"MODELLI OTTENIBILI ATTRAVERSO LA FUNZIONE LOGARITMO " Presentazione preparata dalla classe IV I Liceo socio-psico-pedagogico “S. Pertini” Genova

INDICE DELLA PRESENTAZIONE La funzione esponenziale Applicazioni del modello esponenziale I logaritmi La funzione logaritmica Applicazioni del modello logaritmico e la scala logaritmica

La funzione esponenziale

La funzione esponenziale La funzione esponenziale è una delle più importanti funzioni in matematica. Fissato un numero reale a>0 e a≠1 si chiama funzione esponenziale di base a la funzione di equazione y=ax, il cui dominio è R e il codominio è R+ - {0} . Se a=1 ,poiché 1x =1, la funzione esponenziale degenera nella retta parallela all’asse x di equazione y=1. Per x=0 si ha y=1 ( a≠0) quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0,1) Se a≠1 si distinguono due casi: a>1 e 0<a<1

Il grafico della funzione y=ax 0<a<1 a>1

Dominio R, codominio R+- Interseca l’asse y in (0,1) CASO a>1 y=2x Dominio R, codominio R+- Interseca l’asse y in (0,1) La funzione è positiva per cui si trova nel I e III quadrante. La funzione è monotona crescente La funzione è bigettiva e pertanto invertibile e la sua inversa è la funzione logaritmica. l’asse x negativo è l’asintoto della funzione

La funzione y=ax con a>1 al variare di a y=2x y=3x y=4x All’aumentare di a la funzione cresce più rapidamente

CASO 0<a<1 Dominio R, codominio R+- Interseca l’asse y in (0,1) La funzione è positiva per cui si trova nel I e III quadrante. La funzione è monotona decrescente La funzione è bigettiva e pertanto invertibile e la sua inversa è la funzione logaritmica. l’asse x positivo è l’asintoto della funzione

La funzione y=ax con 0<a<1 al variare di a All’aumentare di a la funzione decresce più rapidamente

CONFRONTO DEI GRAFICI y=ax e y= (1/a)x con a>1 y= 2x y=(1/2)x Il grafico della funzione y=ax con a>1 è simmetrico rispetto a quello della funzione y=(1/a)x rispetto all’asse y

Applicazioni della funzione esponenziale Assorbimento Radioattivo in fisica medica Tensione del vapore saturo Modelli e Applicazioni della funzione esponenziale Decadimento radioattivo Modello di Malthus Carica e scarica di un condensatore

I logaritmi e la funzione logaritmica

I logaritmi Come nascono i logaritmi Definizione di logaritmo Proprietà dei logaritmi Cambiamento di base La funzione logaritmica Scala logaritmica Applicazioni del modello logaritmico e della scala logaritmica

Come nascono i logaritmi Michael Stilef ha individuato: LA PROGRESSIONE GEOMETRICA r0 ,r1 ,r2, r3,,rL, Che è in corrispondenza biunivoca con LA PROGRESSIONE ARITMETICA 0, 1, 2, 3, 4, .L,

Gli elementi della seconda riga sono gli esponenti che si devono attribuire ad una stessa base per ottenere l’elemento corrispondente della prima riga. Il prodotto di due termini della progressione geometrica fornisce un termine il cui esponente è la somma dei corrispondenti termini della progressione aritmetica. La divisione di due termini della progressione geometrica fornisce un termine il cui esponente è la differenza  dei corrispondenti termini della progressione 0, 1, 2, 3, 4, .L, ( progressione aritmetica) r0 , r1 , r2, r3,, rL, ( progressione geometrica)

L’invenzione dei logaritmi John Napier: “ Mirifici logarithomorum canonis desriptio” ( Descrizione della regola meravigliosa dei logaritmi)(1614) seguita nel 1619 dal libro “Mirifici logarithomorum canonis constructio” in cui si desrivono i metodi da lui usati nella costruzione delle sue tavole. Henry Briggs: “ Logarithmorum chilia prima”(1617) logaritmi dei numeri da 1 a 1000

ax =b x= logab DEFINIZIONE DI LOGARITMO Si chiama logaritmo in base a di b l'unica soluzione dell ‘equazione esponenziale elementare nel caso determinato cioè l'esponente x da assegnare alla base a per ottenere il numero b . ax =b a= base dell’esponenziale e del logaritmo x= logab

