Equazioni differenziali Modelli differenziali: le definizioni Definizioni Si dice equazione differenziale un’equazione che ha come incognita una funzione 𝑦=𝑓(𝑥) e che stabilisce un legame tra 𝑥, 𝑦 e almeno una delle sue derivate. Il massimo ordine di derivate che compare nell’equazione rappresenta il suo ordine. Quindi un’equazione differenziale si dice: del primo ordine se compare al massimo la derivata prima. Ad esempio: 5 𝑦 ′ −3𝑥𝑦= 𝑥 3 del secondo ordine se compare al massimo la derivata seconda. 𝑦 ′′ +3𝑥𝑦− 𝑥 2 =𝑦′

Equazioni differenziali Modelli differenziali: le definizioni Risolvere un’equazione differenziale significa trovare tutte le funzioni 𝑦=𝑓(𝑥) che soddisfano l’equazione. Il loro insieme prende il nome di integrale generale dell’equazione differenziale. Chiamiamo invece integrale particolare una delle funzioni soluzione; in generale un integrale particolare è quella funzione che soddisfa qualche caratteristica. Il grafico che corrisponde ad una soluzione si chiama curva integrale.

Equazioni differenziali Modelli differenziali: le definizioni ESEMPIO L’equazione differenziale 𝑦 ′ =2𝑥+1 è del primo ordine. L’integrale generale è dato dalle funzioni di equazione: 𝑦= 𝑥 2 +𝑥+𝑐 Un integrale particolare, ad esempio la funzione soluzione che passa per l’origine, è quella che si ottiene per 𝑐=0, cioè la funzione di equazione 𝑦= 𝑥 2 +𝑥

Equazioni differenziali Equazioni del primo ordine Equazioni del primo ordine Un’equazione differenziale del primo ordine è della forma: 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ =0 Esplicitata rispetto a 𝑦′ assume la forma normale: 𝑦 ′ =𝑝 𝑥, 𝑦 Per esempio: 𝑥 3 𝑦 ′ −𝑦+ 𝑥 2 =0 in forma normale diventa: 𝑦 ′ = 𝑦− 𝑥 2 𝑥 3 In generale, l’integrale generale di un’equazione differenziale del primo ordine è una funzione che dipende da 𝑥 e da un parametro 𝑐. Un integrale particolare si ottiene attribuendo a 𝑐 un dato valore che, di solito, si determina in base ad una data condizione chiamata condizione inziale. Tale condizione si esprime di solito chiedendo che la curva integrale passi per un punto di coordinate ( 𝑥 0 , 𝑦 0 ).

Equazioni differenziali Equazioni del primo ordine Il problema di trovare le soluzioni che soddisfano la condizione iniziale viene detto problema di Cauchy e viene così formulato: 𝑦 ′ =𝑝(𝑥,𝑦) 𝑦 𝑥 0 = 𝑦 0 ESEMPIO Nell’equazione differenziale 𝑦 ′ =2𝑥−1 la condizione che esprime il passaggio per l’origine si esprime con la relazione 𝑦 0 =0. Il corrispondente problema di Cauchy è quindi: 𝑦 ′ =2𝑥−1 𝑦 0 =0

Equazioni differenziali Equazioni del primo ordine Equazioni della forma 𝒚 ′ =𝒇(𝒙) Se un’equazione differenziale si presenta nella forma 𝑦 ′ =𝑓(𝑥) il suo integrale generale è la funzione: 𝑦= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ESEMPIO Troviamo l’integrale generale dell’equazione 𝑦 ′ = 3 1+ 𝑥 2 3 1+ 𝑥 2 𝑑𝑥=3 arctan 𝑥 +𝑐 L’integrale generale è la famiglia di funzioni aventi equazione y=3 arctan 𝑥 +𝑐

𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑔 𝑥 ∙ℎ 𝑦 → 𝑑𝑦 ℎ 𝑦 =𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Equazioni differenziali Equazioni del primo ordine Equazioni a variabili separabili Un’equazione differenziale del primo ordine è detta a variabili separabili se si può scrivere nella forma: 𝑦 ′ =𝑔 𝑥 ∙ℎ 𝑦 . Diamo la procedura di risoluzione: posto ℎ(𝑦)≠0, si scrive l’equazione in modo da separare le variabili: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑔 𝑥 ∙ℎ 𝑦 → 𝑑𝑦 ℎ 𝑦 =𝑔 𝑥 𝑑𝑥 2. si integrano entrambi i membri dell’equazione ottenuta 𝑑𝑦 ℎ(𝑦) = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 si verifica se la condizione ℎ 𝑦 =0 porta ad individuare altre soluzioni dell’equazione si scrive l’integrale generale dell’equazione considerando anche gli eventuali integrali ottenuti al punto 3.

