Come si misurano gli angoli Angolo è la parte di piano delimitata da due semirette a e b aventi l’origine V in comune. Le due semirette sono i lati dell’angolo, il punto V ne è invece il vertice. L’angolo che non contiene il prolungamento dei lati viene detto convesso, quello che li contiene viene detto concavo. Ricordiamo poi che: l’angolo nullo è l’angolo i cui lati sono coincidenti e ha come punti solo quelli della semiretta dei lati angolo nullo a b angolo giro a b l’angolo giro è l’angolo i cui lati sono coincidenti e che contiene tutti i punti del piano

Come si misurano gli angoli l’angolo piatto è l’angolo i cui lati sono uno il prolungamento dell’altro Angolo piatto a b l’angolo retto è l’angolo che si ottiene tracciando la bisettrice dell’angolo piatto angolo retto a b Un angolo poi si dice acuto se è minore di un angolo retto, si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto ma minore di un angolo piatto.

Come si misurano gli angoli Gli angoli si possono misurare in gradi oppure radianti. Misurare in gradi Il grado sessagesimale viene definito come la trecentosessantesima parte dell’angolo giro: (1° = 1/360 di angolo giro) Il grado non ha multipli, ma ha sottomultipli: il primo, corrispondente a 1/60 di grado, che ha come simbolo un apice; il secondo, corrispondente a 1/60 di primo, cioè a 1/3600 di grado, che ha come simbolo un doppio apice. ESEMPI Esprimiamo in gradi, primi e secondi l’angolo 32,48° 32,48° = 32° + 0,48° = 32° + 0,48°  60 = 32° 28,8’ = 32° + 28’ + 0,8 60 = 32°28’48” Esprimiamo in gradi, nella forma decimale, l’angolo 15°32’40” 15°32’40” = 15° + 32  (1/60)° + 40  (1/3600)° ≈ 15,544 (al millesimo di grado) La conversione dai gradi alla forma decimale e quella contraria possono essere svolte con la calcolatrice scientifica.

Come si misurano gli angoli Dato un angolo α di vertice C e la circonferenza avente centro nel vertice dell’angolo e raggio r, si assume come misura di α il rapporto tra la lunghezza l dell’arco AB sotteso da α e il raggio r : Tale ampiezza non dipende dal raggio della circonferenza scelta. L’unità di questo nuovo sistema di misurazione si chiama radiante. Un radiante è l'ampiezza di un angolo al quale corrisponde un arco AB la cui lunghezza l è uguale al raggio r. ESEMPIO Quindi un angolo piatto misura π e un angolo retto π/2

Come si misurano gli angoli In generale per passare da un sistema di misura ad un altro, si usa la proporzione Dove x : misura dell’angolo in radianti y : misura dell’angolo in gradi ESEMPI Troviamo la misura in radianti di un angolo di 32°15’ Troviamo la misura in gradi di un angolo di

Le funzioni goniometriche fondamentali Considerata la circonferenza goniometrica (avente centro nell’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali e raggio unitario ed un angolo α avente vertice nell’origine e un lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse, indicato con P il punto di intersezione con la circonferenza, chiamiamo: seno dell’angolo α, e scriviamo sin α, la funzione che ad α associa l’ordinata del punto P: sin α = yp coseno dell’angolo α, e scriviamo cos α, la funzione che ad α associa l’ascissa del punto P: cos α = xp

Le funzioni goniometriche fondamentali Qualunque sia l’ampiezza dell’angolo α, sia sin α che cos α non possono assumere valori inferiori a -1 o valori superiori a 1; valgono quindi le limitazioni: Le funzioni seno e cose di α sono definite per qualunque angolo α e hanno quindi come dominio R; il codominio è l’intervallo cha va da -1 a 1 Entrambe le funzioni sono periodiche di periodo 2π, cioè:

Le funzioni goniometriche fondamentali Riprendiamo la circonferenza goniometrica e tracciamo la retta t ad essa tangente nel punto A(1,0); dato un angolo orientato α, sia Q il punto in cui il secondo lato di α interseca la retta t. Chiamiamo tangente dell’angolo α, e scriviamo tan α, la funzione che ad α associa l’ordinata del punto Q: tan α = yQ Il dominio della funzione tangente è l’insieme R ad esclusione dei punti il codominio è l’insieme R La funzione è periodica di periodo π, cioè:

Le funzioni goniometriche fondamentali I grafici di y = sin x, y = cos x e y = tan x Poiché le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2π, costruiremo il grafico nell’intervallo (0, 2π) dell’asse x e lo riporteremo rispettando la periodicità.

