Convezione

Generazione di energia nelle stelle. Di quanta energia ha bisogno il sole perchè conservi il suo flusso attuale?

Equazione per la produzione di energia: La terza equazione di struttura stellare. Consideriamo una stella a simmetria sferica con trasporto di energia radiale e non dipendente dal tempo. L(r)=flusso di energia attraverso una sfera di raggio r L(r+r)=flusso di energia attraverso una sfera di raggio r +r Se il guscio è sottile, allora

Sia  = produzione di energia per unità di massa e per unità di volume (Wkg-1). Allora l’energia prodotta nel guscio è: La conservazione dell’energia porta a: Questa è l’equazione della produzione di energia. Ci sono 5 incognite: P(r), M(r), L(r), (r) ,(r) . Ci vuole l’equazione del trasporto di energia!

Trasporto di energia Esistono 3 modi per trasportare energia: Convezione – movimenti di massa del gas Conduzione – scambio di energia per collisione. Radiazione – trasporto di energia per emissione e assorbimento di fotoni. Quale domina nelle stelle? Energia di una singola particella che può essere trasportata ~ 3kT/2 è confrontabile con l’energia tipica di un fotone ~ hc/ Tuttavia le densità di particelle nel plasma è molto maggiore e questo sembrerebbe favorire la conduzione. TUTTAVIA Mean free path (cammino libero medio) di un fotone ~ 10-2m Mean free path di una particella ~ 10-10 m Quindi I fotoni si muovono attraverso gradienti di temperatura molto facilmente e trasportano più facilmente energia: domina il trasporto radiativo.

Convezione nel sole Dimensione tipica delle granule: 1000 km

Convezione: La convezione avviene soltanto quando il gradiente di temperatura supera un certo limite. Cnsideriamo un elemento convettivo ad una distanza r dal centro della stella in equilibrio con il gas circonstante. Supponiamo di sollevarlo a r+r. Si espande ad un nuovo valore P- P e  -  Questi valori potrebbero non coincidere con quelli del gas circostante: P- P e  -  Se l’elemento di gas è più denso a r+r sprofonda (convettivamente stabile) Se è meno denso continua a salire– convettivamente instabile

La condizione per l’instabilità è quindi Le condizioni per il verificarsi dell’instabilità dipendono da Quanto si espande l’elemento per la diminuzione di P Quanto cala la densità del gas con l’altezza. Facciamo due assunzioni: L’elemento sale adiabaticamente (senza scambio di calore) cioè vale l’equazione L’elemento sale con una velocità minore della velocità del suono. Durante il moto le onde sonore possono ridurre le differenze di pressione tra l’elemento e l’ambiente (no onde di shock). Quindi P =P ad ogni istante di tempo. con =cp/cv

Dato che V è inversamente proporzionale a  (M= V) , abbiamo: Allora eguagliando I due valori di P e  a r e r+r si ottiene: Se  è piccolo si può espandere ( - ) con il teorema del binomio: Ora calcoliamo come varia la densità del materiale  Per una variazione infinitesima r

Sostituendo queste espressioni per  and  nella condizione per l’instabilità convettiva ottenuta in precedenza si ha: Ricordando che la cella deve rimanere alla stessa pressione del materiale circostante il limte per r →0 dà la seguente: L’espressione a sinistra rappresenta la variazione di  della cella ed è anche la variazione che avrebbe il materiale circostante se ci fosse una relazione di tipo adiabatico tra densità e pressione al variare di r. A destra c’è la reale variazione della densità con il raggio del materiale stellare. Possiamo ora dividere entrambi I membri per dP/dr (che è negativa e quindi il segno di diseguaglianza cambia) e ottenere:

Per un gas ideale con trascurabile pressione di radiazione (interno stellare) con m massa media delle particelle, vale la: Differenziando quest’ultima equazione si ottiene: Combinando questa e l’equazione per l’instabilità convettiva si ha:

Questa è la condizione all’interno della stella perchè si verifichi instabilità convettiva in termini del gradiente di temperatura. In altre parole, un gas è convettivamente instabile se il gradiente di temperatura è maggiore del gradiente adiabatico. Se viene soddisfatta questa condizione, ci sono moti su larga scala per il trasporto di energia. Ci sono 2 vie per soddisfare questo criterio:  è vicino a 1 Il gradiente di temperatura è elevato. Ad esempio, se il rilascio di energia al centro della stella è grande, allora ci vuole un gradiente elevato di T per trasportarlo verso l’esterno. Oppure, negli strati esterni della stella il gas può essere solo parzialmente ionizzato. Allora una consistente quantità di calore che viene utilizzato per aumentare la temperatura viene assorbito dal processo di ionizzazione. Il calore specifico a V costante è quasi uguale al calore specifico a P constante e quindi ~1. In questo caso, una stella può avere uno strato convettivo esterno freddo.