MODELLI ALTERNATIVI PER IL TRATTAMENTO DELLA TRANSIZIONE Sono possibili due modelli. Nel primo viene considerata la coesistenza di regioni in elica e regioni in gomitolo, ma è possibile avere una sola regione elicoidale per catena. In un trattamento più preciso (secondo modello) non ci sono limiti al numero di regioni elicoidali che possono coesistere sulla stessa catena.

FUNZIONI DI RIPARTIZIONE PER EQUILIBRI CONFORMAZIONALI DI CATENE LINEARI SEMPLICI. Una funzione di ripartizione q di una molecola è definita come: dove i è l'energia dell'i-esimo livello di energia e gi è il numero di stati che hanno energia i. Diverse combinazioni di livelli di energia rotazionale, vibrazionale ed elettronica portano alla stessa energia totale i; il numero totale di queste combinazioni sarà incorporato nel fattore di degenerazione gi.

la funzione di ripartizione è la somma su tutti i microstati della molecola, avendo assegnato un fattore di Boltzmann a ciascuno di questi stati. Consideriamo adesso un'ipotetica macromolecola che consiste di quattro elementi A, ciascuno dei quali può esistere in uno dei due stati conformazionali A+ o A-: p.es. A+A-A-A- A-A+A+A- A-A-A-A+ la catena ha un carattere direzionale: la configurazione A+A-A-A- è diversa da A-A-A-A+

Non conosciamo i dettagli degli stati rotazionali, vibrazionali ed elettronici della molecola. Assumiamo che i termini che coinvolgono lo stato A-A-A-A- contribuiscano col termine qo alla funzione di ripartizione totale q. Assumiamo che i termini dello stato A+A-A-A- contribuiscano col termine q1 alla funzione q. Assumiamo che tutte le conformazioni che prevedono i elementi di tipo A+ contribuiscano con la stessa quantità qi alla funzione q.

Poiché vi sono 4 stati della catena che prevedono un solo elemento A+, il contributo totale di questi stati è 4q1. Vi sono 6 modi diversi di disporre due elementi A+ nella catena e quindi il contributo totale di questi stati sarà 6q2; similmente i quattro stati che prevedono 3 conformeri A+ contribuiscono col termine 4q3 e l’unico stato che prevede 4 elementi di tipo A+ contribuisce per q4.

la funzione di ripartizione è data da: q = qo + 4q1 + 6q2 + 4q3 + q4 = qo (1 + 4k1 + 6k2 + 4k3 + k4) dove ki = qi/qo ki sono le costanti di equilibrio microscopiche per il processo che fa passare la molecola dallo stato A-A-A-A- ad uno degli altri stati

Queste relazioni seguono direttamente dal fatto che la frazione di molecole che hanno una disposizione particolare di i unità A+ è qi/q e quella dello stato A-A-A-A- è qo/q; il rapporto: dà la costante di equilibrio microscopica ki.

Una grandezza che verrà considerata è la frazione di molecole che hanno un certo numero di elementi A+ (denominata con  ). P.es. la frazione 2+ di molecole che contengono due elementi A+: il parametro qo si cancella nel calcolo

Lo stato con tutti A- è lo stato di riferimento allora il termine qo è quella parte della funzione di ripartizione associata allo stato di riferimento. Si assegna il valore 1 al contributo dello stato di riferimento alla funzione di ripartizione, allora qo = 1. Questa assunzione non ha effetto sui valori dei parametri ki poiché sono tutti scalati relativamente allo stato di riferimento. Gi = -RT lnki è la variazione di energia libera necessaria per convertire una molecola dallo stato A-A-A-A- ad un particolare stato che contenga i unità A+.

Pesi statistici Variazione di energia libera G per la conversione di un elemento dallo stato A- allo stato A+ indipendentemente dalla posizione in cui si trova quell’elemento: dove s viene chiamato peso statistico dell’unità nello stato A+

Avendo posto qo = 1 la funzione di ripartizione diviene: i è il numero di modi di disporre i elementi A+ in una catena di quattro unità espansione binomiale di (1+s)4

La funzione di ripartizione in questo modo viene espressa semplicemente dalla somma dei termini che coinvolgono un solo parametro di peso statistico s che viene assegnato ad ogni elemento A+, mentre un fattore statistico unitario viene assegnato ad ogni unità nello stato A-. I pesi statistici possono essere ottenuti da esperimenti.

