Logica

Lezioni 23-24 29/11/16 Ore 9-10 (recupero) + ore 10-11

AVVISO Vi ricordo che non ci sarà lezione Mercoledì 30 Novembre

Cap. 7 (sulla deduzione naturale) il libro dice "calcolo" dei predicati In realtà non abbiamo una procedura di decisione Operiamo con la deduzione naturale

Regola E Una generalizzazione universale è come una congiunzione infinita e quindi questa regola è analoga alla regola &E Guardare insieme la regola a p. 194 Guardare insieme l'esercizio 7.2, p. 194

Regola I Guardare insieme la regola a p. 199 Guardare insieme l'esercizio 7.10, p. 199 (errore nel libro nell’annotazione nell’ultima riga: la regola utilizzata è I e non E, e poi la riga 2 non è utilizzata)

Regola I Guardare insieme la regola a p. 195 Guardare insieme l'esercizio 7.5, p. 196 NB1: La "costante arbitraria" non deve comparire in assunzioni o ipotesi in vigore NB2: la variabile introdotta non deve essere già presente nella formula NB3: Tutte le occorrenze della costante arbitraria devono essere rimpiazzate dalla variabile

Regola E  xFx è come una disgiunzione infinita e quindi questa regola è analoga a vE Guardare insieme regola a p. 202 NB1 La costante "arbitraria" che si sceglie non deve essere già presente nella formula che si ipotizza NB2 La costante arbitraria non deve comparire nella conclusione del ragionamento ipotetico NB3 La costante arbitraria non deve comparire in assunzioni o ipotesi in vigore

Lezione 25 29/11/16 Lezione sulle logiche paraconsistenti tenuta dal Dott. Andrea Vettore NB: NELLE DIAPOSITIVE CHE SEGUONO CI SONO FORMULE DOVE MANCA UN SIMBOLO, AL POSTO DEL QUALE COMPARE UN QUADRATO: . Il SIMBOLO MANCANTE E’ QUELLO PER LA DISGIUNZIONE: 

La logica paraconsistente Una logica è paraconsistente se e solo se invalida l’inferenza ex contradictione quodlibet (ECQ): A & ~A |- B. Una logica paraconsistente non è una logica che viola il principio di non contraddizione, né una logica che ammette contraddizioni vere. Tuttavia, una logica paraconsistente rende possibili teorie che ammettano contraddizioni vere, in questo senso: teorie che ammettano contraddizioni vere, la cui logica sia paraconsistente, non sono condannate a dichiarare l’assurdità che qualsiasi enunciato è vero.

Cenni storici La logica paraconsistente nasce ufficialmente nel 1948 col lavoro del logico polacco Stanislaw Jaskowski. Wittgenstein, Vasil’ev e Łukasiewicz, prima di Jaskowski, avevano immaginato logiche capaci di tollerare contraddizioni, ma senza mai sviluppare una compiuta teoria formale. Ci sono evidenze per sostenere che il vero antenato della logica paraconsistente sia Aristotele. In Analitici Primi II 15 64a15, Aristotele argomenta che alcuni sillogismi con premesse contraddittorie sono validi, ma alcuni non lo sono.

(ECQ) (ECQ) certamente non è un principio ovvio. La sua giustificazione non può essere l’autoevidenza. La giustificazione di (ECQ) è la possibilità di derivarlo in un modo apparentemente cogente. Questa attesta che per rigettare (ECQ) bisogna rigettare risorse logiche elementari sulla base delle quali esso può essere provato. La derivazione canonica di (ECQ) è solitamente attribuita a Clarence Lewis (1918). Ma questa derivazione era già conosciuta da Alexander Neckam nel 1200, e forse ancora prima da Guglielmo di Sassonia.

La derivazione canonica di (ECQ) 1 ~A assunzione 2 A assunzione 3 A & ~A 1,2 &I 4 A  B 2 I __________ B 1,4 sillogismo disgiuntivo (SD) Ci sono solo tre regole in gioco in questa derivazione: &I, I e (SD). Per invalidare (ECQ) è necessario rigettare almeno una delle tre.