Proprietà dei logaritmi loga(b*c)=logab+logac loga (b/c)=logab-logac logaan=n*logaa loga loga(1/n)=-logan

Cambiamento di base logab= logcb/logca logab= 1/logba

Le basi più comuni Base 10 Base e Base 2

La funzione logaritmica Si chiama funzione logaritmica ogni funzione del tipo: y=logax , con a>0 ,a≠1 e x La funzione logaritmica è l’inversa della funzione esponenziale Poiché il dominio della funzione è D: XєR+-{0}, il grafico sarà tutto a destra dell’asse y. Poiché per X=1 si ha Y=0 il grafico della funzione interseca l’asse x nel punto (1,0)

Il grafico della funzione y=logax a>1 0<a<1

funzione esponenziale CASO a>1 Il dominio è R , il codominio è R+ La funzione è monotona crescente: x1<x2 logax1<logax2 Per x>1, la y assume valori positivi e cresce al crescere della X Per 0<X<1, la Y assume valori negativi grandi in valore assoluto y=0 è l’asintoto della curva La funzione è bigettiva e quindi invertibile. La sua inversa è la funzione esponenziale

La funzione y=logax a>1 al variare di a y=log2x y=log4x y=log3x 0,3 -1,74 -0,87 -1,10 0,5 -1,00 -0,50 -0,63 0,8 -0,32 -0,16 -0,20 1 0,00 2 1,00 0,50 0,63 3 1,58 0,79 4 2,00 1,26 5 2,32 1,16 1,46 6 2,58 1,29 1,63 7 2,81 1,40 1,77 8 3,00 1,50 1,89 9 3,17 10 3,32 1,66 2,10 all’aumentare della base a la funzione cresce più lentamente

CASO 0<a<1 decrescente Dominio R+ ,codominio R La funzione è monotona decrescente x1<x2↔logax1>logax2 per x >1, la y assume valori negativi e decresce al crescere della x per 0< X<1, la y assume valori positivi e crescenti y=0 è l’asintoto della funzione La funzione è bigettiva e quindi invertibile. La sua inversa è la funzione esponenziale

La funzione y=logax 0<a<1 al variare di a y=log2x y=log4x y=log3x 0,3 -1,74 -0,87 -1,10 0,5 -1,00 -0,50 -0,63 0,8 -0,32 -0,16 -0,20 1 0,00 2 1,00 0,50 0,63 3 1,58 0,79 4 2,00 1,26 5 2,32 1,16 1,46 6 2,58 1,29 1,63 7 2,81 1,40 1,77 8 3,00 1,50 1,89 all’aumentare della base a la funzione decresce più rapidamente

CONFRONTO DEI GRAFICI y= logax e con a>0 e a≠1 si può osservare che i grafici risultano simmetrici rispetto all’asse x positivo

Applicazioni del modello logaritmico scala logaritmica

Tipi di scala Scala lineare: è quella maggiormente utilizzata. La parola lineare indica il fatto che ciascun intervallo di graduazione è costante. Scala logaritmica: la scala logaritmica si differenzia dalla scala lineare per il fatto che la proporzionalità tra le due grandezze non è costante ma ha un andamento logaritmico.

Confronto tra scala lineare e logaritmica: Scala logaritmica Y X 1 10 2 100 3 1000 ... n 10n

Costruzione della scala logaritmica Si segna 1 nell’estremo sinistro di un segmento Si segna 100 nell’estremo destro del segmento Si prende il punto medio tra 1 e 100 e lo si chiama 10 Si prende il punto medio tra 1 e 10 e lo si chiama √10=3,162 100 1 √100=10

Si prende il punto medio tra 10 e 100 e lo si chiama 10√10=31,62 Si procede prendendo il punto medio tra 1 e √10 e così via 1 √10=3,162 √100=10 100 La costruzione fatta corrisponde all’applicazione delle proprietà dei logaritmi: log(ab)=loga+logb

I LOGARITMI FACILITANO I CALCOLI I logaritmi furono utilizzati originariamente per la semplificazione dei calcoli e trovano ancora impiego e applicazione in diverse discipline come la biologia, l’ astronomia, le scienze della terra e le operazioni finanziarie

