Antonio Sforza, Claudio Sterle Modelli di Covering Antonio Sforza, Claudio Sterle Dipartimento di Ingegneria elettrica e Tecnologie dell’Informazione Laboratorio di Ottimizzazione e Problem Solving

Problemi di Copertura I problemi di copertura consistono nella copertura di uno spazio per il soddisfacimento di una domanda di servizio attraverso la localizzazione di un insieme di impianti in funzione della distribuzione della domanda stessa. Analisi di Scenario e Definizione Dati di Input Area d’interesse Domanda Potenziali Localizzazioni Schematizzazione del Problema Analisi di Copertura e Definizione Input Parametri per la Matrice di Copertura Modello di Copertura Ottimizzazione della Copertura Risultati

Problemi di Copertura e Matrice di Copertura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A. Un impianto localizzato in una zona copre la zona stessa e le zone adiacenti ad essa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N1 = {1,2,3} 

Problemi di Copertura e Matrice di Copertura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A. Un impianto localizzato in una zona copre la zona stessa e le zone adiacenti ad essa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N1 = {1,2,3}  N2 = {1,2,3,6,7}  N3 = {1,2,3,4,5,6,}  N4 = {3,4,5}  N5 = {3,4,5,6,9}  N6 = {2,3,5,6,7,8,9}  N7 = {2,6,7,8}  N8 = {6,7,8,9}  N9 = {5,6,8,9} 

Raggio e Matrice di copertura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B. Una zona può essere coperta solo se si trova completamente all’interno del raggio di copertura dell’impianto 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N6 = {2,6} 

Raggio e Matrice di copertura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B. Una zona può essere coperta solo se si trova completamente all’interno del raggio di copertura dell’impianto 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N1 = {1,2,3}  N2 = {1,2,3,6,7}  N3 = {1,3,5,6}  N4 = {1,3,4,5,6,9}  N5 = {3,4,5,6,} N6 = {2,3,5,6} N7 = {2,7}  N8 = {7,8,9} N9 = {8,9}

Matrice di Copertura di una rete 2 1 3 5 7 4 6 9 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 R R C. Un nodo può essere coperto solo se si trova all’interno del raggio di copertura dell’impianto

Matrice di Copertura di una rete A partire dalla matrice di copertura per ciascun punto/nodo j si può costruire l’insieme Mj delle telecamere che lo coprono cioè l’insieme delle telecamere i tali che la distanza cij tra la telecamera i e il punto/nodo j sia non maggiore del raggio R di copertura Mj = { i : cij ≤ R } insieme delle telecamere i capaci di coprire il punto/nodo j, cioè tali che la distanza cij tra la telecamera i e il punto/nodo j sia non maggiore del raggio R di copertura.

Parametri ed orientamento telecamere θ R R: 300 Θ: 90° θ R R: 650 Θ: 30° Telecamera 2 – 30° Telecamera 1 – 90° 4 possibili posizionamenti senza sovrapposizione 8 possibili posizionamenti con sovrapposizione 12 possibili posizionamenti

Presenza di ostacoli nell’area d’ interesse 6 3 7 11 14 16 1 8 12 20 17 4 9 15 5 L’area è suddivisa in aree elementari. Ogni area elementare è rappresentata da un punto.

Telecamere e Matrice di Copertura Analisi della Visibilità Visibilità Geometrica Visibilità e Caratteristiche tecniche delle telecamere Matrice di Copertura

Telecamere e Matrice di Copertura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 Estratto matrice di copertura C 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 D 57 58 59 60 61 62 63 … … … … … E F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 A B C

Modelli di Copertura Modelli di Covering Minimizzazione del numero di telecamere Massimizzazione della copertura Set Covering Problem (SCP) Weighted Demand Covering Problem (WCDP) Maximal Covering Problem (MCP) Back-Up Covering Problem (BCP)

