Il concetto di derivata Si dice rapporto incrementale della funzione y = f(x) relativo al punto x0 e all’incremento h il rapporto fra l’incremento Δy della funzione f e l’incremento Δx della variabile indipendente: Il rapporto incrementale Dal punto di vista geometrico, il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta AB; esso ci dà quindi indicazioni sulla pendenza media del grafico della funzione f nel passaggio da x0 a x0+h .

Il concetto di derivata ESEMPIO Calcoliamo il rapporto incrementale della funzione di equazione relativo al punto zero e all’incremento h. Per esempio, per si ha che , quindi la pendenza media del diagramma f(x) nell’intervallo è

Il concetto di derivata Data una funzione f(x) definita in un intervallo I, si chiama derivata di f(x) nel punto x0 interno ad I, e la indichiamo con f’(x0), il limite per h 0, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale f relativo a x0 : Di una funzione per la quale esiste la derivata in un punto x0 diciamo che è derivabile in x0.

Il concetto di derivata La derivata di una funzione y = f(x) nel punto x0 si indica con: Dal punto di vista geometrico essa rappresenta il coefficiente angolare della tangente al grafico f(x) nel punto x0.

Il concetto di derivata ESEMPIO Calcoliamo, se esiste, la derivata della funzione nel punto . Troviamo dapprima il rapporto incrementale relativo a e all’incremento : Calcoliamo ora il limite per di tale rapporto: La funzione è quindi derivabile nel punto – 1 e la sua derivata vale – 4.

Il concetto di derivata La derivata sinistra e la derivata destra Chiamiamo derivata sinistra della funzione nel punto , e la indichiamo con , il limite: Chiamiamo derivata destra della funzione nel punto , e la indichiamo con , il limite: Se tali limiti esistono finiti diciamo che la funzione è derivabile dalla sinistra e dalla destra. Se poi è derivabile dalla sinistra e dalla destra e le due derivate sono uguali, allora è derivabile in .

Il concetto di derivata ESEMPIO y x 1 Calcoliamo la derivata della funzione in In un intorno sinistro di 1 la funzione vale ; in un intorno destro vale . La funzione non è quindi derivabile in 1. Calcoliamo la derivata sinistra: (-1 è il coefficiente angolare della tangente che coincide con la retta di equazione Calcoliamo la derivata destra: (1 è il coefficiente angolare della tangente che coincide con la retta di equazione La funzione è derivabile dalla sinistra e la sua derivata vale –1; è derivabile dalla destra e la sua derivata vale 1.

Il concetto di derivata La funzione derivata Se una funzione è derivabile in tutti i punti dell’intervallo ed è derivabile dalla destra in a e dalla sinistra in b , diciamo che è derivabile in . In ogni punto di tale intervallo la derivata assume, in generale, un valore diverso che è funzione del punto x0 scelto. A tale funzione diamo il nome di funzione derivata. ESEMPIO Calcoliamo la derivata della funzione in ogni punto del suo dominio. La funzione è ovunque definita in ; calcoliamo quindi il limite del rapporto incrementale nel punto : Calcoliamo la derivata: Poiché il limite trovato ha valore finito per ogni , la funzione è derivabile in ogni punto del suo dominio e la sua derivata è .

Il concetto di derivata Continuità e derivabilità y x x0 Teorema. Se una funzione f(x) è derivabile in un punto x0, allora essa è continua in x0. In modo del tutto analogo: se una funzione è derivabile dalla sinistra in , allora è continua dalla sinistra. se una funzione è derivabile dalla destra in , allora è continua dalla destra. Non è vero invece che una funzione continua in un punto è anche derivabile in .

Il calcolo delle derivate La derivata delle funzioni elementari La funzione costante è derivabile in e la sua derivata è zero: La funzione è derivabile per ogni ed è La funzione è derivabile per ogni e reale ed è

Il calcolo delle derivate ESEMPI

Il calcolo delle derivate La funzione è derivabile e la sua derivata, se è espresso in radianti, è Analogamente, la derivata di y = cosx è y’ = −sinx La funzione è derivabile ed è in particolare: La funzione è derivabile se ed è in particolare:

Il calcolo delle derivate La tabella delle derivate delle funzioni fondamentali

Il calcolo delle derivate LE REGOLE DI DERIVAZIONE La derivata della somma Teorema. La derivata della somma di due funzioni derivabili è uguale alla somma delle derivate. In simboli: ESEMPI

Il calcolo delle derivate La derivata del prodotto Teorema. La derivata del prodotto di due funzioni derivabili è uguale alla derivata della prima funzione per la seconda non derivata, aumentata del prodotto della prima funzione non derivata per la derivata della seconda: In particolare: se k è un numero reale, allora ESEMPI

Il calcolo delle derivate Teorema. Se è una funzione derivabile, la funzione è derivabile per ogni tale che sia ed è: La derivata del quoziente Dai due teoremi precedenti possiamo dedurre l’algoritmo per derivare un quoziente. Teorema. Se e sono funzioni entrambe derivabili, per tutti i punti in cui si ha che:

Il calcolo delle derivate ESEMPI g’ g2 g’ g2 f’ f g

La derivata di funzioni composte Teorema (di derivazione delle funzioni composte). Sia una funzione derivabile in un punto e sia una funzione derivabile nel punto . Allora la funzione è derivabili in ed è: ESEMPIO Deriviamo la funzione e derivata della funzione logaritmo derivata dell’argomento del logaritmo

La derivata di funzioni composte In particolare, dalla regola di derivazione della funzione composta, abbiamo: ESEMPIO Calcoliamo la derivata della funzione: Applicando la regola precedente, otteniamo:

La derivata della funzione inversa Teorema (di derivazione della funzione inversa). Se è invertibile in un intervallo e derivabile in un punto con derivata non nulla, allora anche è derivabile nel punto ed è: ESEMPIO La funzione è invertibile in ; calcoliamo la derivata della funzione inversa nel punto . Calcoliamo il valore di al quale corrisponde : Calcoliamo la derivata della funzione e valutiamola in : Applicando il teorema:

La derivata della funzione inversa Dal teorema precedente possiamo dedurre le derivate delle funzioni inverse di quelle goniometriche.

La derivata della funzione inversa ESEMPIO Calcoliamo la derivata della funzione . Si tratta della funzione composta con Applichiamo la regola di derivazione: derivata della funzione arctan derivata dell’argomento dell’arctan

Le rette tangenti e le rette normali Se una funzione è derivabile in un punto x0 : il coefficiente angolare della retta tangente è f’(x0) il coefficiente angolare della retta normale è se f’(x0) ≠ 0 La retta tangente ha quindi equazione: La retta normale ha equazione:

Le rette tangenti e le rette normali ESEMPIO Se f(x) = x4 – x + 2 e x0 = 1 , allora: f(1) = 2 f’(x) = 4x3 – 1 f’(1) = 3 Quindi la retta tangente in P(1,2) ha equazione: La retta normale ha coefficiente angolare ed ha equazione:

Le rette tangenti e le rette normali Le rette tangenti nei punti di non derivabilità Se una funzione f(x) non è derivabile in x0 , si possono presentare i seguenti casi: In questi punti la curva ha due rette tangenti diverse: una tangente sinistra e una destra con coefficienti angolari finiti ma diversi; una tangente con coefficiente angolari finito e l’altra verticale. Questi si dicono punti angolosi.

Le rette tangenti e le rette normali Cuspide verso il basso Cuspide verso l’alto In questi punti la tangente è sempre verticale; punti di questo tipo si chiamano cuspidi.

Le rette tangenti e le rette normali In questi punti la tangente esiste, è una sola, ed è verticale. Punti di questo tipo rappresentano flessi a tangente verticale.

f’ f’’ f’’’ f(4) f(5) …...... f(n) Derivate di ordine superiore La derivata n-esima di una funzione f(x) si ottiene calcolando n derivate, ciascuna relativa alla derivata di ordine n-1. In simboli: f’ f’’ f’’’ f(4) f(5) …...... f(n) ESEMPIO Calcoliamo le prime tre derivate della funzione y = x2 + 3x – ln x

Il differenziale di una funzione Sia f(x) una funzione derivabile in un intervallo [a,b] e sia x un punto di tale intervallo. Si dice differenziale della funzione y = f(x) nel punto x, e si indica con il simbolo df(x), il prodotto della derivata della funzione, calcolata in x, per l’incremento Δx : Dal punto di vista geometrico, il differenziale della funzione rappresenta l’incremento della variabile dipendente calcolato sulla retta tangente anziché sulla funzione.

Il differenziale di una funzione ESEMPIO Calcoliamo il differenziale della funzione in x = 9 relativamente all’incremento Δx = 0,15 . quindi In x = 9 e per Δx = 0,15  y 9 Δy ≈ 0,025 3 9,15 x P t Poiché sappiamo che Δy ≈ dy , abbiamo che:

df(x) = 1 · Δx  dx = Δx Il differenziale di una funzione Il differenziale e la derivata Calcoliamo il differenziale della funzione f(x) = x : df(x) = 1 · Δx  dx = Δx Possiamo allora riscrivere il differenziale di una funzione f qualsiasi nella forma: df(x) = f’(x)dx da cui ricaviamo Quindi: la derivata di una funzione f(x) è il rapporto tra il differenziale della funzione f e il differenziale della variabile indipendente x.

I teoremi delle funzioni derivabili Teorema di Rolle Teorema. Sia f(x) una funzione definita in un intervallo chiuso [a, b] che abbia le seguenti caratteristiche: a. sia continua in [a, b] b. sia derivabile in ogni punto interno di tale intervallo c. assuma valori uguali agli estremi di questo intervallo, cioè sia f(a) = f(b). allora esiste almeno un punto c appartenente all’intervallo (a, b) nel quale la sua derivata si annulla, in cui cioè si ha che f’(c) = 0.