Equazioni differenziali Equazioni del primo ordine ESEMPIO Risolviamo l’equazione 𝑦 ′ = 𝑦 2 ∙𝑥 Possiamo scrivere l’equazione nella forma: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 2 𝑥 e separare le variabili, supponendo 𝑦≠0: 𝑑𝑦 𝑦 2 =𝑥 𝑑𝑥 Integriamo entrambi i membri: 𝑑𝑦 𝑦 2 = 𝑥 𝑑𝑥 cioè − 1 𝑦 = 𝑥 2 2 +𝑐→𝑦=− 2 𝑥 2 +2𝑐

Equazioni differenziali Equazioni del primo ordine 3. Consideriamo ora il caso 𝑦=0; poiché 𝑦 ′ =0 sostituendo nell’equazione data avremo: 𝑦 ′ = 𝑦 2 𝑥→0=0∙𝑥→0=0 La funzione 𝑦=0 fa quindi parte delle soluzioni. 4. L’integrale generale è rappresentato dalle funzioni: 𝑦=− 2 𝑥 2 +𝑐 ∨ 𝑦=0 La funzione 𝑦=0 non si ottiene per alcun valore della costante 𝑐 e per questo viene detto integrale singolare.

Equazioni differenziali Equazioni del primo ordine Equazioni lineari Un’equazione differenziale del primo ordine è detta lineare se si può scrivere nella forma: y ′ +𝑝(𝑥)∙𝑦=𝑞( 𝑥) in cui 𝑝(𝑥) e 𝑞( 𝑥) sono funzioni della variabile 𝑥, continue in un intervallo 𝐸. In particolare: se 𝑞 𝑥 =0 l’equazione si dice omogenea se 𝑞(𝑥)≠0 l’equazione si dice non omogenea o completa.

Equazioni differenziali Equazioni del primo ordine Le equazioni lineari omogenee Un’equazione omogenea assume la forma 𝑦 ′ +𝑝 𝑥 𝑦=0 e può essere ricondotta ad un’equazione a variabili separabili. L’integrale generale è la famiglia di funzioni di equazione: 𝑦=𝑘 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥

Equazioni differenziali Equazioni del primo ordine ESEMPIO Risolviamo l’equazione 𝑦 ′ + 𝑥 3 𝑦=0 dove 𝑝 𝑥 = 𝑥 3 . Applichiamo la formula risolutiva: 𝑦=𝑘 𝑒 − 𝑥 3 𝑑𝑥 Poiché 𝑥 3 𝑑𝑥= 1 4 𝑥 4 L’integrale generale è la famiglia di funzioni: 𝑦=𝑘 𝑒 − 1 4 𝑥 4

Equazioni differenziali Equazioni del primo ordine Le equazioni lineari non omogenee Un’equazione lineare non omogenea ha la forma: 𝑦 ′ +𝑝 𝑥 𝑦=𝑞(𝑥) L’integrale generale è la famiglia di funzioni di equazione: 𝑦= 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑞 𝑥 ∙ 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥+𝑐

Equazioni differenziali Equazioni del primo ordine ESEMPIO Risolviamo l’equazione 𝑦 ′ +𝑦= 𝑒 𝑥 in cui 𝑝 𝑥 =1 e 𝑞 𝑥 = 𝑒 𝑥 Calcoliamo dapprima 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 : 1 𝑑𝑥 =𝑥 Applichiamo la formula risolutiva: 𝑦= 𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥 ∙ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥+𝑐 Calcoliamo l’integrale all’interno della parentesi quadra: 𝑒 𝑥 ∙ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥= 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥= 1 2 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥= 1 2 𝑒 2𝑥 L’integrale generale dell’equazione è dunque: 𝑦= 𝑒 −𝑥 1 2 𝑒 2𝑥 +𝑐 → 𝑦= 1 2 𝑒 𝑥 +𝑐 𝑒 −𝑥

Equazioni differenziali Equazioni del secondo ordine Equazioni del secondo ordine Un’equazione differenziale del secondo ordine è della forma: 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ =0 L’equazione è in forma normale se è possibile scriverla esplicitandola rispetto a 𝑦′′: 𝑦 ′′ =𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) Per esempio: 2𝑥 𝑦 ′′ −3 𝑦 ′ −6 𝑥 3 =0 in forma normale diventa: 𝑦 ′′ = 3 𝑦 ′ +6 𝑥 3 2𝑥 In generale, l’integrale generale di un’equazione differenziale del secondo ordine è una funzione che dipende da 𝑥 e da due parametri che indicheremo con 𝑐 1 e 𝑐 2 . Un integrale particolare si ottiene mediante l’assegnazione di due condizioni inziali.