Parametri e variabili modello SCP I: è l’insieme delle possibili posizioni delle telecamere J: è l’insieme dei punti da coprire D: è l’insieme dei pesi dj associati ai punti da coprire H: è l’insieme dei costi hi di installazione delle telecamere C: è la matrice delle distanze cij dal punto i al punto j telecamere Mj= { i : cij ≤ R } insieme delle telecamere i capaci di coprire il punto j, tali che la distanza cij tra telecamera i e punto j sia non maggiore del raggio R di copertura Variabili yi : è la variabile binaria associata alla localizzazione di una telecamera nella posizione i

Set Covering Problem (SCP) Min z = ∑iI yi Minimizza il numero di telecamere da localizzare oppure Min z = ∑iI hi yi Minimizza il costo di localizzazione delle telecamere Sottoposto a ∑iMj yi ≥ 1  j J Impone che ogni punto j sia coperto da almeno una telecamera yi= (0,1)   i  I Vincoli di interezza binaria Mj ={ i : dij ≤ R } insieme delle telecamere i capaci di coprire il punto/nodo j, cioè tali che la distanza cij tra la telecamera i e il punto/nodo j sia non maggiore del raggio R di copertura.

Parametri e variabili modello MCP I è l’insieme delle possibili posizioni delle telecamere J: è l’insieme dei punti da coprire C: è la matrice delle distanze cij dal punto i al punto j telecamere Mj = { i : cij ≤ R } insieme delle telecamere i capaci di coprire il punto j, cioè tali che la distanza cij tra telecamera i e punto j sia non maggiore del raggio R p: è il numero di telecamere da localizzare Variabili yi : è la variabile binaria associata alla localizzazione di una telecamera nella posizione i xj : è la variabile binaria associata al punto j da coprire

Maximal Covering Problem (MCP) Max z = ∑jJ dj xj Massimizza la copertura Sottoposto a ∑i Mj yi ≥ xj  j J Impone che un punto j-esimo sia coperto da almeno una telecamera i dell’insieme Mj ∑iI yi = p  Vincolo sul numero di telecamere xj = (0,1)   j J yi = (0,1)   i  I Vincoli di interezza binaria

Applicazioni Applicazione 0 Applicazione 1 Applicazione 2 Campus Universitario Applicazione 1 Spazio aperto senza ostacoli Telecamere a 360° Telecamere a 90° 4 possibili posizionamenti 8 possibili posizionameni Applicazione 2 Schema Stazione Ferroviaria Telecamere a 90° 8 possibili posizionamenti Telecamere a 30° 12 possibili posizionamenti

Applicazione 0 Campus Universitario Telecamere da 360°

Applicazione 0: Caso di studio Il problema consiste nella localizzazione di telecamere per monitorare il campus dell’Università dell’Ohio, Columbus, USA

Dati di input per il modello 1. Possibili aree da coprire Discretizzazione dello spazio 2. Possibili punti di localizzazione di telecamere 3. Matrice di copertura Analisi di visibilità

Dati di input 1 Discretizzazione dello spazio Ostacolo 1) Studio dell’area in esame Ostacolo 2) Partizione dell’area

Dati input 1 Discretizzazione dello spazio Griglia punti: 16000 celle Area da coprire Edifici

Dati input 2 Localizzazione telecamere Punti coincidenti con gli spigoli dei tetti degli edifici Punto medio del lato se gli spigoli sono troppo distanti Edificio 2 Edificio 1

Dati input 3 3 2 1 A > r Analisi di visibilità Matrice di copertura

Telecamere localizzate Applicazione del MCP Possibili posizioni Telecamere localizzate Posizioni potenziali Copertura primaria Copertura multipla Area non visibile Edifici

Risultati del modello al variare del numero delle telecamere Area Coperta (%) Numero di telecamere 96 Risultati computazionali per il MCP Numero telecamere Celle coperte Area (%) Iterazioni Tempo (s)

Telecamere localizzate Applicazione del MCP Telecamere localizzate Posizioni potenziali Copertura Primaria Copertura multipla Area non visibile Edifici Possibili posizioni ii. Localizzazione delle telecamere iii. Area coperta da 5 telecamere

