L’ipotesi di de Broglie e il dualismo onda-particella Nel 1923 Louis de Broglie ipotizzò che così come le onde possono comportarsi come particelle, anche le particelle possono comportarsi come onde De Broglie propose di applicare alle particelle dotate di massa la stessa relazione tra lunghezza d’onda e quantità di moto utilizzata per i fotoni:

L’ipotesi di de Broglie e il dualismo onda-particella La validità dell’ipotesi di de Broglie è stata verificata in molti modi diversi. Uno di questi consiste nell’osservare i fenomeni di diffrazione. Sappiamo già che i raggi X possono essere diffratti dai piani di un cristallo FIGURA problema pag.967

L’ipotesi di de Broglie e il dualismo onda-particella Possiamo anche realizzare l’esperimento della doppia fenditura di Young utilizzando particelle con la lunghezza d’onda opportuna, e ritrovare la stessa figura di interferenza che si ottiene con la luce FIGURA 14 L’esperimento della doppia fenditura Quando un fascio di fotoni o di particelle attraversa uno schermo in cui sono state praticate due fenditure, il risultato è una figura di interferenza in cui si alternano frange chiare e frange scure.

L’ipotesi di de Broglie e il dualismo onda-particella Queste immagini mostrano la formazione graduale di una figura di interferenza con un fascio di elettroni FIGURA 15 Creazione di una figura di interferenza al passaggio di un fascio di elettroni attraverso una doppia fenditura Inizialmente sembra che gli elettroni raggiungano lo schermo in modo casuale. All’aumentare del numero degli elettroni, però, la figura di interferenza è sempre più netta.

Dalle onde di de Broglie alla meccanica quantistica De Broglie propose che le uniche orbite permesse fossero quelle che contenevano un numero intero di lunghezze d’onda dell’elettrone, una sorta di onda stazionaria FIGURA 16 Lunghezze d’onda di de Broglie e orbite di Bohr La condizione di Bohr per cui il momento angolare di un’orbita permessa deve essere un multiplo intero di h/2π è equivalente alla condizione che n lunghezze d’onda di de Broglie debbano essere contenute esattamente nella circonferenza di un’orbita. a) Le onde di de Broglie per le orbite corrispondenti a n = 7 e n = 8. b) Se nella circonferenza di un’orbita non è possibile accomodare un numero intero di lunghezze d’onda, si ha un’interferenza distruttiva.

Dalle onde di de Broglie alla meccanica quantistica Perché l’onda si richiuda la lunghezza dell’orbita (2rn→circonferenza) deve essere un multiplo intero della lunghezza d’onda dell’elettrone 2rn=n Dato che =h/p → 2rnpn=nh (come imposto dalla condizione di quantizzazione di Bohr per l’atomo di idrogeno)

Vi è una analogia tra il comportamento della radiazione elettromagnetica e quello dei corpuscoli che costituiscono la materia Si parla di dualismo onda-particella Coferma sperimentale: 1927 Davisson e Germer inviarono un fascio di elettroni contro un bersaglio metallico.

Il principio di indeterminazione di Heisenberg Nell’esperimento della doppia fenditura con un fascio di elettroni, l’impossibilità di prevedere l’ìmpatto del singolo elettrone sullo schermo è intrinseca alla fisica quantistica ed è legata alle proprietà ondulatorie della materia FIGURA 26 Figura di diffrazione degli elettroni Regione centrale della figura di diffrazione formata su uno schermo dagli elettroni che attraversano una singola fenditura. La curva a destra è una misura del numero di elettroni che arrivano in ciascuna posizione. Si noti che in corrispondenza delle frange scure non si rileva l’arrivo di elettroni. Questa figura di diffrazione è identica a quella prodotta dalla luce che attraversa una singola fenditura.

Il principio di indeterminazione di Heisenberg La diffrazione da parte della fenditura conferisce agli elettroni una componente della quantità di moto lungo l’asse y che non avevano prima

Il principio di indeterminazione di Heisenberg In termini matematici: FIGURA 27 Incertezza nella posizione e nella quantità di moto Relazione di reciprocità fra l’incertezza nella posizione (Δy) e l’incertezza nella quantità di moto (Δpy). Analogamente alla figura 26, le curve sulla destra rappresentano l’andamento del numero di elettroni rivelati in funzione della posizione. 11

Il principio di indeterminazione di Heisenberg Il principio di indeterminazione può essere formulato anche in termini di energia e tempo: Il valore molto piccolo della costante di Planck, h, fa sì che in generale gli effetti del principio di indeterminazione non siano misurabili su scala macroscopica

Dalle onde di de Broglie alla meccanica quantistica Erwin Schrödinger propone un’equazione per descrivere il comportamento delle onde di materia Le soluzioni dell’equazione sono le funzioni d’onda che soddisfano l’equazione di Schrödinger FIGURA 17a Il significato della funzione d’onda Una funzione d’onda Ψ(x), che per semplicità consideriamo indipendente dal tempo. 13

Dalle onde di de Broglie alla meccanica quantistica   FIGURA 17b Il significato della funzione d’onda Il quadrato della funzione d’onda, Ψ2(x), rappresenta la probabilità di trovare la particella in x.

La teoria quantistica dell’atomo di idrogeno Nell’interpretazione di Schrödinger della meccanica quantistica l’elettrone è descritto attraverso una funzione d’onda che dà la probabilità di trovarlo in una posizione data La figura rappresenta lo stato fondamentale dell’idrogeno FIGURA 23 Nuvola di probabilità per lo stato fondamentale dell’idrogeno Nel modello quantistico dell’idrogeno l’elettrone può trovarsi a qualsiasi distanza dal nucleo. La probabilità di trovare l’elettrone in una data posizione è proporzionale alla densità della “nuvola di probabilità”. 17

L’effetto tunnel quantistico Le particelle hanno proprietà ondulatorie e quindi non c’è da sorprendersi se anche loro possono attraversare la materia. Un’applicazione pratica del fenomeno è il microscopio a scansione a effetto tunnel, sfrutta l’effetto tunnel degli elettroni per ricostruire l’immagine di atomi singoli FIGURA 29 Microscopio a scansione a effetto tunnel Funzionamento schematico di un microscopio a effetto tunnel. 18