Equazioni differenziali Equazioni del secondo ordine Il corrispondente problema di Cauchy viene formulato in questo modo: 𝑦 ′′ =𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) 𝑦 𝑥 0 = 𝑦 0 𝑦 ′ 𝑥 0 = 𝑦 0 ′ ESEMPIO L’equazione differenziale 𝑦 ′′ =− 𝑦 ′ +2 è del secondo ordine, è scritta in forma normale ed il suo integrale generale dipende da due costanti. Per individuarle, occorre dare due condizioni iniziali. Per esempio: 𝑦 0 =−1 la funzione passa per il punto 𝑃(0;1) 𝑦 ′ 0 =3 la funzione ha come retta tangente nel punto di ascissa 0 una retta di coefficiente angolare 3.

Equazioni differenziali Equazioni del secondo ordine Equazioni della forma 𝒚 ′′ =𝒇(𝒙) Se un’equazione differenziale si presenta nella forma 𝑦 ′′ =𝑓 𝑥 il suo integrale generale si ottiene mediante una doppia integrazione. ESEMPIO Risolviamo l’equazione 𝑦 ′′ =3𝑥+2 con le condizioni 𝑦 ′ 0 =3 e 𝑦 0 =−1. 𝑦 ′ = 3𝑥+2 𝑑𝑥= 3 2 𝑥 2 +2𝑥+ 𝑐 1 e dovendo essere 𝑦 ′ 0 =3 si ha 𝑐 1 =3. 𝑦= 3 2 𝑥 2 +2𝑥+3 𝑑𝑥= 1 2 𝑥 3 + 𝑥 2 +3𝑥+ 𝑐 2 e dovendo essere 𝑦 0 =−1 si ha 𝑐 2 =−1. L’integrale particolare richiesto è dunque: 𝑦= 1 2 𝑥 3 + 𝑥 2 +3𝑥−1

Equazioni differenziali Equazioni del secondo ordine Equazioni lineari a coefficienti costanti Le equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti si presentano nella forma: 𝑦 ′′ +𝑝 𝑦 ′ +𝑞𝑦=𝑟(𝑥) con 𝑝 e 𝑞 numeri reali e 𝑟(𝑥) funzione continua in un dato intervallo 𝐸. Se 𝑟 𝑥 =0 l’equazione si dice omogenea Se 𝑟(𝑥)≠0 l’equazione di dice non omogenea o completa

𝑦= 𝑒 𝛼𝑥 ( 𝑐 1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐 2 sin 𝛽𝑥 ) Equazioni differenziali Equazioni del secondo ordine Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti L’equazione assume la forma: 𝑦 ′′ +𝑝 𝑦 ′ +𝑞𝑦=0 Considerata l’equazione caratteristica 𝜆 2 +𝑝𝜆+𝑞=0 che ha gli stessi coefficienti dell’equazione differenziale, e indicato con Δ il suo discriminante, si ha che: se Δ>0, indicate con 𝜆 1 e 𝜆 2 le soluzioni dell’equazione caratteristica, l’integrale generale è 𝑦= 𝑐 1 𝑒 𝜆 1 𝑥 + 𝑐 2 𝑒 𝜆 2 𝑥 se Δ=0, indicata con 𝜆 1 la soluzione dell’equazione caratteristica, l’integrale generale è 𝑦= 𝑒 𝜆 1 𝑥 ( 𝑐 1 + 𝑐 2 𝑥) se Δ<0, poste uguali a 𝛼±𝑖𝛽 le soluzioni dell’equazione caratteristica, l ’integrale generale è 𝑦= 𝑒 𝛼𝑥 ( 𝑐 1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐 2 sin 𝛽𝑥 )

Equazioni differenziali Equazioni del secondo ordine ESEMPIO Risolviamo l’equazione differenziale 𝑦 ′′ −6 𝑦 ′ =0 L’equazione caratteristica è 𝜆 2 −6𝜆=0 che ha soluzioni 𝜆 1 =6 e 𝜆 2 =0 L’integrale generale dell’equazione è: 𝑦= 𝑐 1 𝑒 6𝑥 + 𝑐 2 𝑒 0𝑥 →𝑦= 𝑐 1 𝑒 6𝑥 + 𝑐 2

