4 < 12 5 > −3 a < b a > b a ≤ b a ≥ b Disuguaglianze numeriche I simboli > e < esprimono delle disuguaglianze. ESEMPI 4 < 12 5 > −3 a < b Il numero a è minore del numero b a > b Il numero a è maggiore del numero b a ≤ b Il numero a è minore di b o uguale a b a ≥ b Il numero a è maggiore di b o uguale a b a < b equivale a b > a a ≤ b equivale a b ≥ a

a < b a + c < b + c con a, b, c R 4 < 7 Proprietà delle disuguaglianze a < b a + c < b + c con a, b, c R ESEMPI 4 < 7 4 + 3 < 7 + 3 infatti 7 < 10 9 > 3 9 − 4 < 3 − 4 infatti 9 > −1 a < b a e b concordi > 1 a b ESEMPI −3 < −2 − > − 1 3 2 −3 < 5 − < 1 3 5 infatti

8  (−2) < −3  (−2) infatti −16 < 6 Proprietà delle disuguaglianze a < b ac < bc con c positivo ESEMPIO 2 > −3 2  6 > −3  6 infatti 12 > −18 a < b ac > bc con c negativo ESEMPI 8 > −3 8  (−2) < −3  (−2) infatti −16 < 6 Caso particolare: Se c = − 1 a < b −a > −b -12 < 3 12 > −3

A(x) > B(x) oppure A(x) < B(x) Definizioni e caratteristiche Una disequazione è una relazione della forma A(x) > B(x) oppure A(x) < B(x) nella quale si chiede per quali valori della variabile x l’espressione A(x) assume valori maggiori oppure minori dell’espressione B(x). Risolvere una disequazione significa determinare i valori di x per i quali l’espressione A(x) assume valori maggiori (o minori) dell’espressione B(x). Una disequazione è in forma normale se è scritta nel seguente modo: E(x) > 0 oppure E(x) < 0. Dominio: insieme dei valori che può assumere la variabile x Insieme delle soluzioni: tutti i valori della variabile x che rendono vera la disequazione Disequazioni equivalenti: disequazioni con lo stesso insieme di soluzioni Grado di una disequazione intera in forma normale: grado di E(x)

1 3 x 4 x + > 1 x + 3 > 2x – 4 1 x > 3x + 1 x 3 > x + 1 4 Definizioni e caratteristiche Disequazione intera: disequazione in cui A(x) e B(x) sono polinomi. ESEMPIO 1 3 x 4 x + > 1 x + 3 > 2x – 4 Disequazione frazionaria: disequazione in cui le frazioni algebriche contengono l’incognita al denominatore. ESEMPI 1 x > 3x + 1 È frazionaria È intera x 3 > x + 1 4

Definizioni e caratteristiche L’insieme delle soluzioni è di solito un insieme di numeri reali che può essere rappresentato graficamente sulla retta. Tutti gli insiemi rappresentati sulla retta reale da semirette o da segmenti vengono detti intervalli. ESEMPIO La disequazione x − 2 ≥ 0 ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri reali che sono maggiori o uguali a 2: 2 La disequazione x − 3 < 0 ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri reali che sono minori di 3: 3

LIMITATO APERTO A SX E CHIUSO A DX LIMITATO CHIUSO A SX E APERTO A DX Rappresentazione delle soluzioni Intervallo Scrittura algebrica Rappresentazione sulla retta reale ILLIMITATO APERTO ILLIMITATO CHIUSO LIMITATO APERTO LIMITATO CHIUSO LIMITATO APERTO A SX E CHIUSO A DX LIMITATO CHIUSO A SX E APERTO A DX x > a x ≥ a x < a x ≤ a a < x < b a ≤ x ≤ b a < x ≤ b a ≤ x < b a b

5x – 4 > 2x + 7 è equivalente a 5x – 2x > 7 + 4 Principi di equivalenza Primo principio. Se ai due membri di una disequazione si aggiunge una stessa espressione C(x) avente lo stesso dominio, si ottiene una disequazione equivalente a quella data e dello stesso verso: A(x) > B(x) è equivalente a A(x) + C(x) > B(x) + C(x) Conseguenza. Si possono spostare termini da un membro all’altro cambiando loro il segno: ESEMPIO 5x – 4 > 2x + 7 è equivalente a 5x – 2x > 7 + 4

3x + 3 > 6 dividendo per 3 è equivalente a x + 1 > 2 Principi di equivalenza Secondo principio. Se si moltiplicano i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo k, si ottiene una disequazione equivalente a quella data e dello stesso verso: A(x) > B(x) e k > 0 è equivalente a k  A(x) > k  B(x) Se si moltiplicano i due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo k, la disequazione che si ottiene è equivalente a quella data solo se si cambia anche il verso: A(x) > B(x) e k < 0 è equivalente a k  A(x) < k  B(x) Conseguenza. Si possono dividere i due membri di una disequazione per uno stesso numero rispettando il secondo principio. ESEMPI 3x + 3 > 6 dividendo per 3 è equivalente a x + 1 > 2 −10x + 5 > −15 dividendo per −5 è equivalente a 2x − 1 < 3

−6x + 3 < 4 −5x diventa 6x − 3 > 5x − 4 Principi di equivalenza Conseguenza. Si possono cambiare i segni ai termini dei due membri di una disequazione ma bisogna cambiare anche il verso perché questa operazione equivale a moltiplicare per −1. ESEMPIO −6x + 3 < 4 −5x diventa 6x − 3 > 5x − 4 Conseguenza. Se nella disequazione ci sono denominatori numerici, si può trasformare la disequazione in modo da avere coefficienti interi moltiplicando per il m.c.m. fra i denominatori. ESEMPIO + x − 1 2 3x − 4 3 > 1 6 x 3(x − 1) + 2(3x − 4) 6 x > diventa 3(x – 1) + 2(3x – 4) > x continua

