Le disequazioni DEFINIZIONE DISEQUAZIONI EQUIVALENTI DISEQUAZIONI DI 1° GRADO DISEQUAZIONI DI 2° GRADO DISEQUAZIONI FRAZIONARIE SISTEMI DI DISEQUAZIONI

DEFINIZIONE Una disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni letterali per la quale si cercano valori di una o più lettere, che rendono la disuguaglianza vera. x = incognita I numeri reali assegnati all’incognita che rendono vera la disuguaglianza sono le soluzioni della disequazione

Un intervallo può essere: GLI INTERVALLI Di solito gli insiemi delle soluzioni delle disequazioni sono particolari sottoinsiemi di R chiamati intervalli o unione di intervalli. Un intervallo può essere: LIMITATO ILLIMITATO

INTERVALLO LIMITATO Dati due numeri reali a e b con a<b si chiama intervallo limitato l’insieme dei numeri reali x compresi fra a e b. Intervallo aperto a<x<b Intervallo chiuso a≤x≤b Intervallo aperto a destra a≤x< b Intervallo aperto a sinistra a<x≤b I numeri a e b sono gli estremi dell’intervallo: a è l’estremo inferiore, b è l’estremo superiore.

Intervallo chiuso Intervallo aperto Intervallo aperto a destra Intervallo aperto a sinistra

INTERVALLO ILLIMITATO Dato un numero reale a, si chiama intervallo illimitato l’insieme dei numeri reali x che precedono o seguono a. Intervallo aperto: illimitato superiormente x>a illimitato inferiormente x<a Intervallo chiuso: illimitato superiormente: x≥a illimitato inferiormente x≤a

Intervallo aperto a destra e illimitato inferiormente Intervallo chiuso a destra e illimitato inferiormente Intervallo aperto a sinistra e illimitato inferiormente Intervallo chiuso a sinistra e illimitato inferiormente

DISEQUAZIONI EQUIVALENTI Due disequazioni si dicono equivalenti se ogni soluzione della prima è soluzione della seconda e viceversa.

PRIMO PRINCIPIO Data una disequazione, si ottiene una disequazione a essa equivalente aggiungendo a entrambi i membri uno stesso numero o espressione. Ne consegue che un termine può essere trasportato da un membro all’altro della disequazione cambiandolo semplicemente di segno

Data una disequazione, si ottiene una disequazione a essa equivalente: SECONDO PRINCIPIO Data una disequazione, si ottiene una disequazione a essa equivalente: Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero (o espressione) positivo: 5x/2>1 è equivalente a 5x>2 Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero (o espressione) negativo e cambiando il verso della disuguaglianza: -4x/3>1 è equivalente a 4x<-3

con a e b coefficienti numerici, a ≠ 0. DISEQUAZIONE DI PRIMO GRADO Si dice disequazione di primo grado nell'incognita x ogni disequazione del tipo: a x + b > 0 con a e b coefficienti numerici, a ≠ 0.

il coefficiente della x è positivo PRIMO CASO il coefficiente della x è positivo ax + b > 0 sommiamo -b ad entrambi i membri e otteniamo la disequazione equivalente ax >-b dividiamo entrambi i membri per 3 e otteniamo la soluzione, cioè x>-b/a

SECONDO CASO il coefficiente della x è negativo -ax + b > 0 sommiamo -b ad entrambi i membri e otteniamo la disequazione equivalente -ax >-b moltiplichiamo per -1 entrambi i membri e cambiamo sia i segni che il verso della disequazione, otteniamo ax<b dividiamo entrambi i membri per 4 e otteniamo la soluzione, cioè x<b/a

Esempio: 3x + 2 > 0 3x > -2 x > - 2/3

Esempio: -5x + 1 > 0 ammette come soluzioni x < 1 / 5

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Si dice disequazione di secondo grado nell'incognita x ogni disequazione del tipo: a2 x2 + a1 x + a0 > 0 con a2, a1, a0 coefficienti numerici, a2  0 Sostituendo le lettere, otteniamo la forma più usuale: a x2 + b x + c > 0 Senza perdere di generalità si può supporre a > 0: infatti se così non fosse, si potrebbero moltiplicare entrambi i membri della disequazione per -1 e ottenere il coefficiente del termine di secondo grado positivo.

Se b2 - 4ac > 0 allora l'equazione a x2 + b x + c = 0 associata alla disequazione data ammette due soluzioni reali e distinte x1, x2 Se a>0 la parabola è rivolta verso l’alto quindi l'insieme delle soluzioni della disequazione è ovvero (, x1)  (x2, )

Se b2 - 4ac > 0 la parabola y = ax2 + bx + c interseca l'asse delle ascisse nei punti A(x1, 0), B(x2, 0) con x1, x2 soluzioni dell'equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0

Se b2 - 4ac = 0 allora l'equazione a x2 + b x + c = 0 associata alla disequazione data ammette due soluzioni reali e coincidenti x1 = x2 Se a>0 la parabola è rivolta verso l’alto quindi l'insieme delle soluzioni della disequazione è  ovvero (, x1)  (x1, )