Soluzione 1 Una prima soluzione è rigettare I (Parry). Giustificazione del rigetto di I: se si assume che A è vero, allora non è legittimo asserire A  B, perché si è legittimati ad asserire una disgiunzione solo se non è noto quale dei disgiunti sia vero. Obiezione (Haack, Burgess): la giustificazione offerta da Parry non mette in questione che sia vero A  B se è vero A. La giustificazione offerta da Parry, ispirandosi a una massima conversazionale secondo cui non si dovrebbero produrre affermazioni deboli se si possono produrre affermazioni forti, mette in questione solo che sia appropriato asserire A  B se si può asserire semplicemente A, suggerendo che non sia noto quale fra A e B sia vero, quando invece è noto che è vero A. Ma affinché la derivazione di (ECQ) funzioni è sufficiente che A  B sia vero se A è vero.

Soluzione 2 Una seconda soluzione è rigettare &I (Jaskowski, Rescher, Varzi). Giustificazione del rigetto di &I: supponiamo di voler costruire un sistema logico S che rappresenti una situazione dialogica, in cui più interlocutori avanzano tesi diverse. S conterrà tutte e sole le tesi che sono sostenute dagli interlocutori coinvolti nel dialogo: gli enunciati di S sono identificati con le tesi degli interlocutori. In S fallisce &I perché dal fatto che in un dialogo sia sostenuta una tesi A e sia sostenuta una tesi B non segue che sia sostenuta la tesi A & B, dato che è possibile che A sia sostenuta da un certo interlocutore, che B sia sostenuta da un altro interlocutore, e che la congiunzione A & B non sia sostenuta da nessun interlocutore. Problema (Priest e Routley, Berto): il rigetto di &I consente di guadagnare al massimo una logica parzialmente paraconsistente. Mentre viene bloccata la derivazione canonica di (ECQ), rimane valida la derivazione seguente:

Derivazione alternativa di (ECQ) 1 A & ~A assunzione 2 A 1 &E 3 ~A 1 &E 4 A  B 2 I __________ B 3,4 sillogismo disgiuntivo (SD) Se si parte direttamente dall’assunzione di A & ~A, anziché partire dall’assunzione separata di A e di ~A per poi inferire A & ~A via &I, allora si può dimostrare che A & ~A |- B. Perciò da due tesi reciprocamente contraddittorie non è possibile ottenere una contraddizione che implichi qualsiasi enunciato, perché in primo luogo non è possibile ottenere una contraddizione, ma una sola tesi contraddittoria implica qualsiasi enunciato – la paraconsistenza è limitata.

Soluzione 3 Ci sono due generi di regole di inferenze: le regole operazionali e le regole strutturali. Le regole operazionali sono le regole che governano gli specifici operatori logici. Le regole strutturali sono regole che governano direttamente la relazione di conseguenza logica senza fare riferimento agli operatori logici. Le regole strutturali quindi si applicano qualunque siano gli operatori logici dominanti degli enunciati che vi figurano.

La derivazione canonica di (ECQ) e la regola strutturale di transitività Ripercorriamo la derivazione canonica di (ECQ): 1 ~A assunzione 2 A assunzione 3 A & ~A 1,2 &I 4 A  B 2 I __________ B 1,4 sillogismo disgiuntivo (SD) Per (SD) proviamo che B segue da ~A e da A  B. Questo, di per sé, non prova che B segue da ~A e da A. Dal fatto che B segue da ~A e da A  B noi concludiamo che B segue da ~A e da A solo sotto l’assunzione implicita che, se B segue da ~A e da A  B, e A  B segue da A, allora B segue da ~A e da A. Questo è garantito dalla regola strutturale di transitività:

La regola strutturale di transitività A |- B C, B |- D _____________ C, A |- D (T) consente di concatenare le parti proprie di una stessa derivazione, assicurando che le conseguenze delle conseguenze delle nostre assunzioni sono conseguenze delle nostre assunzioni. Nella derivazione di (ECQ), (T) ci consente di mettere insieme la derivazione di A  B da A e la derivazione di B da ~A e A  B, assicurando che B, essendo una conseguenza di ~A e A  B che è una conseguenza di A, è una conseguenza di ~A e A. Senza (T), potremmo certamente provare che A implica A  B e che A  B e ~A implicano B, ma non potremmo provare che A e ~A implicano B.

