Le potenze ad esponente reale Le potenze ad esponente intero Dato un numero reale α ed un numero intero n ≠ 0, si dice potenza n-esima di α, e si scrive αn: Il prodotto di n fattori uguali ad α se n > 1 Il numero α stesso se n = 1 Il numero se n < 0 e α ≠ 0 Si pone α0 = 1 con (α ≠ 0) e non si attribuisce significato alla scrittura 00 ESEMPI

La funzione esponenziale Le potenze ad esponente frazionario Dato un numero reale α > 0 ed un numero razionale si pone: ESEMPI

Le potenze ad esponente reale Le proprietà delle potenze Si può dimostrare che dato un numero reale α ≥ 0 ed un numero β reale qualsiasi, la potenza αβ è ancora un numero reale. Le potenze ad esponente intero, razionale o reale, che indichiamo generalmente con h e k, godono delle seguenti proprietà:

Le potenze ad esponente reale ESEMPI

La funzione esponenziale Dato un numero reale a > 0 (con a ≠ 1), si dice funzione esponenziale ogni funzione che si può scrivere nella forma Caratteristiche della funzione esponenziale Se a > 1 la funzione y = ax è crescente Se 0 < a < 1 la funzione y = ax è decrescente In entrambi i casi, la funzione y = ax: passa per il punto di coordinate (0, 1) assume sempre valori positivi per ogni x appartenente ad R ammette come asintoto orizzontale l’asse x

La funzione esponenziale Grafico della funzione esponenziale Abbiamo escluso nella definizione il caso a = 1 perché per tale valore la funzione diventa la retta di equazione y = 1.

La funzione esponenziale Grafici derivanti dalla funzione esponenziale Simmetria rispetto all’asse y L’equazione della curva simmetrica di y = ax è y = a-x ESEMPIO In verde il grafico della funzione trasformata.

La funzione esponenziale Simmetria rispetto all’asse x L’equazione della curva simmetrica di y = ax è y = −ax ESEMPIO

La funzione esponenziale Traslazione di vettore L’equazione della curva che corrisponde a y = ax è y − k = ax-h ESEMPIO

La funzione esponenziale Dilatazione di rapporti h e k L’equazione della curva che corrisponde a è ESEMPIO La curva di equazione è la corrispondente di y = 2x nella dilatazione di rapporti 3 e 1; le ascisse vengono triplicate e le ordinate restano immutate.

La funzione esponenziale La curva di equazione è la corrispondente di y = 3x nella dilatazione di rapporti 1 e 2; le ascisse restano immutate e le ordinate vengono duplicate.

Equazioni esponenziali Si dice esponenziale un’equazione in cui compaiono funzioni esponenziali. ESEMPI sono equazioni esponenziali non sono equazioni esponenziali

Equazioni esponenziali Le equazioni elementari Un’equazione esponenziale si dice elementare se si può ricondurre alla forma Se b>0, l’equazione esponenziale ax = b ammette sempre una e una sola soluzione. a > 1 0 < a < 1 Infatti le due curve di equazioni y = ax e y = b con b > 0 si intersecano sempre in un solo punto.

Equazioni esponenziali Per risolvere un’equazione esponenziale in cui il numero b è una potenza di a si deve: scrivere i due membri dell’equazione in modo che le due potenze abbiano la stessa base uguagliare gli esponenti. Esempio:

Equazioni esponenziali Le equazioni non elementari Qualunque equazione non elementare può essere ricondotta a una o più di tipo elementare applicando in modo opportuno le proprietà delle potenze. ESEMPIO

Disequazioni esponenziali Le disequazioni non elementari Una disequazione esponenziale è elementare se si può ricondurre alla forma Se b ≤ 0, poiché ax è un numero positivo: ax > b è sempre verificata ax < b non è mai verificata ESEMPI

Disequazioni esponenziali 1° Caso: 0 ≤ a ≤ 1 Se b > 0 2° Caso: a > 1

Disequazioni esponenziali In definitiva: Per risolvere la disequazione ax > ak : se 0 < a < 1 basta risolvere quella di verso opposto tra gli esponenti: se a > 1 basta risolvere quella dello stesso verso tra gli esponenti: ESEMPI

Disequazioni esponenziali Le disequazioni non elementari Per risolvere una disequazione non elementare ci rifacciamo a procedimenti simili a quelli visti per le analoghe equazioni. ESEMPIO