APPLICAZIONI DEI LOGARITMI E DELLA SCALA LOGARITMICA

FINE PRESENTAZIONE

FUNZIONE MONOTONA CRESCENTE Una funzione è monotòna crescente in un intervallo (a,b) se:

FUNZIONE MONOTONA DECRESCENTE Una funzione è monotòna decrescente in un intervallo (a,b) se:

La funzione Dati due insiemi A e B, si dice funzione da A in B ogni relazione che ad ogni elemento si A fa corrispondere uno ed un solo elemento di B. B A a x b y c

BIGETTIVE

Funzione iniettiva Una funzione si dice iniettiva se ogni elemento di B ha al massimo una controimmagine in A;cioè se due elementi diversi appartenenti ad A hanno immagini diverse in B. A B a x b y .z

Nella rappresentazione cartesiana di una funzione reale di variabile reale iniettiva,ogni retta parallela all’asse x interseca il grafico della funzione al massimo in punto. y f(a) f(a)=f(b)=f(c) a a b O c x Funzione non iniettiva Funzione iniettiva

La funzione suriettiva Una funzione si dice suriettiva se ogni elemento di B ha almeno una controimmagine in A. B A a x b c y

Nella rappresentazione cartesiana di una funzione suriettiva ogni retta parallela all’asse x deve intersecare il grafico in almeno un punto. y y O x O x Funzione non suriettiva Funzione suriettiva

La funzione bigettiva Una funzione f:A->B si dice bigettiva o biunivoca se è iniettiva e suriettiva. A B a x y b z c

La funzione invertibile Se una funzione f:A B risulta essere bigettiva,allora è invertibile e avrà come funzione inversa inversa f -1:B A Nel piano cartesiano f e f -1 hanno rappresentazioni grafiche coincidenti ma se si scambia la x con la y in f -1 i grafici di y=f(x) e y=f -1(x) risultano simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante

GRAFICO DI UNA FUNZIONE E DELLA SUA INVERSA y=x y=x y=f(x) y=f -1(x) y=f(x)

EQUAZIONE ESPONENZIALE L'equazione esponenziale più semplice (elementare) è del tipo : Essa può essere impossibile, indeterminata o determinata : impossibile se : determinata se Indeterminata se

Se consideriamo per esempio a>1 Determinare la soluzione dell’equazione elementare significa trovare le intersezioni tra la funzione y=ax e y=b Se consideriamo per esempio a>1 y=b>0 y=b<0 Se b>0 si ha un’intersezione e quindi una soluzione reale Se b=0 oppure b<0 non si hanno intersezioni e quindi nessuna soluzione reale

Applicazione nel suono L’apparato uditivo umano è sensibile alla variazione di pressione atmosferica e la traduce in variazione di segnali elettro-chimici. Questo legame è logaritmico e si misura con la scala del decibel. Il decibel è un’unità di misura di tipo logaritmico che esprime il rapporto fra due livelli di cui uno, quello al denominatore, è preso come riferimento dBX = 10•log(X/X0) dove X0 è il valore di riferimento fissato.

I LOGARITMI E LA FINANZA In finanza l’ ultimo ritrovato per scovare gli evasori è collegato con i logaritmi ed è opera del matematico Mark Nigrini(1992). Egli utilizzò la legge scoperta dal matematico SIMON NEWCOMB(1881) e poi formalizzata dal fisico Benford(1938). Probabilità (che la prima cifra del numero sia d)=                           d indica una delle cifre da 1 a 9 .

Gli evasori producono delle dichiarazioni dei redditi che analizzate evidenziano notevoli deviazioni dalla legge di Benford. Quindi per sapere se l’evasore ha compilato onestamente la dichiarazione dei redditi basta controllare la frequenza delle varie cifre utilizzate per scrivere i numeri.

Diagramma a torta della distribuzione della prima cifra

Applicazione nella finanza Nelle scale logaritmiche ad uguali variazioni percentuali del prezzo corrisponde un medesimo movimento sull’asse y del grafico indipendentemente dalla variazione del prezzo in valore assoluto mentre nelle scale aritmetiche non sono apprezzabili le variazioni del prezzo in quanto sono messe in evidenza solo le variazioni assolute Scala aritmetica Scala logaritmica

Applicazione nei terremoti Intensità: misura la grandezza dei terremoti attraverso gli effetti Magnitudo: esprime la grandezza di un terremoto attraverso la misura dell’ampiezza massima della traccia registrata dal sismografo.