Soluzione 3 Una terza soluzione per invalidare (ECQ) è, dunque, rigettare (T) (Tennant). Giustificazione del rigetto di (T). Prima giustificazione: il rigetto di (T) propizia un guadagno epistemico sulle relazioni logiche. Supponiamo di aver provato che A, B |- C. Se riusciamo a provare che A |- C, otteniamo una conoscenza della relazione logica fra A e C più ricca di quella che otteniamo provando che A, B |- C. Scopriamo, per esempio, che A è una condizione sufficiente per C, e che B non è una condizione necessaria per C. Più riduciamo all’osso l’insieme di premesse che servono per raggiungere una conclusione, più informazioni conseguiamo. Si può dimostrare che il rigetto di (T) propizia un guadagno epistemico massimale: se proviamo che A |- B senza utilizzare (T), siamo certi che non esiste un insieme di premesse P più debole di A tale che P |- B.

Soluzione 3 Seconda giustificazione: se le assunzioni di una nostra argomentazione sono contraddittorie, un’applicazione di (T) può occultare questo fatto, così che possiamo arrivare a delle conclusioni senza mai accorgerci di essere partiti da premesse false. Il rigetto di (T) fa sì che, se le nostre assunzioni sono contraddittorie, ci sarà sempre una prova che lo sono.

Problemi per il rigetto di (T) Un problema tecnico per il rigetto di (T) è l’aumento esponenziale della complessità di una derivazione di B da A che non utilizzi (T) rispetto a una derivazione di B da A che utilizzi (T) (Friedman, Boolos). Un problema filosofico per il rigetto di (T) discende dall’idea che una condizione necessaria per rigettare una regola di inferenza è identificare almeno un caso in cui le sue premesse sono vere e la sua conclusione non lo è. Se si accetta questa idea, una condizione necessaria per rigettare (T) è identificare almeno un caso in cui B è vero in tutti i casi in cui A è vero, D è vero in tutti i casi in cui B e C sono veri, ma D non è vero in almeno un caso in cui A e C sono veri. Questa sembra un’impresa disperata.

Soluzione 4 Una quarta soluzione per invalidare (ECQ) è accettare tutte le regole di inferenza coinvolte nella sua derivazione, ma rigettare l’univocità della disgiunzione (Anderson e Belnap, Read, Paoli). Sia I sia (SD) valgono, ma per due disgiunzioni differenti.

L’approccio inferenzialista alla semantica degli operatori logici In generale, ci sono due approcci per definire il significato degli operatori logici: uno vero-condizionale (truth-conditional), l’altro inferenzialista (proof-theoretic). Secondo l’approccio vero-condizionale, il significato di un operatore logico O è specificato completamente in termini di condizioni alle quali un enunciato contenente O come operatore dominante è vero. Secondo l’approccio inferenzialista, il significato di un operatore logico O è specificato completamente in termini di regole per usare O nelle inferenze. Le regole per usare O nelle inferenze sono le regole di introduzione e le regole di eliminazione di O. Le regole di introduzione di O determinano le condizioni che giustificano l’asserzione di un enunciato contenente O come operatore dominante. Le regole di eliminazione di O determinano le conseguenze che si è giustificati a trarre da un enunciato contenente O come operatore dominante.

Due disgiunzioni differenti Adottando l’approccio dimostrazionista, il significato di una prima disgiunzione,  (join), è definito dalla regola di introduzione I e dalla regola di introduzione E, mentre il significato di una seconda disgiunzione, Θ (fission), è definito dalle seguenti regole di introduzione e di eliminazione: (IΘ): (EΘ): ~A → B ~A A Θ B ______ _________ NB. EΘ non è altro che (SD) per la disgiunzione Θ. A Θ B B I vale per  ma non per Θ, mentre (SD) vale per Θ ma non per . Siamo giustificati a inferire A  B da A, ma non siamo giustificati a inferire B da A  B e ~A, mentre saremmo giustificati a inferire B da A Θ B e ~A, ma non saremmo giustificati a inferire A Θ B da A.

