Raccogliamo x al primo membro e 2 al secondo: Equazioni risolvibili per scomposizione Ogni equazione polinomiale del tipo E(x) = 0 di grado n > 2 si può risolvere solo se il polinomio E(x) è scomponibile in fattori al più di secondo grado; in tal caso, per trovare le soluzioni, si applica la legge di annullamento del prodotto. ESEMPIO Raccogliamo x al primo membro e 2 al secondo: Trasportiamo tutti i termini al primo membro: Raccogliamo (x2 − 8) a fattor comune: Applichiamo la legge di annullamento del prodotto: continua

Equazioni risolvibili per scomposizione Risolvendo la prima equazione otteniamo: Risolvendo la seconda otteniamo: L’insieme delle soluzioni è quindi:

Equazioni binomie Un’equazione si dice binomia se si può scrivere nella forma dove n è un intero positivo e k un numero reale. Per risolvere un’equazione binomia si applica la definizione di radicale: se n è pari l’equazione ammette: due soluzioni opposte se k > 0 : una soluzione nulla se k = 0 nessuna soluzione se k < 0 se n è dispari l’equazione ammette: una sola soluzione per qualsiasi valore di k :

1. 2. Equazioni binomie ESEMPI Ricordando la definizione di radice cubica si ottiene: 2. Ricordando la definizione di radice di indice pari otteniamo:

Equazioni trinomie Un’equazione si dice trinomia se si può scrivere nella forma dove n è un intero positivo e gli esponenti dell’incognita sono uno il doppio dell’altro. Se n = 2 si ottiene ax4 + bx2 + c = 0 e l’equazione è detta biquadratica. Per risolvere l’equazione trinomia ax2n + bxn + c = 0 si opera la sostituzione di variabile xn = t si risolve l’equazione di secondo grado in t così ottenuta at2 + bt + c = 0 Indicate con t1 e t2 le due soluzioni, se esistono reali, si risolvono le due equazioni binomie xn = t1 ∨ xn = t2

Equazioni trinomie ESEMPIO Risolviamo l’equazione Essendo n = 2 l’equazione è biquadratica. Risolviamo ora l’equazione ottenuta nell’incognita t: Operando la sostituzione x2 = t otteniamo 2t2 − t − 3 = 0 Operando poi la sostituzione inversa si ha: impossibile da cui Dunque

Disequazioni di grado superiore al secondo Qualunque disequazione di grado superiore al secondo nella forma E(x) ≥ 0 oppure E(x) ≤ 0 si risolve scomponendo in fattori al più di secondo grado l’espressione E(x) e studiando poi il segno di ciascuno di tali fattori; se E(x) non è scomponibile, la disequazione non può essere risolta per via algebrica. ESEMPIO Scomponiamo il polinomio al primo membro: Studiamo il segno di ogni fattore del prodotto: 3 R + − segno di x2 + 1 segno di x − 3 prodotto S

Equazioni irrazionali Si dice irrazionale un’equazione che contiene radicali nei cui argomenti compare l’incognita. sono equazioni irrazionali e Esempi: non sono equazioni irrazionali e Per risolvere un’equazione irrazionale bisogna eliminare i segni di radice e per far questo è necessario elevare a potenza i due membri dell’equazione. Ricordiamo che: Non esiste un principio di equivalenza che afferma che l’equazione A(x) = B(x) è equivalente all’equazione [A(x)]n = [B(x)]n per qualsiasi valore di n. Si può affermare che: un elevamento di entrambi i membri di un’equazione a potenza pari non conduce in generale a un’equazione equivalente a quella data un elevamento di entrambi i membri di un’equazione a potenza dispari conduce sempre a un’equazione equivalente a quella data.

Equazioni irrazionali Le equazioni irrazionali con un solo radicale possono essere ridotte alla forma: Il caso n dispari Se n è dispari, basta elevare a potenza n entrambi i membri; il caso più frequente è quello in cui n = 3: ESEMPIO Isoliamo il radicale al primo membro: Eleviamo al cubo e svolgiamo i calcoli: Scomponiamo:

Equazioni irrazionali Il caso n pari Se n è pari, e il caso più frequente è n = 2, abbiamo a disposizione due metodi risolutivi: Primo metodo Secondo metodo Risolvere l’equazione Risolvere il sistema Procedere alla verifica delle soluzioni

Equazioni irrazionali ESEMPIO Primo metodo Secondo metodo Eleviamo al quadrato: Per la condizione di equivalenza deve essere e questo insieme rappresenta l’insieme di accettabilità delle soluzioni. L’equazione polinomiale che si ottiene elevando al quadrato è la stessa del primo metodo. Delle due soluzioni trovate non è accettabile perché non è maggiore di La sola soluzione è quindi . Sviluppiamo i calcoli: Risolviamo: Verifichiamo sostituendo nell’equazione: non è soluzione è soluzione

Disequazioni irrazionali Le disequazioni sono equivalenti rispettivamente a ESEMPIO continua Eleviamo al cubo entrambi i membri: Svolgiamo i calcoli e risolviamo: Primo fattore: Secondo fattore: Sempre positivo

Disequazioni irrazionali ESEMPIO Tabella dei segni 3 R + − Soluzione

Disequazioni irrazionali La disequazione è equivalente al sistema

Disequazioni irrazionali ESEMPIO Impostiamo il sistema

Disequazioni irrazionali La disequazione è equivalente ai due sistemi Se S1 è l’insieme delle soluzioni del primo sistema e S2 è l’insieme delle soluzioni del secondo, l’insieme delle soluzioni della disequazione è

Disequazioni irrazionali ESEMPIO Impostiamo i due sistemi: