Poligoni I triangoli e le loro proprietà

Disegniamo più segmenti consecutivi: I poligoni Prendiamo in considerazione le figure geometriche nel piano, cioè le figure piane, intendendo con questo termine “un qualsiasi insieme di punti appartenenti a uno stesso piano”. Disegniamo più segmenti consecutivi: Una spezzata può essere: aperta, se il primo segmento e l’ultimo non sono consecutivi; chiusa, se il primo e l’ultimo segmento sono consecutivi; semplice, se segmenti non consecutivi non si incontrano in alcun punto; intrecciata, se segmenti non consecutivi si incontrano in un punto. H I F G E D C B A V R Q M L N P O S T U Le figure che abbiamo ottenuto prendono il nome di spezzate o poligonali.

Spezzata Aperta Chiusa Semplice Intrecciata I poligoni Riassumiamo in una tabella a doppia entrata: Spezzata Aperta Chiusa Semplice Intrecciata Una spezzata semplice chiusa divide il piano in due parti, una interna e una esterna. Quella esterna è infinita, quella interna è finita. La parte interna è quella che si chiama poligono. A C B E D α

I poligoni A C B E D α Si chiama poligono la parte di piano limitata da una spezzata semplice chiusa. Le parole della matematica: E D C B A F Angolo interno Angolo esterno Vertice diagonale lato La spezzata che delimita il poligono si chiama contorno e rappresenta il perimetro del poligono. I segmenti che formano la spezzata si chiamano lati del poligono, e i loro estremi, vertici del poligono, gli angoli convessi formati da due segmenti consecutivi, angoli interni del poligono, gli angoli formati da un lato e dal prolungamento del lato consecutivo, angoli esterni del poligono. Angoli interni e angoli esterni aventi il vertice in comune sono adiacenti e quindi supplementari: α + β = 180°. Il segmento che unisce due vertici non consecutivi si chiama diagonale.

Angoli interni e angoli esterni Proviamo a tagliare gli angoli esterni di un poligono e poi riuniamo tutti gli angoli esterni attorno a un unico vertice, notiamo che la loro somma è un angolo giro. In un poligono qualsiasi la somma degli angoli esterni è sempre un angolo giro, cioè misura 360°, qualunque sia il numero dei lati. Possiamo concludere dicendo che:

I triangoli e le loro proprietà Il triangolo è un poligono di tre lati e tre angoli. C B A In esso, ovviamente, possiamo anche affermare che: la somma degli angoli esterni misura 2 x 180° la somma degli angoli interni misura 180° Elementi di un triangolo Si dicono elementi di un triangolo i suoi lati e i suoi angoli interni ed esterni. compreso fra AB e AC, opposto a BC; compreso fra AB e BC, opposto a CA; compreso fra BC e CA, opposto ad AB.

Punti notevoli di un triangolo

Poiché il triangolo ha tre lati, avrà complessivamente tre altezze: Altezze e ortocentro Consideriamo il triangolo ABC e il suo vertice A; il segmento AH che inizia da questo vertice e va a intersecare il lato opposto BC perpendicolarmente ad esso si chiama altezza del triangolo relativa al lato BC e il punto H si chiama piede dell’altezza. A B H C A O K C H B M Poiché il triangolo ha tre lati, avrà complessivamente tre altezze: AH relativa al lato BC, di piede H; BK relativa al lato AC, di piede K; CM relativa al lato AB, di piede M. In un qualsiasi triangolo le tre altezze si incontrano in un unico punto O detto ortocentro.

Osservazioni sulle altezze e sull'ortocentro K C Disegniamo un triangolo rettangolo e le sue tre altezze. Osserviamo che: l’altezza AH, relativa al lato BC, coincide con il lato AB, che si chiama cateto; L’altezza CM, relativa al lato AB, coincide con il lato BC, che è l’altro cateto. I due piedi H e M coincidono con il vertice B dell’angolo retto, il piede K è interno al terzo lato AC, che si chiama ipotenusa; L’ortocentro O coincide con i due piedi H e M e con il vertice B

Osservazioni sulle altezze e sull'ortocentro Disegniamo adesso un triangolo ottusangolo e le sue tre altezze, osserviamo che: o A C B K M H Solo L’altezza BK, relativa al lato AC, è interna al triangolo e quindi il suo piede K è interno ad AC; Le due altezze AH, relativa a BC, e CM, relativa ad AB, sono esterne al triangolo, esse incontrano il lato relativo nel suo prolungamento, quindi i loro piedi H ed M sono punti esterni ai lati BC e AB; L’ortocentro è un punto esterno al triangolo; esso è il punto di incontro dei prolungamenti delle tre altezze.