Le funzioni goniometriche fondamentali La funzione tangente è periodica di periodo π e conviene scegliere come intervallo base per la sua rappresentazione, quello che va da Il grafico che si ottiene va ripetuto in ogni intervallo successivo o precedente di ampiezza π.

Le cofunzioni Accanto alle funzioni goniometriche già viste se ne usano altre che prendono il nome di cofunzioni. Si chiama cosecante di un angolo α, e si scrive cosecα, il reciproco del seno dello stesso angolo, supposto sinα ≠ 0. In simboli Il dominio della funzione cosecante è l’insieme dei valori tali che In base alle limitazioni di sin α abbiamo che:

Le cofunzioni Si chiama secante di un angolo α, e si scrive secα, il reciproco del coseno dello stesso angolo, supposto cosα ≠ 0. In simboli Il dominio della funzione cosecante è l’insieme dei valori tali che In base alle limitazioni di cos α abbiamo che:

Le cofunzioni Si chiama cotangente di un angolo α, e si scrive cotanα, il reciproco della tangente dello stesso angolo. Si pone cioè, supposto sinα ≠ 0, Il dominio è l’insieme dei valori reali tali che La cotangente di è l’ascissa del punto R Il codominio coincide con l’insieme dei numeri reali

Le relazioni fondamentali Due relazioni fondamentali legano tra loro le funzioni goniometriche: 1^ relazione fondamentale della goniometria per qualunque angolo α 2^ relazione fondamentale della goniometria Dalle due relazioni ricaviamo che e che Il segno viene scelto a seconda delle informazioni che si hanno su α.

I valori delle funzioni goniometriche fondamentali Dalle relazioni tra i lati dei triangoli rettangoli con gli angoli di 30° e 60° o di 45° si ottengono i valori delle funzioni goniometriche fondamentali per angoli particolari.

Rappresentiamo il grafico di . I grafici derivati I grafici derivati Dai grafici delle funzioni fondamentali possiamo dedurre, mediante l’applicazione di opportune isometrie, quelli di altre funzioni. Rappresentiamo il grafico di . O x y Dopo aver disegnato la funzione di base (in nero nella figura), operiamo le seguenti trasformazioni: traslazione di vettore sul grafico precedente per ottenere (grafico in rosso). dilatazione di fattore 2 lungo l’asse delle ordinate per avere ; in pratica basta raddoppiare le ordinate del grafico base (grafico in blu)

Gli angoli associati Gli angoli i cui valori delle funzioni goniometriche sono “complessivamente” uguali a quelli di un angolo α vengono detti angoli associati. Ecco il primo gruppo di angoli associati

Gli angoli associati Ecco il secondo gruppo di angoli associati

Le formule Le formule di addizione e sottrazione Le formule di addizione e sottrazione hanno lo scopo di determinare le espressioni del seno, del coseno e della tangente della somma e della differenza di due angoli in funzione delle corrispondenti funzioni goniometriche dei due angoli.

Le formule ESEMPI Calcoliamo il valore dell’espressione:

Le formule Le formule di duplicazione Le formule di duplicazione degli angoli esprimono il valore delle funzioni goniometriche dell’angolo 2α in funzione di quelle dell’angolo α. Tali formule si deducono da quelle di addizione, ponendo α = β

Le formule ESEMPI Calcoliamo sapendo che Calcoliamo sapendo che e che α è un angolo ottuso.

Le formule Le formule di bisezione Le formule di bisezione esprimono le funzioni goniometriche dell’angolo in funzione di quelle di α

Le formule ESEMPI

Le formule Le altre formule Altre formule utili sono le seguenti: le formule parametriche, che esprimono il seno, il coseno e la tangente di un angolo α funzione di nell’ipotesi che sia le formule di prostaferesi e

Le formule le formule di Werner

Le formule ESEMPIO Semplificano la seguente espressione: Formule di sottrazione Formula di duplicazione Quindi