo cresca con l’altezza è certamente coerente con la nostra esperienza quotidiana: Maggiore è l’altezza h dalla quale lasciamo cadere una massa m, maggiore è la velocità (e quindi l’energia cinetica) con cui arriva al suolo.

∫ ∫ F = −k x dove k è la costante elastica della molla Il caso della forza di una molla Consideriamo la forza esercitata da una molla elastica su di una massa m che si muove su di una superficie orizzontale (priva di attrito), e consideriamo il punto x0 = 0 come posizione di equilibrio della molla. La forza F esercitata sulla massa m quando la deformazione è x vale F = −k x dove k è la costante elastica della molla L’energia potenziale è data dalla formula: U(x) − U(0) = (−kx) dx Se scegliamo U(0) = 0 , l’energia potenziale, come pure la forza, è nulla nella posizione di riposo della molla e risulta: U(x) − U(0) = (−kx) dx = ½ kx2 (metodo grafico delle aree) ∫ x ∫ x

L’energia totale di un sistema, come risulta dalla somma Una importante affermazione, che fino adesso non è stata mai contraddetta dai risultati sperimentali è la seguente: L’energia totale di un sistema, come risulta dalla somma dell’energia cinetica, dell’energia potenziale, dell’energia termica e di altre forme di energia, non cambia

Alcune considerazioni: Abbiamo iniziato l’approccio alla conservazione dell’energia parlando della conservazione dell’energia meccanica K+U. Poi abbiamo scoperto che l’energia meccanica si conserva solo nel caso di forze conservative. Per esempio nel caso di forze d’attrito, l’energia meccanica non si conserva ma viene dissipata in energia termica Adesso abbiamo affermato che l’energia totale di un sistema, come risulta dalla somma dell’energia cinetica, dell’energia potenziale, dell’energia termica e di altre forme di energia, non cambia

Di fatto è l’esperienza che ci conferma la veridicità del teorema. Sembra quasi che si voglia rincorre assolutamente un teorema (la conservazione dell’energia, appunto) invocando eventuali altre forme di energia, laddove apparentemente l’energia non si sarebbe conservata. Di fatto è l’esperienza che ci conferma la veridicità del teorema.