Equazioni differenziali Equazioni del secondo ordine ESEMPIO Risolviamo l’equazione differenziale 𝑦 ′′ +4𝑦=0 L’equazione caratteristica è 𝜆 2 +4=0 che ha soluzioni 𝜆 1 =−2𝑖 e 𝜆 2 =+2𝑖 Quindi 𝛼=0 e 𝛽=2 L’integrale generale dell’equazione è: 𝑦= 𝑒 0𝑥 ( 𝑐 1 cos 2𝑥 + 𝑐 2 sin 2𝑥) →𝑦=( 𝑐 1 cos 2𝑥 + 𝑐 2 sin 2𝑥)

Equazioni differenziali Equazioni del secondo ordine Equazioni lineari complete a coefficienti costanti L’equazione assume la forma: 𝑦 ′′ +𝑝 𝑦 ′ +𝑞𝑦=𝑟(𝑥) in cui supponiamo 𝑝 e 𝑞 non contemporaneamente nulli. Per determinare le soluzioni di un’equazione lineare non omogenea si deve: determinare l’integrale generale 𝑦 1 dell’equazione omogenea associata; individuare un integrale particolare 𝑦 0 dell’equazione non omogenea; sommare le due funzioni ottenute. L’integrale particolare 𝑦 0 dipende dalla forma di 𝑟(𝑥).

Equazioni differenziali Equazioni del secondo ordine I CASO: 𝒓(𝒙) è un polinomio di grado 𝒏 L’integrale particolare 𝑦 0 è un polinomio di grado: 𝑛 se 𝑞≠0 𝑛+1 se 𝑞=0 ESEMPIO Risolviamo l’equazione 𝑦 ′′ −3𝑦′=𝑥 in cui 𝑝=−3 𝑞=0 𝑟 𝑥 =𝑥. Troviamo dapprima l’integrale generale dell’equazione omogenea associata: Equazione caratteristica: 𝜆 2 −3𝜆=0, soluzioni: 𝜆 1 =0, 𝜆 2 =3 Integrale generale: 𝑦 1 = 𝑐 1 + 𝑐 2 𝑒 3𝑥

Equazioni differenziali Equazioni del secondo ordine Troviamo ora l’integrale particolare 𝑦 0 : poiché 𝑟(𝑥) è di primo grado e 𝑞=0, il polinomio 𝑦 0 sarà di secondo grado: 𝑦 0 =𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 ed è 𝑦 0 ′ =2𝑎𝑥+𝑏 e 𝑦 0 ′′ =2𝑎 tale polinomio, essendo una soluzione particolare, deve soddisfare l’equazione data, cioè: 𝑦 ′′ −3 𝑦 ′ =𝑥 → 2𝑎−3 2𝑎𝑥+𝑏 =𝑥 → −6𝑎𝑥+2𝑎−3𝑏=𝑥 per il principio di identità dei polinomi dovrà essere: −6𝑎=1 2𝑎−3𝑏=0 → 𝑎=− 1 6 𝑏=− 1 9 quindi, 𝑦 0 =− 1 6 𝑥 2 − 1 9 𝑥+𝑐 e assumendo 𝑐=0: 𝑦 0 =− 1 6 𝑥 2 − 1 9 𝑥 L’integrale generale dell’equazione è: 𝑦=− 1 6 𝑥 2 − 1 9 𝑥+ 𝑐 1 + 𝑐 2 𝑒 3𝑥

Equazioni differenziali Equazioni del secondo ordine II CASO: 𝒓(𝒙) è una funzione del tipo s(𝒙) 𝒆 𝜶𝒙 con s(x) polinomio di grado 𝒏 e 𝜶 costante reale In questo caso la soluzione particolare 𝑦 0 è legata alla costante α; indicato con 𝑡(𝑥) un polinomio dello stesso grado di 𝑠(𝑥), si presentano i seguenti casi: 𝛼 non è soluzione dell’equazione caratteristica associata: 𝑦 𝑜 =𝑡(𝑥)∙ 𝑒 𝛼𝑥 𝛼 è soluzione dell’equazione caratteristica associata e le soluzioni di quest’ultima sono reali distinte: 𝑦 𝑜 =𝑥∙𝑡(𝑥)∙ 𝑒 𝛼𝑥 𝛼 è soluzione dell’equazione caratteristica associata e le soluzioni di quest’ultima sono reali coincidenti: 𝑦 𝑜 = 𝑥 2 ∙𝑡(𝑥)∙ 𝑒 𝛼𝑥

