Coseno di un angolo

Per definire la funzione matematica coseno di un angolo, si prende in considerazione un triangolo rettangolo, [ABC].

Gli elementi di un triangolo rettangolo sono: [AC] = ipotenusa [AB] = Cateto [BC] = Cateto

Un angolo è caratterizzato da tre elementi: Un vertice; b) Due lati

Si considera l’angolo acuto  = [BAC]. Definizione: Il coseno dell’angolo =[BAC] è il rapporto tra il cateto, [AB], che forma l’angolo  e l’ipotenusa, [AC].

Si considera l’altro angolo acuto  = [BCA]. Definizione: Il coseno dell’angolo =[BCA] è il rapporto tra il cateto, [BC], che forma l’angolo  e l’ipotenusa, [AC].

Osservazione: Dalla definizione di coseno degli angoli  e  Si nota che il denominatore, [AC], è maggiore dei due numeratori. Ciò significa che i valori dei due coseni sono inferiori o uguali ad uno.

Per generalizzare la definizione della funzione coseno, si abbandona l’ambito ristretto ma importante del triangolo rettangolo, e si prende in considerazione una circonferenza trigonometrica. La circonferenza ha la caratteristica di avere un raggio pari all’unità. Se il raggio fosse diverso dall’unità, il valore del coseno di un angolo non cambierebbe (tale affermazione sarà dimostrata in seguito.) La scelta del raggio unitario, pertanto, sarà (come si vedrà nella esposizione) di pura comodità.

Si consideri la circonferenza goniometrica, c Si consideri la circonferenza goniometrica, c. Nella circonferenza viene individuato l’angolo . In una circonferenza goniometrica un angolo, per convenzione, è individuato dai seguenti elementi: 1) Il vertice dell’angolo coincide con l’origine, O, degli assi cartesiani; 2) Un lato coincide con l’asse delle ascisse positive; 3) Il secondo lato, b, è quello variabile, la cui posizione dipende dall’ampiezza dell’angolo.

Il lato, b, variabile incontra la circonferenza nel punto A Il lato, b, variabile incontra la circonferenza nel punto A. La coordinate del punto A sono: A(xA, yA). Dal punto A si traccia la perpendicolare all’asse x. L’intersezione tra l’asse x e la perpendicolare è il punto B. Le coordinate del punto B sono: B(xB, 0). I punti A e B hanno le stesse ascisse: xA = yA

Definizione di coseno di un angolo. Il coseno dell’angolo  è il rapporto tra il lato [OB], cateto del triangolo rettangolo [OBA] e coincidente con l’asse delle ascisse positive, ed il raggio della circonferenza, che coincide con l’ipotenusa del triangolo rettangolo:

Definizione di coseno di un angolo. Pertanto, in riferimento ad una circonferenza goniometrica di raggio unitario, il coseno di un angolo viene definito come l’ascissa del punto di intersezione del lato variabile dell’angolo con la circonferenza.

Valori particolari del coseno di un angolo. Se l’angolo è nullo = 0 rad = 0° i punti A e B coincidono e si trovano entrambi sulla circonferenza. Pertanto xA = xB = 1 Quindi il coseno dell’angolo nullo vale:

Valori particolari del coseno di un angolo. Se l’angolo  è cioè se il punto A si trova nel primo quadrante, per cui la sua ascissa è positiva, allora il valore del coseno è positivo e minore dell’unità

Valori particolari del coseno di un angolo. Se l’angolo  è retto L’ascissa del punto A è nulla xA = xB = 0 Pertanto il valore del coseno è nullo.

Valori particolari del coseno di un angolo. Se l’angolo  è ottuso Il punto A si trova nel secondo quadrante e la sua ascissa è negativa xA = xB < 0 Pertanto il valore del coseno è negativo.

Valori particolari del coseno di un angolo. Se l’angolo  è piatto Il punto A coincide con il punto B e la sua ascissa è negativa. xA = xB < 0 Il suo valore assoluto è uno. Pertanto il valore del coseno dell’angolo piatto è

Valori particolari del coseno di un angolo. Se l’angolo  è il punto A si trova nel terzo quadrante e la sua ascissa è negativa ma maggiore di -1. Quindi il valore del coseno è:

Valori particolari del coseno di un angolo. Se l’angolo  vale il punto A ha ascissa nulla, per cui il valore del coseno è zero.

Valori particolari del coseno di un angolo. Se l’angolo  è compreso nell’intervallo il punto A si trova nel quarto quadrante e la sua ascissa è positiva e minore dell’unità. Quindi il calore del coseno è:

Valori particolari del coseno di un angolo. Se  è un angolo giro il punto A coinciderà con il punto B, la sua ascissa è positiva ed il suo valore è uno. Pertanto il valore del coseno è:

Dall’analisi dei valori del coseno di un angolo per diversi valori degli stessi, si nota che il valore del coseno è un numero reale compreso in un intervallo i cui estremi sono -1 e 1. Per angoli superiori ad un angolo giro, i valori del coseno si ripetono. Cioè il coseno è una funzione periodica

Grafico della funzione coseno