La derivazione di (ECQ) come fallacia di equivocità La derivazione di (ECQ) presuppone che ci sia un’unica disgiunzione che obbedisce sia a I sia a (SD). Poiché non c’è un’unica disgiunzione che obbedisce sia a I sia a (SD), ma due disgiunzioni una delle quali obbedisce a I e l’altra a (SD), la derivazione di (ECQ) è una fallacia di equivocità: chiama con lo stesso nome due disgiunzioni differenti.

Problema per la soluzione 4 I e IΘ da una parte, e E e EΘ dall’altra, sono equivalenti sotto l’assunzione della validità di due regole strutturali: Contrazione (C): Indebolimento (I): A, A |- B A |- B _______ _______ A |- B A, C |- B Sotto l’assunzione della validità di (C) e (I), dunque,  e Θ hanno lo stesso significato, e quindi c’è un’unica disgiunzione che obbedisce sia I sia (SD). La soluzione secondo cui la derivazione di (ECQ) è una fallacia di equivocità può funzionare solo se si rigetta (C) o (I).

Problema per la soluzione 4 Come per il rigetto di (T), il problema fondamentale per il rigetto di (C) o (I) discende dall’idea che una condizione necessaria per rigettare una regola di inferenza è identificare almeno un caso in cui le sue premesse sono vere e la sua conclusione non lo è. Se si accetta questa idea, una condizione necessaria per rigettare (C) è identificare almeno un caso in cui B è vero in tutti i casi in cui A è vero e A è vero, ma non è vero in almeno un caso in cui A è vero, e una condizione necessaria per rigettare (I) è identificare almeno un caso in cui B è vero in tutti i casi in cui A è vero, ma non è vero in almeno un caso in cui A è vero e C è vero. Anche questa sembra un’impresa disperata.

Soluzione 5 Una quinta e ultima soluzione per invalidare (ECQ) è rigettare (SD) (Da Costa, Routley, Priest et al.) Giustificazione del rigetto di (SD). Ripercorriamo ancora una volta la derivazione canonica di (ECQ): 1 ~A assunzione 2 A assunzione 3 A & ~A 1,2 &I 4 A  B 2 I __________ B 1,4 sillogismo disgiuntivo (SD) Anedotto di Dunn: “I was saying to an elementary class one time, with no propaganda about paraconsistent logic, ‘If by (1), A is false; and, by (4), at least one of the two, A and B is true, then B must be true’ when a student yelled out, ‘But A was the true one – look again at your assumption’. That student had a point...”

Giustificazione del rigetto di (SD) Il punto è che alla riga (1) abbiamo sì assunto che ~A è vero, cioè che A è falso, ma alla riga (2) abbiamo assunto anche che A è vero. E assumendo che sia ~A sia A siano veri, anche le premesse cui si applica (SD), ~A e A  B, sono vere, indipendentemente dal valore di verità di B. Ma allora da ~A e A  B non possiamo inferire B, proprio perché B può essere falso. Se A e ~A sono entrambi veri, come la derivazione di (ECQ) assume, (SD) non è una regola di inferenza valida in quanto permette di arrivare a una conclusione falsa da premesse vere. È proprio la derivazione canonica di (ECQ) a identificare un caso in cui le premesse di (SD) sono vere e la conclusione di (SD) non lo è. Il controesempio a una delle risorse logiche elementari sulla base delle quali si prova (ECQ) è fornito dalla stessa prova di (ECQ).

Il costo della soluzione 5 L’invalidità di (SD) può sembrare di per sè sufficientemente grave. Ma c’è di più. Il condizionale materiale A → B è equivalente a ~A  B. Data questa equivalenza, la regola fondamentale del modus ponens, A → B, A |- B, è equivalente a ~A  B, A |- B. Ma ~A  B, A |- B è (SD). Se (SD) è invalido, anche il modus ponens è invalido. Il vero prezzo da pagare per invalidare (ECQ) rigettando (SD) è rigettare il modus ponens.