Il sismografo Strumento utilizzato per registrare i fenomeni sismici È costituito da una serie di elementi che consentono la rappresentazione grafica dell’andamento del segnale sismometrico nel tempo. Esistono due scale: Mercalli e Richter

Il procedimento per il calcolo della magnitudo locale è il seguente: Per calcolare la magnitudo occorre conoscere l’altezza del picco più alto registrato da un sismografo e la distanza esistente tra il sismografo e l’epicentro del terremoto. Il procedimento per il calcolo della magnitudo locale è il seguente: 1. si misura la distanza sino all’epicentro usando l’intervallo di tempo tra le onde P ed S ( S-P=25sec) 2. si misura la massima ampiezza della traccia d’onda sul sismogramma ( 10 mm.) 3. si traccia una linea retta che congiungente i punti appropriati sulla scala delle distanze ( a sinistra) e delle ampiezze per ottenere la magnitudo ML= 5,0

Nella definizione data da Richter, la magnitudo ML di qualsiasi terremoto è data dal logaritmo della massima ampiezza della traccia con cui un sismografo a torsione di Wood-Anderson calibrato in maniera “standard” (cioè con amplificazione 2.800 volte, periodo proprio 0,8 secondi, costante di smorzamento 0,8) registrerebbe l’evento se questo si fosse verificato a una distanza epicentrale di 100 km. Per i terremoti a 100 km di distanza, la formula è dunque: ML= log10 A ML = magnitudo Richter( o magnitudo locale) A =altezza massima della sinusoide sul sismogramma da 0 fino al picco, in mm.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI UN TERREMOTO Osserviamo che nella scala logaritmica la relazione tra il valore della scala Richter e l’ampiezza della traccia del sismografo è di tipo lineare.

I LOGARITMI E L’ ASTRONOMIA I logaritmi in astronomia vengono utilizzati nella definizione di magnitudine di una stella. Per misurare la luminosità delle stelle si utilizza la scala delle magnitudini. Le stelle più luminose hanno magnitudini più piccole

Se vogliamo conoscere l'esatto rapporto di luminosità tra una magnitudine e la successiva, dobbiamo dividere 100 in 5 parti tra loro in proporzione geometrica in modo che rimanga costante il rapporto tra una parte e quella immediatamente precedente. Questo equivale a calcolare la: Prendiamo questo numero come base dei logaritmi, che chiameremo logaritmi stellari e scriviamo la progressione: 1, 2,512; 6,310; 15,849; ...... Che sono le successive potenze di 2,512 I numeri naturali che vengono utilizzati per la magnitudo non sono altro che i logaritmi (cioè gli esponenti) a cui bisogna elevare la base 2,512…

LEGGE DI FECHNER m = k · log10 J La legge psicofisica di Fechner(1801-1887) e Weber(1795-1878) stabilisce che l’intensità di una sensazione avvertita coscientemente è proporzionale al logaritmo dell’intensità dello stimolo che la produce, quindi è meno intensa di esso. Gli organi di senso sono in grado di ridurre l’intensità degli stimoli secondo il loro logaritmo mentre l’intensità dello stimolo cresce in progressione geometrica, quella della sensazione cresce solo in progressione aritmetica. La legge di Fechner e Weber, applicata al caso delle stelle, assume la forma seguente:   m = k · log10 J dove m (magnitudine) è l'immagine di una stella che si forma nel nostro occhio e rappresenta quindi la sensazione, mentre J è la quantità di energia luminosa che incide sul recettore, cioè è lo stimolo; k è una costante di proporzionalità

La formula di Pogson (1829-1891) m1 - m2 = k · Log (J1/J2) m1 - m2 è la differenza di magnitudine di due stelle le cui intensità luminose sono rispettivamente J1 e J2 Questa formula ci consente: qualora siano noti i valori delle intensità luminose di due stelle qualsiasi, di definire il valore di k. attraverso la misura esatta dei flussi luminosi delle singole stelle, consente di andare al di là delle sei classi di grandezza considerate dagli antichi e definire anche magnitudini di valori non interi di attribuire alle stelle più brillanti, che gli antichi classificavano indiscriminatamente di 1ª grandezza, magnitudini prossime a zero e anche negative.