I teoremi delle funzioni derivabili Questo teorema garantisce che, se sono soddisfatte le sue ipotesi, nell’intervallo [a, b] c’è almeno un punto in cui la retta tangente è parallela all’asse x. I punti in cui la derivata di una funzione f(x) si annulla vengono detti punti stazionari. In essi la retta tangente è orizzontale.

f(0) = f(3) = 0 I teoremi delle funzioni derivabili ESEMPIO Verifichiamo se la funzione y = x4 – 27x soddisfa nell’intervallo [0, 3] le ipotesi del teorema di Rolle e, in caso affermativo, determiniamo il valore di c. la funzione è continua in [0, 3] e derivabile in (0, 3) perché le funzioni polinomiali sono continue e derivabili in R. f(0) = f(3) = 0 Vale quindi il teorema di Rolle, quindi esiste almeno un punto c in [0, 3] di valore stazionario. Per determinarlo calcoliamo la derivata prima y’ = 4x3 – 27 e annulliamola: Quindi:

I teoremi delle funzioni derivabili Teorema di Lagrange Teorema. Sia f(x) una funzione definita in un intervallo chiuso [a, b] che abbia le seguenti caratteristiche: a. sia continua in [a, b] b. sia derivabile in ogni punto interno di tale intervallo allora esiste almeno un punto c appartenente all’intervallo (a, b) tale che Il teorema di Lagrange afferma quindi che, se sono verificate le ipotesi di continuità e derivabilità, esiste almeno un punto in [a, b] in cui la retta tangente al grafico di f(x) è parallela alla corda AB.

f(a) = f(-1) = -2 f(b) = f (1) = 0 I teoremi delle funzioni derivabili ESEMPIO Verifichiamo se la funzione di equazione y = x3 – 1 soddisfa il teorema di Lagrange nell’intervallo [-1, 1] e, in caso affermativo, determiniamo il valore di c. La funzione è polinomiale, quindi continua e derivabile in tutto R e a maggior ragione nell’intervallo assegnato. Possiamo allora applicare il teorema di Lagrange. f(a) = f(-1) = -2 f(b) = f (1) = 0 Calcoliamo la derivata nel punto c : f’(c) = 3c2 Deve essere allora: Poiché i valori trovati sono entrambi interni all’intervallo [-1, 1] esistono due punti c in cui la tangente è parallela alla corda che unisce i punti estremi.

I teoremi delle funzioni derivabili Teorema di Chauchy Teorema. Consideriamo due funzioni f(x) e g(x), entrambe definite in un intervallo [a, b], che soddisfino le seguenti ipotesi: a. siano continue in [a, b]; b. siano derivabili in (a, b); c. g’(x) non si annulli mai in (a, b); allora esiste almeno un punto c appartenente all’intervallo (a, b) per il quale vale la relazione

g’(x) = 4x non si annulla in tale intervallo. I teoremi delle funzioni derivabili ESEMPIO Siano f(x) = x3 e g(x) = 2x2 – 1 , entrambe definite nell’intervallo [1, 2] dove sono continue e derivabili. g’(x) = 4x non si annulla in tale intervallo. Troviamo il punto c che soddisfa la tesi del teorema: f(1) = 1 f(2) = 8 f’(x) = 3x2 g(1) = 1 g(2) = 7 g’(x) = 4x Il punto c è la soluzione dell’equazione

I teoremi delle funzioni derivabili Teorema di De L’Hospital Il teorema permette di calcolare agevolmente un limite quando si presenta nelle forme di indeterminazione oppure . Teorema. Siano f(x) e g(x) definite in un intorno I di un punto c, escluso al più c, che soddisfano le seguenti ipotesi: a. sono entrambi derivabili in I con g’(x) ≠ 0 in I b. per x  c , entrambe le funzioni tendono a 0 oppure entrambe tendono a c. per x  c , esiste il limite del rapporto delle loro derivate allora: Questo teorema vale per qualciasi c, finito o infinito che sia, e anche per x  c- oppure x  c+ .

I teoremi delle funzioni derivabili ESEMPI 1. Il limite si presenta nella forma Le funzioni al numeratore e al denominatore sono entrambe definite e derivabili in un intorno dello zero, escluso tale punto. Inoltre essendo g(x) = x si ha che g’(x) = 1 ≠ 0 Allora: 2. Il limite si presenta nella forma Le funzioni al numeratore e al denominatore e le loro derivate soddisfano le ipotesi del teorema di De L’Hospital, quindi possiamo scrivere:

I polinomi di Taylor I polinomi di Taylor Molto spesso non è possibile determinare il valore esatto di una funzione in un punto. Per ottenere una buona approssimazione che permetta una stima dell’errore che commettiamo possiamo usare il polinomio di Taylor. Data una funzione f(x), derivabile n volte nell’intorno di un punto x0, chiamiamo polinomio di Taylor di ordine n della funzione f(x) relativo al punto x0, il polinomio Pn(x) dato dalla seguente formula: In particolare, se x0 = 0, il polinomio Pn(x) diventa: E prende il nome di polinomio di Mc Laurin.

f’ = cos x f’’ = -sin x f’’’ = -cos x f(4) = sin x I polinomi di Taylor ESEMPIO Troviamo il polinomio di Mc Laurin di ordine 4 della funzione f(x) = sin x f’ = cos x f’’ = -sin x f’’’ = -cos x f(4) = sin x