Non è equivalente a (x + 1)(x – 1) – x2 > 0 Principi di equivalenza ATTENZIONE! L’ultima conseguenza non può essere applicata alle disequazioni frazionarie per eliminare i denominatori. ESEMPIO − x + 1 x x − 1 > Non è equivalente a (x + 1)(x – 1) – x2 > 0

Disequazioni lineari intere Disequazione lineare intera: disequazione intera di primo grado. Procedura risolutiva Si eseguono le operazioni indicate e si eliminano gli eventuali denominatori. Si trasportano tutti i termini contenenti la x al primo membro e gli altri al secondo e si riducono poi gli eventuali termini simili. Si ottiene una disequazione ridotta in forma normale del tipo ax > b oppure ax < b. Se a ≠ 0 si dividono entrambi i membri per a ricordando di cambiare il verso della disuguaglianza se a < 0. Se a = 0 la disequazione si riduce a una disguaglianza che può essere vera o falsa, determinando così un insieme di soluzioni uguale a R o all’insieme vuoto. NOTA Se a < 0 conviene prima cambiare segno e verso alla disequazione.

a > 0 x > b a a < 0 x < b a ax > b a = 0 0 > b Disequazioni lineari Schema riassuntivo – Risoluzione ax > b a > 0 x > b a b/a a < 0 x < b a b/a ax > b a = 0 0 > b b < 0 S = R b ≥ 0 S =

2(x − 1) + 3x > 7(2x – 1) 2x − 2 + 3x > 14x – 7 Disequazioni lineari ESEMPIO 2(x − 1) + 3x > 7(2x – 1) 2x − 2 + 3x > 14x – 7 5x − 2 > 14x – 7 Svolgiamo i calcoli: Separiamo i termini con l’incognita dai termini noti: 5x − 14x > –7 + 2 −9x > –5 9x < 5 Cambiamo segno e verso: Dividiamo per il coefficiente di x: x < 5 9 Rappresentiamo la soluzione sulla retta dei numeri: 5/9

A(x) B(x) > 0 < 0 oppure Disequazioni frazionarie Dopo aver posto le condizioni di esistenza si portano tutti i termini della disequazione al primo membro Si riducono tutte le frazioni allo stesso denominatore e si svolgono i calcoli in modo da arrivare alla forma Si studiano separatamente i segni di A(x) e di B(x) Si riporta la variazione dei segni di ciascun polinomio in una tabella Si costruisce il segno della frazione Si scelgono gli intervalli delle soluzioni in base al verso Procedura risolutiva A(x) B(x) > 0 < 0 oppure

2x x + 2 > 1 − x ≠ −3 x + 3 2x x + 2 − 1 + > 0 x + 3 Disequazioni frazionarie ESEMPIO 2x x + 3 > 1 − x + 2 x ≠ −3 Trasportiamo tutti i termini al primo membro: 2x x + 3 − 1 + x + 2 > 0 Riduciamo tutto allo stesso denominatore: 2x – (x + 3) + x + 2 x + 3 > 0 Svolgiamo i calcoli al numeratore 2x – 1 x + 3 > 0 continua

1 2x – 1 > 0 x > 2 x + 3 > 0 x > − 3 R − + R − + Disequazioni frazionarie ESEMPIO Segno del numeratore: 2x – 1 > 0 se x > 1 2 + − R Segno del denominatore: x + 3 > 0 se x > − 3 −3 + − R 1 2 −3 Costruiamo la tabella dei segni: − − + − + + Calcoliamo il segno della frazione: + − + Scriviamo le soluzioni: x < − 3 ∨ x > 1 2

Disequazioni non lineari Disequazione non lineare: disequazione del tipo A(x) > 0 o A(x) < 0 con grado di A(x) > 1 Procedura risolutiva (nel caso A(x) scomponibile in fattori di 1° grado): Si scompone il polinomio A(x) in fattori di primo grado Si studia il segno di ogni fattore Si costruisce la tabella dei segni Si determina il segno del polinomio in ogni intervallo individuato Si individua l’insieme delle soluzioni

x2 – 4x + 3 < 0 (x − 1) (x – 3) < 0 (x – 1) > 0 x > 1 Disequazioni non lineari ESEMPIO x2 – 4x + 3 < 0 Scomponiamo il trinomio con la regola del trinomio caratteristico: (x − 1) (x – 3) < 0 Studiamo il segno di ogni fattore: 1 3 (x – 1) > 0 se x > 1 − + + (x – 3) > 0 se x > 3 − − + Calcoliamo il segno del polinomio: + − + Scriviamo le soluzioni: 1 < x < 3

1 x > 2 x − 1 > 0 2 1 x > 3x – 1 > 0 3 S1 S2 Sistemi Sistema di disequazioni in una incognita: insieme di due o più disequazioni nella stessa incognita che devono essere verificate contemporaneamente. Insieme delle soluzioni: Intersezione degli insiemi soluzioni delle disequazioni che viene trovata con la tabella delle soluzioni. ESEMPIO x − 1 > 0 1 2 3x – 1 > 0 Risolvendo le due disequazioni si ottiene il sistema: x > 2 x > 1 3 S1 S2 1 3 2 Rappresentiamo gli insiemi S1 e S2 nella tabella delle soluzioni e determiniamo la loro intersezione: S1 S2 S