Equazioni differenziali Equazioni del secondo ordine ESEMPIO Risolviamo l’equazione 𝑦 ′′ −4𝑦= 𝑒 𝑥 in essa 𝑝=0, 𝑞=−4 , s 𝑥 =1, 𝛼=1. Troviamo dapprima l’integrale dell’equazione omogenea associata: Equazione caratteristica: 𝜆 2 −4=0, soluzioni: 𝜆 1 =−2, 𝜆 2 =2 Integrale generale: 𝑦 1 = 𝑐 1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐 2 𝑒 2𝑥

Equazioni differenziali Equazioni del secondo ordine Troviamo ora l’integrale particolare 𝑦 0 : poiché 𝛼 non è soluzione dell’equazione caratteristica associata e poiché il polinomio 𝑠(𝑥) ha grado zero, anche 𝑡(𝑥) avrà grado zero ed è perciò una costante: 𝑡 𝑥 =𝑎. 𝑦 0 =𝑎 𝑒 𝑥 ed è 𝑦 0 ′ =𝑎 𝑒 𝑥 𝑦 0 ′′ =𝑎 𝑒 𝑥 sostituiamo nell’equazione data: 𝑦 ′′ −4𝑦= 𝑒 𝑥 → 𝑎 𝑒 𝑥 −4𝑎 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 → −3𝑎 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 da cui ricaviamo: −3𝑎=1→𝑎=− 1 3 l’integrale particolare diventa perciò: 𝑦 0 =− 1 3 𝑒 𝑥 L’integrale generale dell’equazione è: 𝑦=− 1 3 𝑒 𝑥 + 𝑐 1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐 2 𝑒 2𝑥

Equazioni differenziali Equazioni del secondo ordine III CASO: 𝒓(𝒙) è una funzione del tipo 𝒆 𝜶𝒙 (𝒉𝒔𝒊𝒏𝛃𝐱+𝐤 𝐜𝐨𝐬𝛃𝒙) con 𝒉,𝒌,𝜶,𝜷 costanti reali. In questo caso la soluzione particolare 𝑦 0 è legata alle costanti α e 𝛽; indicato con 𝑎 e 𝑏 due costanti reali, si presentano i seguenti casi: 𝛼+𝑖𝛽 non è soluzione dell’equazione caratteristica associata: 𝑦 𝑜 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝑎𝑠𝑖𝑛βx+𝑏 cos𝛽𝑥) 𝛼+𝑖𝛽 è soluzione dell’equazione caratteristica associata: 𝑦 𝑜 = 𝑥𝑒 𝛼𝑥 (𝑎𝑠𝑖𝑛βx+𝑏 cos𝛽𝑥)

Equazioni differenziali Equazioni del secondo ordine ESEMPIO Risolviamo l’equazione 𝑦 ′′ +4𝑦=2 sin 2𝑥 in essa 𝑝=0, 𝑞=4 , α=0, β=2. Troviamo l’integrale generale dell’equazione omogenea associata: Equazione caratteristica: 𝜆 2 +4=0, soluzioni: 𝜆 1 =−2𝑖, 𝜆 2 =2𝑖 Integrale generale: 𝑦 1 = 𝑐 1 cos 2𝑥 + 𝑐 2 sin 2𝑥

Equazioni differenziali Equazioni del secondo ordine Troviamo ora l’integrale particolare 𝑦 0 : 𝛼+𝑖𝛽, nel nostro caso 2𝑖, è soluzione dell’equazione caratteristica; una soluzione particolare ha la forma: 𝑦 0 =𝑥( 𝑎 sin 2𝑥+𝑏 cos 2𝑥 ) ed è 𝑦 0 ′ = 2𝑎𝑥+𝑏 cos 2𝑥 + 𝑎−2𝑏𝑥 sin 2𝑥 𝑦 0 ′′ =4 𝑎−𝑏𝑥 cos 2𝑥 −4(𝑏+𝑎𝑥) sin 2𝑥 Imponiamo che 𝑦 0 soddisfi equazione data: 𝑦 ′′ +4𝑦=2 sin 2𝑥 [4 𝑎−𝑏𝑥 cos 2𝑥 −4 𝑏+𝑎𝑥 sin 2𝑥]+4𝑥( asin 2𝑥+𝑏 cos 2𝑥)=2 sin 2𝑥 4 acos 2𝑥−4𝑏 sin 2𝑥 =2 sin 2𝑥 Deve quindi essere: 4𝑎=0 −4𝑏=2 → 𝑎=0 𝑏=− 1 2 L’integrale particolare è la funzione: 𝑦 0 =− 1 2 𝑥 cos 2𝑥 L’integrale generale è: 𝑦=− 1 2 𝑥 cos 2𝑥 + 𝑐 1 cos 2𝑥 + 𝑐 2 sin 2𝑥