Se b2 - 4ac = 0 la parabola y = ax2 + bx + c è tangente all'asse delle ascisse nel punto A(x1, 0) con x1 soluzione con molteplicità due dell'equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0

se b2 - 4ac < 0 allora l'equazione a x2 + b x + c = 0 associata alla disequazione data non ammette soluzioni reali e la disequazione è soddisfatta da ogni valore di x reale ossia (-∞, +∞)‏

Se b2 - 4ac < 0 la parabola y = ax2 + bx + c non interseca l'asse delle ascisse

Di conseguenza, data la disequazione a x2 + b x + c < 0 se b2 - 4ac > 0 allora l'insieme delle soluzioni della disequazione è ovvero (x1, x2)‏

se b2 - 4ac = 0 allora la disequazione non ammette soluzioni reali

se b2 - 4ac < 0 allora la disequazione non ammette soluzioni reali                                                                      

Risolvendo l'equazione associata: Esempio: x2 - 5 x + 6 < 0  Risolvendo l'equazione associata:                                                 Quindi l'intervallo delle soluzioni della disequazione è: (2 , 3)                                                                

Esempio: Risolvere la disequazione x2 - 10 x + 25 ≥ 0 L'equazione associata è:                                                                                                                             La soluzione della disequazione è x = 5

Esempio: Risolvere la disequazione x2 - 2 x + 4 > 0  Risolvendo l'equazione associata                                                                                                                                                si deduce che essa non ha soluzioni reali.    L'intervallo delle soluzioni della disequazione è (-∞, +∞) cioé la disequazione è soddisfatta da ogni valore di x reale

DISEQUAZIONI FRAZIONARIE Per risolvere una disequazione fratta   si studiano separatamente i segni del numeratore (N) e del denominatore (D), poi si determina il segno della frazione utilizzando la regola dei segni. La frazione si annulla se e solo se il numeratore è 0 e non esiste se il denominatore è nullo.

le soluzioni sono quindi: -2 1 D>0 N>0 - + + le soluzioni sono quindi:

LO STUDIO DEL SEGNO La disequazione A(x) · B(x) > 0 è soddisfatta dai valori di              per i quali i due fattori A(x) e B(x) hanno segni concordi. Il primo passo della risoluzione consiste nello studiare il segno di A(x) e di B(x). A questo riguardo conviene risolvere separatamente le due disequazioni A(x) > 0 e B(x) > 0. Per trovare le soluzioni è utile ricorrere a una semplice rappresentazione grafica:

determinare l'insieme dei valori di x per i quali il fattore A(x) è positivo A(x)  0 e di conseguenza l'insieme dei valori di x per i quali il fattore A(x) è negativo

in modo analogo determinare gli insiemi nei quali il fattore B(x) è positivo e negativo                                                                                                                                                         

il prodotto A(x) · B(x) è positivo negli intervalli nei quali i fattori sono entrambi positivi (+) · (+) = (+) o entrambi negativi (-) · (-) = (+)

Le soluzioni della disequazione A(x) · B(x) < 0 si determinano in modo analogo il prodotto A(x) · B(x) è negativo negli intervalli nei quali entrambi i fattori sono di segno discorde: (+) · (-) = (-) oppure (-) · (+) = (-)‏                                                                                   

Data la disequazione (x2 - 1) (x2 - 5 x + 6) (x - 7) < 0 Esempio: Data la disequazione (x2 - 1) (x2 - 5 x + 6) (x - 7) < 0 determinare il segno di ciascun fattore: Per studiare il segno del primo fattore: x2 - 1 si risolve   x2 - 1> 0 ottenendo: x  (, 1)  (1, )‏ rappresentazione del segno di x2  1:                                                                    

Per studiare il segno del secondo fattore: x2  5 x + 6 risolvere   x2  5 x + 6 0 x  (, 2)  (3, )‏ segno di x2  5 x + 6:                                                                                 

Per studiare il segno del terzo fattore: x  7 risolvere   x  7 0 x  (7, )‏ segno di x  7:                                                                              

soluzioni della disequazione data: La soluzione della disequazione è (, 1)  (1, 2)  (3, 7)‏

SISTEMA DI DISEQUAZIONI Un sistema di disequazioni è un insieme di più disequazioni nella stessa incognita, per le quali cerchiamo le soluzioni comuni. Le soluzioni del sistema sono quei numeri reali che soddisfano contemporaneamente tutte le disequazioni.

Lo schema può essere il seguente: Per risolvere un sistema di disequazioni si risolvono le singole disequazioni; poi si determina in quali intervalli sono verificate contemporaneamente tutte le disequazioni. Lo schema può essere il seguente:

x2-x>0 3x-21<=0 ESEMPIO: Risolviamo il seguente sistema di due disequazioni: x2-x>0 3x-21<=0 Risolvendo separatamente le due disequazioni otteniamo: x2-x>0 per x<0 v x>1 3x-21<0 per x<7

Le parti tratteggiate in rosso rappresentano le soluzioni del sistema: Per ogni disequazione rappresentiamo su una retta orientata gli intervalli delle soluzioni. 1 7 x2-x>0 3x-21<0 -------- ----------------- -------------- ------------- ----------- ------------- ------------------ - -------------- ------------- ---------- E troviamo le soluzioni comuni. Le parti tratteggiate in rosso rappresentano le soluzioni del sistema: x<0 v 1<x<7 ossia ]-;0[  ]1;7