Possiamo riassumere dicendo che: L’altezza di un triangolo relativa a un lato è il segmento perpendicolare condotto dal vertice opposto alla retta a cui appartiene il lato. Le tre altezze di un triangolo si incontrano in un unico punto O detto ortocentro che può essere interno (nel triangolo acutangolo), esterno (nel triangolo ottusangolo) o coincidente con il vertice dell’angolo retto (nel triangolo rettangolo). A A A H ortocentro H O B C C B H C ortocentro ortocentro O

Bisettrici e incentro Consideriamo il triangolo ABC e il suo vertice A; il segmento AM che unisce questo vertice con il lato opposto, dividendo l’angolo A in due parti di uguale ampiezza, si dice bisettrice di vertice A del triangolo. A B C M Poiché il triangolo ha tre vertici, avrà complessivamente tre bisettrici: AM bisettrice di vertice A; BN bisettrice di vertice B; CP bisettrice di vertice C. A N C M B P

Diciamo che: Bisettrici e incentro La bisettrice di un triangolo relativa a un vertice è il segmento che unisce il vertice con il lato opposto dividendo a metà l’angolo, è cioè il segmento di bisettrice di quell’angolo. Le tre bisettrici si incontrano in un unico punto I, detto incentro, che è sempre interno al triangolo. A A A incentro I I incentro incentro I B C B C B C In un qualsiasi triangolo l’incentro è equidistante dai tre lati.

Mediane e baricentro E C D T Consideriamo il triangolo CDE e il suo vertice C; il segmento CT che unisce questo vertice con il punto medio del lato opposto si chiama mediana relativa al lato DE. B D R C S E T Anche di mediane, naturalmente, ne esistono tre: CT mediana relativa al lato DE DS mediana relativa al lato CE ER mediana relativa al lato DC In ogni triangolo le tre mediane si incontrano in un unico punto B detto baricentro. In ogni triangolo le mediane e il baricentro sono sempre interni. In un qualsiasi triangolo il baricentro divide ogni mediana in due parti che sono una il doppio dell’altra.

Mediane e baricentro Esaminiamo la parola “baricentro”, essa deriva dal greco “bàros”, “peso”, e letteralmente significa “centro del peso”. Il baricentro gode infatti di una notevole proprietà fisica: è l’unico punto di equilibrio del triangolo. Se disegniamo un triangolo su un cartoncino rigido, lo ritagliamo e cerchiamo di farlo stare in equilibrio su una punta o appendendolo a un filo, ci accorgiamo che dobbiamo appoggiarlo o appenderlo per il suo baricentro.

Possiamo riassumere dicendo che: Mediane e baricentro Possiamo riassumere dicendo che: La mediana di un triangolo relativa a un lato è il segmento che unisce il punto medio del lato con il vertice opposto. Le tre mediane si incontrano in un unico punto B, detto baricentro, che è sempre interno al triangolo. Il baricentro divide ogni mediana in due parti, una doppia dell’altra, ed è il punto di equilibrio del triangolo. D G L baricentro B B B C F A E baricentro H I baricentro

Essendo tre i lati, tre sono gli assi di un triangolo: Assi e circocentro M E F D asse Consideriamo il triangolo DEF e il suo lato EF, sia M il punto medio di EF; la retta m, perpendicolare a EF passante per il punto M, si chiama asse del lato EF Essendo tre i lati, tre sono gli assi di un triangolo: M asse del lato EF N asse del lato DF R asse del lato DE m D E M m N n C R r F In ogni triangolo i tre assi si incontrano in un unico punto detto circocentro.

In un qualsiasi triangolo il circocentro è equidistante dai vertici. Osservazioni sugli assi e sul circocentro O Disegniamo un triangolo qualsiasi OPQ, gli assi e il circocentro; misuriamo con un righello i segmenti CO, CQ e CP, ci accorgiamo che hanno la stessa lunghezza: r n R N C M P Q m Possiamo dire che: In un qualsiasi triangolo il circocentro è equidistante dai vertici.

Fine