Applicazione nella chimica È possibile esprimere la basicità o l’acidità di una sostanza mediante la scala del pH, che consente di trasformare numeri molto piccoli in numeri che vanno da 0 a 14. Oggi il pH viene definito come il logaritmo negativo, in base 10, della concentrazione molare degli ioni idrogeno. pH=-log[H+]

TENSIONE DEL VAPORE SATURO Se un liquido è contenuto in un ambiente limitato ,il numero di molecole che evaporano non può aumentare indefinitamente Quando il volume che sovrasta il liquido non può più contenere altre molecole in fase aeriforme (vapore +liquido)il vapore è saturo e la pressione esercitata dalle molecole gassose assume il suo valore massimo( tensione del vapore saturo) La pressione del vapore saturo di un liquido aumenta al crescere della temperatura

Carica e scarica di un condensatore C= condensatore di capacità C R= resistore di resistenza R G= generatore di tensione T = tasto che apre o chiude il circuito A circuito chiuso, il condensatore viene caricato.

a b c a) La carica elettrica q, accumulata al variare del tempo sulle armature del condensatore, da un valore nullo tende al valore CV. Il suo andamento è descritto dalla seguente equazione: b) L'intensità i della corrente elettrica, durante il processo di carica, partendo dal valore iniziale V/R, tende ad annullarsi. Il suo andamento è descritto dalla seguente equazione: c) La differenza di potenziale che si instaura tra le armature del condensatore al variare del tempo, da un valore nullo tende al valore V (differenza di potenziale ai capi del generatore). La crescita è descritta dalla seguente equazione:

Scarica del condensatore A circuito aperto, il condensatore si scarica. b c a a) La carica elettrica q, accumulata al variare del tempo sulle armature del condensatore, dal valore iniziale CV tende al valore nullo. Il suo andamento è descritto dalla seguente equazione: b) L'intensità i della corrente elettrica, partendo dal valore iniziale V/R, tende ad annullarsi. Il suo andamento è descritto dalla seguente equazione: c) La differenza di potenziale che si instaura tra le armature del condensatore al variare del tempo, da un valore V (differenza di potenziale ai capi del generatore) tende al valore nullo. La decrescita è descritta dalla seguente equazione:

Il decadimento radioattivo Un nucleo radioattivo può trovarsi in uno stato tale da rendere possibile sia l'emissione di particelle dotate di energia cinetica, sia di radiazioni elettromagnetiche. Si dice allora che il nucleo ha subito un decadimento radioattivo che tende a portarlo in uno stato più stabile, cioè caratterizzato da minore energia. Sebbene in un dato intervallo di tempo si disintegri una ben definita frazione di nuclei, non è dato sapere quali essi siano, anche se ogni nucleo radioattivo ha una data probabilità di disintegrarsi e questa probabilità non cambia nel tempo. Così come si può valutare quanti nuclei di una data specie decadranno in un certo tempo, possiamo anche valutare quanto tempo deve trascorrere perché la quantità di nuclei presenti ad un dato istante si dimezzi. Tale tempo è detto tempo di dimezzamento T.

La funzione esponenziale nella fisica medica I raggi x sono radiazioni elettromagnetiche invisibili all’occhioumano:sono fortemente energetiche a frequenza molto alta. Tutte le onde elettromagnetiche,nell’attraversare uno stato di materia,vengono in parte assorbite,in parte trasmesse secondo la legge l=loe -x = coefficiente di attenuazione o di assorbimento. l= intensità raggio trasmesso , lo=intensità raggio incidente x= spessore della materia attraversata

La legge di Malthus Malthus sostiene che la popolazione (umana) cresce secondo una progressione geometrica (per esempio 2, 4, 8, 16, ...), mentre le risorse necessarie per la sua alimentazione crescono secondo una progressione aritmetica (per esempio 3, 6, 9, 12, ...). Non importa quali siano i numeri di partenza: prima o poi la popolazione supera le risorse e la crescita non può continuare. Questa è nota come "legge di Malthus" (in economia, non in biologia).

Secondo il modello di Malthus vale la seguente legge: N(t)=Cexp(kt) k è costante rispetto al tempo e dipende dalla specie che stiamo osservando . k= tasso di nascita - tasso di morte. k>0 N è crescente k k<0 N è decrescente C è il valore di N al tempo t=0 ed è costante rispetto al tempo per una determinata specie di individui.

MODELLO MALTHUSIANO