REGOLE PER COSTRUIRE LA FUNZIONE DI RIPARTIZIONE Considerare tutte le possibili conformazioni della catena polimerica. Stabilire uno stato di riferimento per un elemento di catena ed assegnare a questo un peso statistico unitario. Assegnare per ciascuna conformazione della catena un peso statistico appropriato a ciascun elemento che non sia nello stato di riferimento. Costruire la funzione di ripartizione sommando su tutte le conformazioni i prodotti appropriati dei pesi statistici, assegnati a ciascuna conformazione, per la molteplicità della conformazione stessa

MODELLO A "CHIUSURA LAMPO" Il modello a chiusura lampo assume che ciascun residuo esiste in uno dei due possibili stati [elica (h) o gomitolo (c)] e che tutte le unità dell'elica siano disposte una accanto all'altra in una sola regione. L'inizio della sequenza elicoidale può essere in qualsiasi posizione e la rete di legami idrogeno parte dallo stesso punto. Le conformazioni: ...ccchhhhhhcccc... e ...hhhhhccccccc... sono permesse. ...hhhhhcccccchhhhh... e ...cchhhcccchhhcc... sono proibite

In una -elica reale composta di m residui ci sono un massimo di m-2 residui che adottano le coordinate ,  dell'elica (poiché i due residui terminali non sono vincolati), e si possono formare m-4 legami idrogeno. Tuttavia per semplicità di trattamento la catena verrà considerata come composta da n unità ciascuna delle quali può essere o in conformazione elicoidale o in gomitolo.

ASSEGNAZIONE DEI PESI STATISTICI Definiamo s come la costante di equilibrio (peso statistico) della trasformazione di un'unità da gomitolo ad elica alla fine della sequenza elicoidale: Definiamo  s la costante di equilibrio per il processo di iniziazione, o di nucleazione, dove la costante di nucleazione  è << 1:

COSTRUZIONE E VALUTAZIONE DELLA FUNZIONE DI RIPARTIZIONE Consideriamo tutte le possibili configurazioni della catena ed assegniamo a ciascuna il peso statistico appropriato. P. es., la configurazione ...ccchhhhcc... contribuisce con un valore di s4 alla funzione di ripartizione, mentre la configurazione hhhccccc... contribuisce s3. Per una catena di n unità si avrà: k è il numero di modi di mettere k unità elicoidali in sequenza in una catena di n residui, il suo valore è (n-k+1)

I termini che devono essere sommati hanno la forma: La prima somma è una serie geometrica differenziando questa espressione si ottiene l'altra sommatoria

Questo risultato si ottiene partendo dall’espressione generale: Moltiplicando entrambi i termini per (1-s): Tutti i termini a destra si elidono tranne il primo e l’ultimo e quindi:

Sostituendo questi risultati nella funzione di ripartizione si ottiene: Questa è la funzione di ripartizione relativa al modello a chiusura lampo.

ELICITÀ FRAZIONARIA E PROBABILITÀ La probabilità p(k) che una catena abbia k unità in conformazione elicoidale è: Il numeratore dell'espressione corrisponde semplicemente al termine della funzione di ripartizione associato a tutte quelle specie che hanno k legami idrogeno. L’espressione per  è:

L'equazione trovata dimostra l'eleganza del metodo della funzione di ripartizione, infatti una proprietà conformazionale media, , può essere ottenuta semplicemente dalla derivata della funzione di ripartizione. Questa proprietà vale in generale. Infatti, un vantaggio del metodo della funzione di ripartizione consiste nel fatto che alcune proprietà di equilibrio possono essere calcolate tramite l'appropriata derivata della funzione di ripartizione.

Eseguendo le opportune sostituzioni si ottiene: Si può mostrare che  = 0 quando s = 0 e che  tende ad 1 al crescere di s.

Per una catena lunga può essere dimostrato che il punto di mezzo della transizione si ha per s = 1, in accordo con il modello. Poiché s è una costante di equilibrio il suo valore può essere facilmente cambiato, per es. variando la temperatura. L'espressione di p(k), trovata precedentemente, può essere utilizzata per trovare la distribuzione della lunghezza dell'elica man mano che una molecola procede nella transizione elica-gomitolo. La figura seguente mostra questo calcolo per una catena di 16 unità utilizzando un valore di  = 1.5x10-3.

 = 92%  = 75%  = 36%  = 7%

Dal grafico si vede che c'è la tendenza o a formare delle lunghe sequenze elicoidali oppure a non formarne per nulla. Infatti anche per  = 0.36 (<k> = 5.7) il valore più grande di p(k) (a parte quello per k = 0) si ha per valori di k = 12. La forma della distribuzione è regolata dal parametro   = 92%  = 75%  = 36%  = 7%

Valori piccoli di  tenderanno ad allargare maggiormente l'inomogeneità della distribuzione, cioè saranno favorite sequenze elicoidali più lunghe, mentre lo stato di tutto-gomitolo sarà favorito rispetto a sequenze elicoidali corte. Questo succede perché più è piccolo il valore di  maggiore deve essere la lunghezza delle sequenze elicoidali per superare gli aspetti sfavorevoli dell'iniziazione. Dal punto di vista matematico, per s>1, quanto più è piccolo il valore di , tanto più grande sarà il valore di k richiesto nel prodotto  sk per ottenere un valore significativo di p(k). In questo modo il parametro  regola la cooperatività della transizione.

Questo trattamento termodinamico statistico della transizione elica-gomitolo offre una notevole quantità di informazioni sulla natura della transizione ed è una descrizione ragionevolmente accurata per catene corte, dove c'è la tendenza a formare un'unica zona elicoidale in una molecola parzialmente in elica.