Applicazione 1 Spazio aperto senza ostacoli Telecamere a 90°

Sperimentazione per il Controllo di un’area senza ostacoli: schematizzazione del problema Matrice di copertura: Telecamere da 90° ogni 90° (400x441) Telecamere da 90° ogni 45° (800x441) Punto obbligatorio Possibili posizioni della telecamere Area d’interesse: Area quadrata generica Rappresentazione della domanda: Griglia di 441 punti Potenziali Localizzazioni: Griglia di 100 punti

Copertura a Costo Minimo Set Covering Problem   N.telecamere Punti coperti COP(%) Costo Tempo 90 gradi no sovrapposizione 19 441 100% 17,9 90 gradi con sovrapposizione 18 668,3

Telecamere da 90° in 4 posizioni Telecamere da 90° in 8 posizioni Applicazione 1: SCP Punto coperto Punto non coperto Set Covering Problem Telecamere da 90° in 4 posizioni N. Telecamere:19 Copertura 100% Telecamere da 90° in 8 posizioni N. Telecamere:18 Copertura 100%

Massimizzazione della Copertura Maximal Covering Problem   N.telecamere Punti coperti COP(%) MCOP(%) Costo Tempo (sec.) 8 278 63,04% 0% 31 10 331 75,06% 2,8% 83 90° No sovrapposizione 13 388 87,98% 7,5% 24,5 16 426 96,59 13% 15.06 19 441 100% 22,6% 2.06   0% 37 334 75,37% 1,14% 218 90° con sovrapposizione 398 90,25%  6% 726 432 97,96% 11,4% 2260 18  20% 3499

Applicazione 1: MCP N. Telecamere:18 Copertura 100% Punto coperto Punto non coperto Maximal Covering Problem Telecamere da 90° in 8 posizioni N. Telecamere: 10 Copertura: 75,06% Telecamere da 90° in 8 posizioni N. Telecamere:18 Copertura 100%

Applicazione 2 Schema di Stazione Ferroviaria Telecamere a 90° Telecamere a 30°

Sperimentazione 2: controllo di una stazione NEGOZI BANCHINA BANCHINA BANCHINA ENTRATA LATERALE1 BANCHINA SCALE SCALE UFFICI ASCENSORE ASCENSORE ENTRATA LATERALE2 ZONA PERIMETRALE ENTRATE PRINCIPALI

Sperimentazione per il Controllo di una Stazione Ferroviaria: schematizzazione del problema Matrice di Copertura Telecamere da90° (1144x621) Telecamere da 90° e 30° (2860x621) Punto obbligatorio Possibili posizioni della telecamere Area d’interesse: Stazione Ferroviaria tipo Rappresentazione della domanda: Griglia di 621 punti (526 al netto degli ostacoli) Potenziali Localizzazioni: Griglia di 143 punti

Copertura a Costo Minimo Set Covering Problem   N.telecamere Punti coperti COP(%) Costo Tempo 90 gradi con sovrapposizione 45   526 100% 0,5 90 gradi con sovrapposizione e 30 gradi 39 6,3

Applicazione 2: SCP Set Covering Problem Punto coperto Punto non coperto Set Covering Problem Telecamere da 90° in 8 posizioni N. Telecamere:45 Copertura: 100% Telecamere da 90° in 8 posizioni e 30° N. Telecamere:39 Copertura: 100%

Massimizzazione della copertura primaria Maximal Covering Problem   N.telecamere Punti coperti COP(%) MCOP(%) Costo Tempo (sec.) 17 347 65,97% 4,18% 2,2 24 430 81,75% 3,80% 1,9 90° con sovrapposizione 31 488 92,78% 10,84% 2 38 515 97,90% 18,06% 4.48 45 526 100% 32,51% 0.9 426 80,99% 7,22% 2,5 481 91,45% 15,21% 11,2 90 °con sovrapposizione e 30 ° 509 96,67% 30,61% 23,8 525 99,81% 32,70% 3,7 39 33,10% 19,2

Rappresentazione dei risultati di MCP Maximal Covering Problem Punto coperto Punto non coperto Maximal Covering Problem Telecamere da 90° in 8 posizioni N. Telecamere: 24 Copertura 81,75% 90° in 8 posizioni e 30° Telecamere da N. Telecamere:24 Copertura 91,45%